Samenvatting - Wiskunde voor ontwerpers (1031FOWARC)

Wiskunde voor ontwerpers


LES 1: VOUWEN VOOR ONTWERPERS
Hoe een blad in gelijke delen verdelen?
• Als het aantal van die delen een macht van 2 is, dan deel je het eerst in 2. En
dan verdeel je elk deel nog is in 2, enzovoort.
• Een blad in 3, 5, 7, … delen:
• Om in 3 te delen, begin je met u blad in 2 te delen. (! Blad moet altijd vierkant zijn.) En je
vouwt ook de diagonaal. Dan ga je van het rechter deel een diagonale vouw maken. En
die vouw zou die diagonaal snijden in een punt P, als je dit dan vouwt, dan heb je al 1/3e
van het totaal.
• Om dit aan te tonen gebruiken wij gelijkvormige driehoeken. Def. dit zijn driehoeken die
dezelfde binnenhoeken hebben. Dus die driehoeken zien er van vorm juist hetzelfde uit,
maar kunnen wel verschillen van grootte. Dus er is een schaalfactor die die 2
driehoeken met elkaar in verband houdt. Dit wilt dus zeggen dat overeenkomstige zijden
van die driehoeken, de verhouding tussen die linten altijd hetzelfde is.
• ! Als de grote van de driehoeken gelijk is, dan zijn het congruente driehoeken.




• Op de foto zie je 2 gelijkvormige driehoeken, dus de verhouding van overeenkomstige
zijde moet gelijk zijn. Maar om al die getallen te kunnen begrijpen moeten we wel iets
afspreken, dus we spreken af dat de lengte van ons vierkant 1 noemen, dus AB en EB
zijn 1/2. En we zijn eigenlijk de afstand van AE aan het zoeken en omdat P op de
diagonaal ligt, zal dat ook dezelfde afstand zijn van PE, dit zal ook X zijn.
• Nu zeggen we dat de zijde DB (= 1/2) van de grote driehoek zicht verhoudt tov de
zijde EB van de kleine driehoek, we weten dat de afstand van AE x is en we weten dat
de totale afstand 1 is, dus deze afstand is 1-x. En dit gaan we vergelijken met de
verhouding van CD (= 1)van de grote driehoek en PE van de kleine driehoek, deze
afstand is x. Examen: de nitie van gelijkvormige driehoek kennen + weten wat je
ermee kan doen.




1 Costermans Isabo


fi

, • Op dezelfde manier kan je papier delen in zoveel delen als je wilt, alleen ga je
het nu inductief doen. Bv als je een papier wilt delen in 9, dus n = 9, dan ga je
eerst het papier delen in 8 en neem je een punt op 1/8 van de rechter rand,
dan ga je een vouw maken dat dat punt verbind met de onderkant. Die vouw
zou dan de diagonaal snijden in een punt. En dan bewijs je dat de afstand
tussen E en B 1/9 is. Zo kan je al de papieren in een gelijk aantal delen delen.



Vouwtechnieken:
1. Door elke twee gemarkeerde punten P en Q kan je een vouw maken, dus een vouw
maken door 2 punten .




2. Als P en Q gemarkeerd zijn, dan kan je een vouw maken waardoor P op Q gevouwen
wordt.
• Je kan een punt P vouwen op een punt Q. Dus de gestippelde lijn zal ervoor zorgen
dat P op Q wordt gevouwen.
• Je hebt dus een lijnstuk PQ en de vouw gaat juist door het midden van dat lijnstuk en
staat er loodrecht op. Dus de vouw is eigenlijk de middelloodlijn op het lijnstuk PQ.
• Je kan een middelloodlijn van een lijnstuk maken door de techniek van het ene
eindpunt op het andere te vouwen.
• ! Deze is belangrijk




3. Als l en m gemarkeerde vouwen zijn, dan kan je een vouw maken waardoor l op m
gevouwen wordt.
• Met passer en liniaal kan je makkelijk de bissectrice van een hoek met 2 rechten
maken. Dus als je 2 kruisende rechten hebt, dan is de bissectrice de rechte die die
hoek juist in 2 gelijke delen verdeeld.
• Dus als je een bissectrice wilt maken door te vouwen, dan vouw je de ene rechte (l) op
de andere rechte (m).
• ! Deze is belangrijk
• Speciaal geval: als je nu 2 evenwijdige rechten hebt en je wilt de ene rechte op de
andere vouwen. Dan krijg je als vouw een evenwijdige die juist door het midden van
de afstand tussen de 2 rechten gaat.




2 Costermans Isabo