Samenvatting wiskunde 2: wiskunde = wijs periode 1

DEEL 1: DIDACTIEK............................................................................3

1. DIDACTISCHE KRACHTLIJNEN..........................................................3

2. BETEKENISVOLLE SITUATIES...........................................................4

3. CSA-MODEL................................................................................... 4
Concreet.............................................................................................................................................................................4
Schematisch........................................................................................................................................................................4
Abstract..............................................................................................................................................................................5
Aandachtpunten.................................................................................................................................................................5


4. HANDELINGSNIVEAU V GALPERIN....................................................5
Materiaal handelen............................................................................................................................................................5
Perceptueel.........................................................................................................................................................................5
Verbaal................................................................................................................................................................................5
Mentaal..............................................................................................................................................................................5


5. INZICHTELIJKE AANPAK..................................................................5

6. BELANG V CONCREET WISKUNDIG VERWOORDEN.............................6

7. AUTOMATISEREN & MEMORISEREN.................................................6

8. INDUCTIEF & DEDUCTIEF WERKEN..................................................6
Inductief..............................................................................................................................................................................6
Deductief............................................................................................................................................................................7


9. EXTRA: GEBRUIK V VERHOUDINGSTABELLEN...................................7

DEEL 2: GEÏNTEGREERDE OEFENINGEN................................................7

10. PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN & METACOGNITIE.........................7
Metacognitie.......................................................................................................................................................................7
Probleemoplossend denken...............................................................................................................................................7
Fase 1 analyseren..........................................................................................................................................................8
Fase 2 model opbouwen/kiezen...................................................................................................................................8
Fase 3 wiskundige technieken toepassen.....................................................................................................................8
Fase 4: interpreteren & controleren.............................................................................................................................8
Klassieke fouten v lln.....................................................................................................................................................9
Organisatie les...............................................................................................................................................................9
1 vraagstuk/probleem aanbieden............................................................................................................................9
2 leergesprek............................................................................................................................................................9
3 zelfstandig oplossen..............................................................................................................................................9
4 wat zijn de gevonden strategieën.........................................................................................................................9
5 proces evaluatie...................................................................................................................................................10
Aandachtspunten........................................................................................................................................................10
!! Bordschema !!..........................................................................................................................................................10


1

,11. ONGELIJKE VERDELINGEN & MENGSELS.......................................10
Ongelijke verdelingen.......................................................................................................................................................10
Meer dan/ minder dan................................................................................................................................................10
Keer meer dan/ keer minder dan................................................................................................................................10
Aandachtspunten........................................................................................................................................................10
Mengsels...........................................................................................................................................................................11
Type 1 zoek de totale hoeveelheid.............................................................................................................................11
Type 2 zoek de verhoudingen.....................................................................................................................................12
Type 3 zoek de delen...................................................................................................................................................12


DEEL 3 MEETKUNDE.........................................................................13

12. BEGRIPPEN................................................................................ 13
Punten..............................................................................................................................................................................13
Lijnen................................................................................................................................................................................13
Oppervlakte......................................................................................................................................................................13
Hoeken..............................................................................................................................................................................13
Diagonalen........................................................................................................................................................................13
Hoogtelijn.........................................................................................................................................................................14
Middelloodlijn..................................................................................................................................................................14
Zwaartelijn........................................................................................................................................................................14
Deellijn of bissectrice........................................................................................................................................................14


13. VORMLEER................................................................................. 14
Vlakke figuren...................................................................................................................................................................14
Veelhoeken VS niet-veelhoeken.................................................................................................................................14
eerste graad.................................................................................................................................................................15
2e graad........................................................................................................................................................................15
3e graad........................................................................................................................................................................15
veelhoeken..................................................................................................................................................................16
Driehoeken DH.......................................................................................................................................................16
Vierhoeken.............................................................................................................................................................17
Bijkomende eigenschappen...................................................................................................................................21
Eigenschappen v diagonalen..................................................................................................................................21
Meer-hoeken..........................................................................................................................................................21
Niet-veelhoeken..........................................................................................................................................................21
Cirkel.......................................................................................................................................................................21
Ruimte figuren..................................................................................................................................................................22
Veelvlakken & niet-veelvlakken..................................................................................................................................22
Veelvlakken indelen volgens aantal zijden..................................................................................................................23
Kubus......................................................................................................................................................................23
Balk.........................................................................................................................................................................24
Niet-veelvlakken..........................................................................................................................................................24
Ontwikkeling v ruimte fig............................................................................................................................................25
Kubus......................................................................................................................................................................25
Balk.........................................................................................................................................................................25


14. MEETKUNDIGE RELATIES.............................................................26
Evenwijdige & loodrechte stand......................................................................................................................................26
Snijdende & evenwijdige rechten in het vlak..............................................................................................................26
loodrechte stand..............................................................................................................................................................26


DEEL 4 METEN EN METEND REKENEN................................................26

2

,15. DE MEETLEERLIJN (PPT)..............................................................26
Fase 1 kwalitatief meten..................................................................................................................................................26
Voorwerpen kwalitatief vergelijken............................................................................................................................26
Rangschikken obv een kwalitatieve vergelijking.........................................................................................................27
samenstellen en optellen v gelijksoortige grootheden...............................................................................................27
Fase 2a kwantitatieve fase...............................................................................................................................................27
Fase 2b kwantitatieve fase...............................................................................................................................................27


16. FORMULES................................................................................. 27
Omtrek..............................................................................................................................................................................27
F1 Kwalitatief vergelijken............................................................................................................................................27
F2a Natuurlijke maateenheden...................................................................................................................................28
F2b standaardmaateenheden.....................................................................................................................................28
omtrek v niet-veelhoeken......................................................................................................................................28
Oppervlakte (opp)............................................................................................................................................................29
F1 vergelijken...............................................................................................................................................................29
Op elkaar leggen (eerste graad).............................................................................................................................29
Knippen & plakken (2e graad).................................................................................................................................29
Meestal omstructureren (3e graad)........................................................................................................................29
F2a natuurlijke maateenheden...................................................................................................................................29
F2b standaardmaateenheden.....................................................................................................................................29
Rechthoek....................................................................................................................................................................30
Paralellogram...............................................................................................................................................................30
Driehoek......................................................................................................................................................................31
Driehoek als helft v parallellogram........................................................................................................................31
Driehoek als helft v rechthoek...............................................................................................................................31
Ruit...............................................................................................................................................................................32
Omstructureren tot parallellogram........................................................................................................................32
Ruit aanvullen tot rechthoek..................................................................................................................................32
Opp v niet-veelhoeken................................................................................................................................................32
Grillige figuren........................................................................................................................................................32
Opp v cirkel.............................................................................................................................................................33
Opp v ruimte fig...........................................................................................................................................................33
Balk.........................................................................................................................................................................33
Kubus......................................................................................................................................................................34
cilinder....................................................................................................................................................................34
Volume.............................................................................................................................................................................34
Balk..............................................................................................................................................................................35
Kubus...........................................................................................................................................................................35


17. SAMENGESTELDE GROOTHEDEN..................................................35
massadichtheid (soortelijk gewicht).................................................................................................................................36




DEEL 1: didactiek
1. Didactische krachtlijnen
 Betekenisvolle situaties
 CSA-model
 Handelingsniveaus v Galperin
 Inzichtelijke aanpak
 Correct wiskundig verwoorden
3

,  Automatiseren & memoriseren
 Inductief werken
 Gebruik v verhoudingstabellen

2. Betekenisvolle situaties
 Lln komen constant in contact met situaties die ze kunnen wiskundig kunnen
doorgronden
 Lkr moet zorgen dat lln verband leren zien tss wiskunde & realiteit
 Gebruik wiskundig denkproces
1. Stel essentiële elementen & relaties vo uit situatie
2. Stel wiskundig model op waar die elementen & relaties inzitten op passende wijze
3. Pas binnen model wiskundige technieken toe om tot resultaten te komen
4. Controleer & interpreteer de resultaten op ≠ manieren
 Lkr zet steeds betekenisvolle situatie centraal zodat lln link tss situatie & wiskunde beter
kunnen inzien
 Gebruikt betekenisvolle situaties
- Om inzicht te krijgen in begrip
- Bij inoefenen v leerstof
- Bij afsluiten v les om leerstof toe te passen op realistische situaties
 Aandachtspunten
- Centraal stellen v relatie tss situatie & realiteit
- Ontdekken v praktisch & maatschappelijk nu
- Betrekken v betekenisvolle situaties verhoogt motivatie

3. CSA-model
 Wiskunde = zeer abstract
 In lessen moeten we lln tot die abstractie brengen
 Vo ied een proces
 Gebruik hulpmiddelen -> CSA-model
 Concreet – schematisch – abstract

Concreet
 Lln leren motorisch handelen met materiaal dat ze kunnen manipuleren
 Didactisch, alledaags, keuze materiaal
 Bv pizza
 materiaal

Schematisch
 Lln leren do gebruik v schematische voorstellingen
 Opbouw
1. Afbeelding v werkelijkheid bv 10 noten tekenen op bord
2. Afbeelding die in de plaats komt v werkelijkheid bv 10 kruisjes ipv noten tekenen
3. Afbeelding v gestructureerde materiaal
4. Tabellen
5. Getallenlijnen
6. Figuren bv vierhoek is ook schema
4

,  tekenen

Abstract
 Leren gebruiken v symbolen & formeel rekenen zonder materiaal of schema’s
 Voer leergesprekken ov ≠ oplossingswijze waar lln nieuwe manieren leren om probleem
aan te pakken
 Vb: 2/6
 Verwoorden

Aandachtpunten
 Gebruik CSA bij aanbrengen nieuwe inhoud
 Ni ied doorloopt fase op zelfde tempo
 DUS diff
 Concreet & schematisch blijft noodzakelijk tot inzicht is verworven
 Lkr moet nagaan of elke lln alle niveaus heeft bereikt
 Als lln kan verwoorden wat doet -> geen schema meer moeten maken
 Als merkt dat lln ni kan verwoorden -> vraag om stappen te tekenen of met materiaal
te leggen
 Zo ontdekken op welk niveau lln vastloopt

4. Handelingsniveau v Galperin
 Geeft antwoord op vraag: hoe ontstaan
mentale mandelingen
 Hij zegt volgens trappen v 4
handelingsniveaus



Materiaal handelen
 Doen & verwoorden
 Gebruiken materiaal
 Verwoorden wat ze doen

Perceptueel
 Kijken & verwoorden
 Handelen met waarnemingen
 Verwoorden wat ze zien

Verbaal
 Verwoorden
 Verwoorden luidop hoe ze redeneren zonder gebruik v materiaal of voorstellingen

Mentaal
 Denkwerk
 Doen denkwerk in hoofd zonder materiaal of voorstellingen

5. Inzichtelijke aanpak
 Regels niet als feiten of trucjes aanleren
5

,  Word snel vergeten
 Lln weten niet hoe je eraan komt
 Lln weten niet wnr je ze mag gebruiken
 Trucjes kan je niet in alle nieuwe situaties gebruiken
 Lln moeten betekenis v begrip begrijpen & met deelhandelingen kunnen redeneren
 Lkr moet nieuwe begrippen
 Kaderen in leerlijnen -> do herhaling activeer je voorkennis waardoor nieuwe
kennis sneller w verbonden
 Inzichtelijk opbouwen -> CSA model & handelingsniveaus

6. belang v concreet wiskundig verwoorden
 Verwoording is brug tss gebruik v materiaal en werken zonder
 Lkr moet vaste verwoording gebruiken bij automatiseren v oplossingsmethoden
 Lkr moet zorgen vo overgang tss spreektaal & vaktaal
 Lln moeten vaktaal regelmatig gebruiken -> niet vermijden omdat abstract is
 !! Lkr moet terminologie juist gebruiken in vraagstellingen & instructies !!

7. automatiseren & memoriseren




 Inzichtelijke aanbreng
 Materiaal gebruiken
 Verwoorden
 Tussenstappen opschrijven
 Veel oefenen
 Steeds vlotter w in rekenen
 Lkr houd rekening met verschil in tempo v automatisering
 Verhoog motivatie do variëren in werkvorm -> geen wedstrijd want tempo
verschil
 Parate kennis
 Do veel oefenen
 Tempo opdrijven tot je niet meer moet nadenken ov welke strategie je gebruikt

8. inductief & deductief werken
Inductief
 Vertrek uit voorbeelden om patronen & wetmatigheden
te ontdekken
 Vanuit patronen & wetmatigheden proberen begrippen, regels & principes te
omschrijven
 Die begrippen,… proberen plaatsen in nieuwe contexten
 Als lkr juiste voorbeelden kiezen
 Alle variaties binnen regel moeten aan bod komen & gekend zijn
 Vermijd uitzonderingen die niet gekend moeten zijn

6

,  LEES VB P 217

Deductief
 Vertrekt uit regel -> gaat hierop oefeningen maken
 Geeft regel als wetmatigheid -> probeert do veel oefenen gekend te krijgen
 Je legt op een foutieve manier de basis
 Kans veel groter dat lln regel foutief toepassen of vergeten
 Zo veel meer regels moeten kennen -> vo elke situatie andere regel

9. Extra: gebruik v verhoudingstabellen
 Benoem grootheden & eenheden
 Noteer herleidingen op rekenwerk makkelijker te maken
 Zorg dat verhoudingen gelijk blijven
 Werk chronologisch
 Gebruik geen percentage -> zorgt vo verwarring
 Zorg vo geleidelijke opbouw v tabellen -> zo krijgen lln inzicht in opbouw
 Geef eerst lege tabel met ingevulde titels om te werken naar blanco tabellen

Deel 2: geïntegreerde oefeningen
10. probleemoplossend denken & metacognitie
(dit deel komt volledig uit de ppt)

Metacognitie
 = kunnen verwoorden v ja handeling
 = denken aan je denkproces
 Aandacht nodig vo relatie tss voorkennis & nieuwe kennis
 Aandacht vo begrijpen v vooraf gaande processen die nodig waren
 Bewust zijn dat je iets nieuw leert
 Ow leergesprekken ov denkproces staan centraal
 Uitdagende vragen stellen
 Diep ingaan op denkstappen
 Lln laten verwoorden wat hun denkproces is
 Volgens 4 stappen: wat, hoe, doe, controleer
 Hangt vaak samen met rekenmethode
 analyseren, methode kiezen, methode gebruiken (technieken toepassen),
controleren

Probleemoplossend denken
 = oplossen v oefeningen die geen routine zijn -> oplossingsstrategie ligt niet voor de
hand
bv: je maakt kartonnen dozen waarin juist 36 blokjes met ribbe 1cm passen. Welke
afmetingen heeft zo een kartonnen doos?
 Wnr oplossing gevonden -> nadenken of dat de enige oplossing is
 Lln moeten opzoek nr relevante voorkennis -> ontwikkelen nieuwe inzichten
 Attitudes: doorzettingsvermogen , kritisch denken/ kijken
 Veel aandacht vo vraagstukken:
7

,  Voorkennis
 Werken met heuristieken
 Belangrijk vo lkr
 Aandacht besteden aan gestructureerde methode
 Leergesprek ov methode moet centraal staan -> niet aantal vraagstukken
 Les moet gaan ov methode niet ov vraagstukken
 8 stappen v heuristieken:
1. Lezen v probleem
2. Aanduiden v gegevens
3. Aanduiden v gevraagde
4. Kiezen v wiskundige methode die je gaat gebruiken
5. Uitvoeren v die methode
6. Formuleren v antwoordzin
7. Controleren v antwoord
8. Reflectie op proces & uitbreiding
 4 grote fase/ stappenplan v heuristieken
1. Analyseren
2. Wiskundig model kiezen
3. Wiskundige technieken toepassen
4. Interpreteren & controleren
Fase 1 analyseren
 Voor kan beginnen aan vraagstuk -> eerst interpreteren
 Lees probleem
 Wat gegeven
 Wat gevraagd
Fase 2 model opbouwen/kiezen
 Ga opzoek nr methode -> verschillende zijn mogelijk
 Maak schematische voorstelling om:
 Gegevens te ordenen
 Denk werk te ondersteunen
 Relaties tss gegevens te visualiseren
 Strategie te ontdekken die best bij probleem past
 Schematiseren:
 Geen doel maar hulpmiddel
 Bewaard eenvoud
 Leert verschillende vormen op verschillende niveaus
 Remt inzicht & ontw niet -> sommige lln niet nodig maar moeten toch kunnen
Fase 3 wiskundige technieken toepassen
 Lln gaan gekozen schema toepassen
 Vertrekken uit voorstelling gemaakt in fase 2
Fase 4: interpreteren & controleren
 Belangrijke attitude vaak vergeten do lln
 Wat werd gevraagd
8