Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 3

Fundamenten – Uitwerkingen
Huiswerk 3


29 september 2021

Opgave 3.2.1. Hoeveel elementen heeft de verzameling A = {a, b, {a, b}}?
Antwoord: Er geldt dat a ∈ A, b ∈ A en {a, b} ∈ A. Dit zijn alle
verschillende elementen die de verzameling A bevat. De verzameling A =
{a, b, {a, b}} heeft dus 3 elementen.
Extra informatie: De grootte van een verzameling wordt ook wel de kardinaliteit
van een verzameling genoemd, en kan worden genoteerd met verticale strepen
aan de linker- en rechterkant van de verzameling, net als bij de absolute
waarde. Voor Opgave 3.2.1 krijgen we dan voor de kardinaliteit van de
verzameling A dat |A| = 3. Een andere notatie die voorkomt is het gebruik
van een hekje, oftewel #A = 3.


Opgave 3.2.3. Hoe worden de volgende verzamelingen ook wel genoemd?
(1) A := {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
Antwoord: Bij een opgave met gehele getallen is het vaak verstandig om te
beginnen met kleine gevallen van n, met n ∈ Z.
Voor n = 0 hebben we 0 = 2 · 0 met 0 ∈ Z, dus

0 ∈ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
1 1
Voor n = 1 hebben we 1 = 2 · 2
met 2
∈
/ Z, dus

1∈
/ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.

1

,Voor n = −1 hebben we −1 = 2 · − 12 met − 12 ∈


/ Z, dus

−1 ∈
/ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.

Voor n = 2 hebben we 2 = 2 · 1 met 1 ∈ Z, dus

2 ∈ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.

Voor n = −2 hebben we −2 = 2 · (−1) met −1 ∈ Z, dus

−2 ∈ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
3 3
Voor n = 3 hebben we 3 = 2 · 2
met 2
∈
/ Z, dus

3∈
/ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.

We zien hierbij het volgende patroon:

{−2, 0, −2} ⊂ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.

De even getallen n zijn te schrijven als n = 2m met m ∈ Z en zitten dus in
de verzameling {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
De oneven getallen n zijn juist niet te schrijven als n = 2m met m ∈ Z, voor
deze getallen geldt namelijk n = 2m + 1 en zitten dus niet in de verzameling
{n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
Conclusie: de verzameling {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z} bestaat uit alle
even getallen.
Extra informatie: De verzameling bestaande uit alle even getallen wordt
ook wel genoteerd als 2Z.


(2) B := {k ∈ N | er bestaan p, q ∈ N zodat k = pq, en dat 1 < p <
k en 1 < q < k}.
Antwoord: Bij deze opgave bekijken we een deelverzameling van N, dus is
het ook hier verstandig om eerst kleine gevallen van k met k ∈ N te proberen.
Voor k = 1 hebben we 1 = 1 · 1, dus p = 1 en q = 1. Hieruit volgt:

1∈
/ B,

2

, want p = 1 ̸< 1 = k en q = 1 ̸< 1 = k.
Voor k = 2 hebben we 2 = 2 · 1, dus p = 1 en q = 1. Hieruit volgt:

2∈
/ B,

want p = 2 ̸< 2 = k en 1 ̸< 1 = q.
Voor k = 3 hebben we 3 = 3 · 1, dus p = 3 en q = 1. Hieruit volgt:

3∈
/ B,

want p = 3 ̸< 3 = k en 1 ̸< 1 = q.
Voor k = 4 hebben we 4 = 2 · 2, dus p = 2 en q = 2. Hieruit volgt:

4 ∈ B,

want 1 < p = 2 < k = 3 en 1 < q = 2 < k = 3.
We zien hierbij het volgende patroon:

{4, 6, 8, 9, 10} ⊂ B,

waarbij het getal k = 1 en de priemgetallen steeds worden overgeslagen. Laat
P de verzameling zijn van alle priemgetallen. Dan is de verzameling B te
schrijven als:
B = N − ({1} ∪ P ).
De verzameling B bestaat dus uit alle samengestelde getallen, oftewel alle
getallen die minstens twee keer deelbaar zijn door een (niet noodzakelijk
hetzelfde) priemgetal.


(3) C := {x ∈ R | er bestaan a, b ∈ Z zodat b ̸= 0 en x = ab }.
Antwoord: Met a ∈ Z en b ∈ Z − {0} kunnen we respectievelijk alle tellers
a en alle noemers b van een breuk maken. Hieruit volgt dat C = Q, oftewel
de verzameling van alle rationale getallen.




3