Hoofdstuk 1 Hele getallen
Basisvaardigheden
Talstelsel: om hoeveelheden op te kunnen schrijven en ermee te kunnen rekenen
is zo’n systeem nodig zodat het door iedereen begrepen en gehanteerd kan
worden.
De romeinen gebruikten een systeem dat uit enkele symbolen bestond. Elk
symbool had zijn eigen waarde:
I= 1 C=100
V=5 D=500
X=10 M=1000
L=50
Met behulp van een eenvoudig rekenhulpmiddel, de Romeinse abacus, kon men
er zelfs mee rekenen. Regels XX= 10+10=20 IX= 10-1=9
Dit systeem heet een additief talstelsel. Nadeel: beperkt aantal symbolen. Later
wereldwijd het decimale positiestelsel. Kern is dat de waarde van een cijfer niet
alleen bepaald wordt door het cijfer zelf, maar ook door de plaats waar dat cijfer
in het getal staat. 3273. Eerste 3 voor drieduizend. Dit is het tientalligstelsel.
Achttallig stelsel is het land van Okt.
Er zijn twee goede manieren om getallen in beeld te brengen. De ene gaat uit
van materiaal terwijl de ander gebruik maakt van een model. Een mooie context
om tientallig stelsel in beeld te brengen is het gebruik van geld. MAB-materiaal:
leermiddel waarbij het tientallig stelsel is weergegeven in losse blokjes, staafjes
en plaatjes en kubussen.
De getallenlijn is een belangrijk model om inzicht te krijgen in stelsel. Gaat niet
alleen om waarde maar ook om welke plaats cijfer heeft binnen de verzameling
cijfers. Ook is het goed om de leerlingen getalbegrip bij te brengen. Getallen
plaatsen en dit noemen we positioneren, een belangrijke oefening om inzicht te
krijgen in de waarde van getallen.
Een model is een schematische weergave van de achterliggende bedoeling van
een bewerking of opgave. Bedoeld om inzicht te krijgen in de wiskundige
handeling of bewerking.
Een context is een betekenisvolle situatie gebaseerd op een (wiskundig) model.
Een context is niet zomaar een situatie maar er hoort een model bij waardoor we
de bewerking nog beter gaan begrijpen.
De belangrijkste bewerkingen zijn: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en
delen. Dit leidt naar een resultaat. Voorafgegaan door het ‘is gelijk’- teken (=).
Wiskundig correct: 100 x 28= 2800 2800:4=700
Wiskundig niet correct: 25x28= 100x28=2800:4=700
,Optellen kan gezien worden als het samenvoegen van twee of meer
hoeveelheden. De getallen die bij elkaar opgeteld worden heten de termen van
de optelling. De uitkomst heet de som.
Een model voor rekenen tot honderd is het honderdveld. Dit model maakt het
mogelijk om de denkstappen in beeld te brengen. Ontwikkeling van de
getalwaarden omdat de posities van de getallen nu duidelijker zichtbaar zijn.
€3 pen en €1 potlood en €5 boek. In plaats van prijzen samenvoegen maar eerst
pen en potlood optellen en daarna pas prijs van boek erbij heet rijgen.
Eigenschappen van de bewerkingen. Bij optellen belangrijk 7+8 is rekenkundig
net zoveel als 8+7. Deze eigenschap heet de commutatieve
eigenschap(wisseleigenschap).
Aftrekken gaat niet altijd over het verschil tussen twee grootheden. Bij aftrekking
heet het getal waarvan wordt afgetrokken het aftrektal. Het getal dat daarvan
afgetrokken wordt heet de aftrekker. De uitkomst van een aftrekking heet het
verschil.
Vier manieren om naar aftrekken te kijken. 1. Splitsen 2. Verminderen
3.Vergelijken 4. Inverse(het omgekeerde) van optellen.
Splitsen is sprake als bij een hoeveelheid wordt gevraagd hoeveel er overblijft
wanneer alvast een groepje benoemd wordt.(25 kids, 6 mogen meedoen hoeveel
mogen niet mee doen?) T-tabellen
Verminderen gaat om terugtellen. (klok €100, €20 goedkoper wat is nieuwe
prijs?)
Vergelijken gaat om het verschil tussen twee hoeveelheden. Gaat om wat is
meer, wat is minder, hoeveel minder. (dubbele strook)
Inverse toepassing wordt gekeken naar hoeveel er nog bij moet om bepaalde
hoeveelheid te krijgen. (sparen fiets 530, heb al 375, hoeveel moet ik nog
sparen?)
De getallen die met elkaar vermenigvuldigd worden heten factoren. Als twee
getallen met elkaar vermenigvuldigd worden heet het eerste getal de
vermenigvuldiger en het tweede getal het vermenigvuldigtal. De uitkomst van
een vermenigvuldiging heet het product.
Het herhaald optellen is de meest gebruikelijke manier om naar
vermenigvuldigen te kijken. De modellen die hierbij aansluiten zijn het
rechthoekmodel en het groepjesmodel.
,Omgekeerde van vermenigvuldigen is delen. Deeltal: deler = quotiënt. Getal dat
gedeeld moet worden is het deeltal. Waarmee gedeeld word de deler en de
uitkomst heet het quotiënt.
Delen heeft meerdere interpretaties: 1. Eerlijk verdelen en uitdelen
2. Het inverse (omgekeerde) van vermenigvuldigen
3. Ratio(verhouding)
Bij eerlijk verdelen gaat het om het gelijk verdelen van een hoeveelheid. (24
knikkers over 6 kids)
Bij de inverse toepassing maak bakjes van 6 appels uit zak van 24 appels. Model
is niet verdelen maar herhaald aftrekken. Dit wordt ook wel opdelen genoemd.
Bij ratio worden twee hoeveelheden met elkaar vergeleken. Gaat altijd om de
verhouding tussen deze twee hoeveelheden: Sophie verdient 3x zo veel als Gijs.
Verhouding van inkomens van Sophie en Gijs 3 staat tot 1 (notatie 3:1)
Het flexibel rekenen met behulp van de eigenschappen van de bewerkingen
wordt ook wel de varia-aanpak genoemd.
Oplossingsstrategieën bij berekenen van optel aftrek vermenigvuldig en
deelopgaven:
-Rijgen -Splitsen -Varia-aanpak
Belangrijk aspect is het handig rekenen. Met aanwezige kennis je de
eenvoudigste aanpak kiest. 87-49=88-50=38.
Bij handig rekenen wordt vaak gebruikgemaakt van de eigenschappen van de
bewerkingen en strategieën.
1. Communicatieve (of wissel) eigenschap: 3+4= 4+3= / 3x4=
4x3=
2. De distributieve (of verdeel) eigenschap: 8x (5+7) = (8x5) + (8x7)
3. De associatieve (of schakel) eigenschap: (3+4) +5= 3 + (4+5)
4. De inverse eigenschap: 24:3= 8 dus 8x3=24
5. Compenseren (of termen veranderen/transformeren): ‘’124+189= 113 +
200’’ 2876-387= 2889-400
6. Groter en kleiner maken bij vermenigvuldigen: 48x75= 12x300
7. Groter of kleiner maken bij delen: 336:12 = 112: 4.
De communicatieve eigenschap gebruikt voor een plezierig uiterlijk: 29+15 oogt
beter dan 15+29 terwijl de uitkomst hetzelfde is. Deze eigenschap geldt alleen
voor optellen en vermenigvuldigen. Optelling kan met stroken of getallenlijn
zichtbaar gemaakt worden. Vermenigvuldigen met rechthoekmodel.
, De distributieve eigenschap kan op veel manieren worden toegepast.
1. De traditionele manier: 8x(5+7)= (8x5) + (8x7)
2. Splitsen: 18x25= 10x25 + 8x25 132:12= 120:12+12:12
3. Inverse: (37x5,5) + (5,5x63)= 100X5,5
4. Om beter uit te komen: 39x25= 36x25+3x25=900+75, of 40x25-
1x25=1000-25. 39 kan verdeeld worden in 36+3 of 40-1
De verdeeleigenschap geld wel voor het deeltal maar niet voor de deler. 65: 15
mag worden 60: 15+5:15 maar niet 65:10+65:5.
De associatieve eigenschap geeft aan dat bij optellen en vermenigvuldigen de
volgorde van getallen niet uitmaakt. Bij 29x25x4 kan eerst 25x4 worden
uitgerekend. Dan blijft 29x100 over.
De inverse eigenschap laat de rekenaar gebruikmaken van het feit dat aftrekken
het omgekeerde is van optellen, en delen het omgekeerde van vermenigvuldigen.
411-395 kan ook weergegeven worden als 395 + … = 411. Door tellen of rijgen
heb je snel oplossing. 1208:12= ..X12=1208. Stip- en vleksommen hebben
als doel de inverse relatie zichtbaar te maken.
Compenseren is van toepassing bij optellen en aftrekken. Verschil tussen indirect
en direct compenseren, ook wel compenseren en transformeren genoemd. Bij
transformeren worden de aanpassingen die gemaakt worden direct verwerkt:
25+17= 30+12. Bij compenseren gebeurt dit achteraf: 25+17= 30+17-5.
Voorkeur is transformeren, bij compenseren leidt vaker tot fouten.(vaak
aftrekken) 198+68= (198+2) + (68-2) = 200+66. Voor optellen geldt dat als bij
de ene term iets opgeteld wordt, dit meteen van de andere term afgehaald moet
worden. Leerlingen die dit lastig vinden gebruik strookmodel. Bij aftellen geldt
dat als er bij het eerste getal iets wordt opgeteld of afgetrokken dit ook bij het
andere getal moet gebeuren omdat anders het verschil niet hetzelfde blijft.
Compenseren wordt vooral bij grote getallen gebruikt die bij mooi rond getal ligt.
Groter en kleiner maken(GEK) bij vermenigvuldigen is de algemene vorm voor
halveren/verdubbelen. Opgave zo omgevormd dat er een makkelijkere opgave
ontstaat. 128x225= 64x450= 32x900= 16x1800= 8x3600=
4x7200= 2x14400=28.800. 63x143=9x1001(factor 7) Kennis van de tafels
is essentieel om dit snel te kunnen.
Groter of kleiner maken (GOK) bij delen sluit aan bij het zien van delen als een
verhouding. Die blijft intact als de getallen met hetzelfde getal worden
vermenigvuldigd of gedeeld. 225:75= 225:75= (delen door 25)
9:3=3 OF 225:75=(keer 4) 900:300=3 Als je
ontbinden in factoren goed beheerst is deze eigenschap een krachtig
rekenhulpmiddel.
De kenmerken van deelbaarheid helpen bij het snel vinden van delers van
grotere getallen. Een getal is deelbaar door een ander getal als de uitkomst van
Basisvaardigheden
Talstelsel: om hoeveelheden op te kunnen schrijven en ermee te kunnen rekenen
is zo’n systeem nodig zodat het door iedereen begrepen en gehanteerd kan
worden.
De romeinen gebruikten een systeem dat uit enkele symbolen bestond. Elk
symbool had zijn eigen waarde:
I= 1 C=100
V=5 D=500
X=10 M=1000
L=50
Met behulp van een eenvoudig rekenhulpmiddel, de Romeinse abacus, kon men
er zelfs mee rekenen. Regels XX= 10+10=20 IX= 10-1=9
Dit systeem heet een additief talstelsel. Nadeel: beperkt aantal symbolen. Later
wereldwijd het decimale positiestelsel. Kern is dat de waarde van een cijfer niet
alleen bepaald wordt door het cijfer zelf, maar ook door de plaats waar dat cijfer
in het getal staat. 3273. Eerste 3 voor drieduizend. Dit is het tientalligstelsel.
Achttallig stelsel is het land van Okt.
Er zijn twee goede manieren om getallen in beeld te brengen. De ene gaat uit
van materiaal terwijl de ander gebruik maakt van een model. Een mooie context
om tientallig stelsel in beeld te brengen is het gebruik van geld. MAB-materiaal:
leermiddel waarbij het tientallig stelsel is weergegeven in losse blokjes, staafjes
en plaatjes en kubussen.
De getallenlijn is een belangrijk model om inzicht te krijgen in stelsel. Gaat niet
alleen om waarde maar ook om welke plaats cijfer heeft binnen de verzameling
cijfers. Ook is het goed om de leerlingen getalbegrip bij te brengen. Getallen
plaatsen en dit noemen we positioneren, een belangrijke oefening om inzicht te
krijgen in de waarde van getallen.
Een model is een schematische weergave van de achterliggende bedoeling van
een bewerking of opgave. Bedoeld om inzicht te krijgen in de wiskundige
handeling of bewerking.
Een context is een betekenisvolle situatie gebaseerd op een (wiskundig) model.
Een context is niet zomaar een situatie maar er hoort een model bij waardoor we
de bewerking nog beter gaan begrijpen.
De belangrijkste bewerkingen zijn: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en
delen. Dit leidt naar een resultaat. Voorafgegaan door het ‘is gelijk’- teken (=).
Wiskundig correct: 100 x 28= 2800 2800:4=700
Wiskundig niet correct: 25x28= 100x28=2800:4=700
,Optellen kan gezien worden als het samenvoegen van twee of meer
hoeveelheden. De getallen die bij elkaar opgeteld worden heten de termen van
de optelling. De uitkomst heet de som.
Een model voor rekenen tot honderd is het honderdveld. Dit model maakt het
mogelijk om de denkstappen in beeld te brengen. Ontwikkeling van de
getalwaarden omdat de posities van de getallen nu duidelijker zichtbaar zijn.
€3 pen en €1 potlood en €5 boek. In plaats van prijzen samenvoegen maar eerst
pen en potlood optellen en daarna pas prijs van boek erbij heet rijgen.
Eigenschappen van de bewerkingen. Bij optellen belangrijk 7+8 is rekenkundig
net zoveel als 8+7. Deze eigenschap heet de commutatieve
eigenschap(wisseleigenschap).
Aftrekken gaat niet altijd over het verschil tussen twee grootheden. Bij aftrekking
heet het getal waarvan wordt afgetrokken het aftrektal. Het getal dat daarvan
afgetrokken wordt heet de aftrekker. De uitkomst van een aftrekking heet het
verschil.
Vier manieren om naar aftrekken te kijken. 1. Splitsen 2. Verminderen
3.Vergelijken 4. Inverse(het omgekeerde) van optellen.
Splitsen is sprake als bij een hoeveelheid wordt gevraagd hoeveel er overblijft
wanneer alvast een groepje benoemd wordt.(25 kids, 6 mogen meedoen hoeveel
mogen niet mee doen?) T-tabellen
Verminderen gaat om terugtellen. (klok €100, €20 goedkoper wat is nieuwe
prijs?)
Vergelijken gaat om het verschil tussen twee hoeveelheden. Gaat om wat is
meer, wat is minder, hoeveel minder. (dubbele strook)
Inverse toepassing wordt gekeken naar hoeveel er nog bij moet om bepaalde
hoeveelheid te krijgen. (sparen fiets 530, heb al 375, hoeveel moet ik nog
sparen?)
De getallen die met elkaar vermenigvuldigd worden heten factoren. Als twee
getallen met elkaar vermenigvuldigd worden heet het eerste getal de
vermenigvuldiger en het tweede getal het vermenigvuldigtal. De uitkomst van
een vermenigvuldiging heet het product.
Het herhaald optellen is de meest gebruikelijke manier om naar
vermenigvuldigen te kijken. De modellen die hierbij aansluiten zijn het
rechthoekmodel en het groepjesmodel.
,Omgekeerde van vermenigvuldigen is delen. Deeltal: deler = quotiënt. Getal dat
gedeeld moet worden is het deeltal. Waarmee gedeeld word de deler en de
uitkomst heet het quotiënt.
Delen heeft meerdere interpretaties: 1. Eerlijk verdelen en uitdelen
2. Het inverse (omgekeerde) van vermenigvuldigen
3. Ratio(verhouding)
Bij eerlijk verdelen gaat het om het gelijk verdelen van een hoeveelheid. (24
knikkers over 6 kids)
Bij de inverse toepassing maak bakjes van 6 appels uit zak van 24 appels. Model
is niet verdelen maar herhaald aftrekken. Dit wordt ook wel opdelen genoemd.
Bij ratio worden twee hoeveelheden met elkaar vergeleken. Gaat altijd om de
verhouding tussen deze twee hoeveelheden: Sophie verdient 3x zo veel als Gijs.
Verhouding van inkomens van Sophie en Gijs 3 staat tot 1 (notatie 3:1)
Het flexibel rekenen met behulp van de eigenschappen van de bewerkingen
wordt ook wel de varia-aanpak genoemd.
Oplossingsstrategieën bij berekenen van optel aftrek vermenigvuldig en
deelopgaven:
-Rijgen -Splitsen -Varia-aanpak
Belangrijk aspect is het handig rekenen. Met aanwezige kennis je de
eenvoudigste aanpak kiest. 87-49=88-50=38.
Bij handig rekenen wordt vaak gebruikgemaakt van de eigenschappen van de
bewerkingen en strategieën.
1. Communicatieve (of wissel) eigenschap: 3+4= 4+3= / 3x4=
4x3=
2. De distributieve (of verdeel) eigenschap: 8x (5+7) = (8x5) + (8x7)
3. De associatieve (of schakel) eigenschap: (3+4) +5= 3 + (4+5)
4. De inverse eigenschap: 24:3= 8 dus 8x3=24
5. Compenseren (of termen veranderen/transformeren): ‘’124+189= 113 +
200’’ 2876-387= 2889-400
6. Groter en kleiner maken bij vermenigvuldigen: 48x75= 12x300
7. Groter of kleiner maken bij delen: 336:12 = 112: 4.
De communicatieve eigenschap gebruikt voor een plezierig uiterlijk: 29+15 oogt
beter dan 15+29 terwijl de uitkomst hetzelfde is. Deze eigenschap geldt alleen
voor optellen en vermenigvuldigen. Optelling kan met stroken of getallenlijn
zichtbaar gemaakt worden. Vermenigvuldigen met rechthoekmodel.
, De distributieve eigenschap kan op veel manieren worden toegepast.
1. De traditionele manier: 8x(5+7)= (8x5) + (8x7)
2. Splitsen: 18x25= 10x25 + 8x25 132:12= 120:12+12:12
3. Inverse: (37x5,5) + (5,5x63)= 100X5,5
4. Om beter uit te komen: 39x25= 36x25+3x25=900+75, of 40x25-
1x25=1000-25. 39 kan verdeeld worden in 36+3 of 40-1
De verdeeleigenschap geld wel voor het deeltal maar niet voor de deler. 65: 15
mag worden 60: 15+5:15 maar niet 65:10+65:5.
De associatieve eigenschap geeft aan dat bij optellen en vermenigvuldigen de
volgorde van getallen niet uitmaakt. Bij 29x25x4 kan eerst 25x4 worden
uitgerekend. Dan blijft 29x100 over.
De inverse eigenschap laat de rekenaar gebruikmaken van het feit dat aftrekken
het omgekeerde is van optellen, en delen het omgekeerde van vermenigvuldigen.
411-395 kan ook weergegeven worden als 395 + … = 411. Door tellen of rijgen
heb je snel oplossing. 1208:12= ..X12=1208. Stip- en vleksommen hebben
als doel de inverse relatie zichtbaar te maken.
Compenseren is van toepassing bij optellen en aftrekken. Verschil tussen indirect
en direct compenseren, ook wel compenseren en transformeren genoemd. Bij
transformeren worden de aanpassingen die gemaakt worden direct verwerkt:
25+17= 30+12. Bij compenseren gebeurt dit achteraf: 25+17= 30+17-5.
Voorkeur is transformeren, bij compenseren leidt vaker tot fouten.(vaak
aftrekken) 198+68= (198+2) + (68-2) = 200+66. Voor optellen geldt dat als bij
de ene term iets opgeteld wordt, dit meteen van de andere term afgehaald moet
worden. Leerlingen die dit lastig vinden gebruik strookmodel. Bij aftellen geldt
dat als er bij het eerste getal iets wordt opgeteld of afgetrokken dit ook bij het
andere getal moet gebeuren omdat anders het verschil niet hetzelfde blijft.
Compenseren wordt vooral bij grote getallen gebruikt die bij mooi rond getal ligt.
Groter en kleiner maken(GEK) bij vermenigvuldigen is de algemene vorm voor
halveren/verdubbelen. Opgave zo omgevormd dat er een makkelijkere opgave
ontstaat. 128x225= 64x450= 32x900= 16x1800= 8x3600=
4x7200= 2x14400=28.800. 63x143=9x1001(factor 7) Kennis van de tafels
is essentieel om dit snel te kunnen.
Groter of kleiner maken (GOK) bij delen sluit aan bij het zien van delen als een
verhouding. Die blijft intact als de getallen met hetzelfde getal worden
vermenigvuldigd of gedeeld. 225:75= 225:75= (delen door 25)
9:3=3 OF 225:75=(keer 4) 900:300=3 Als je
ontbinden in factoren goed beheerst is deze eigenschap een krachtig
rekenhulpmiddel.
De kenmerken van deelbaarheid helpen bij het snel vinden van delers van
grotere getallen. Een getal is deelbaar door een ander getal als de uitkomst van
