HLFM 2 – Financiering en Financiële rekenkunde
H2-H6 boek financiële rekenkunde en H5-H8 basisboek bedrijfseconomie
Financiële Rekenkunde
H2 Enkelvoudige interest
Berekening van de interest
Enkelvoudige interest = interestberekening waarbij de interest elke periode opnieuw berekend wordt over het
oorspronkelijke beginkapitaal.
Als men het rentepercentage voorstelt met p, het beginkapitaal met K en de tijd met t, dan wordt de formule
p
voor de enkelvoudige interestberekening:
I =t × × K Waarin I het interestbedrag voorstelt.
100
12
De looptijd wordt veelal uitgedrukt in jaren, maar dit kan ook in maanden. Als het ware staat er 12 = 1 jaar.
8
Dus voor 8 maanden wordt dit 12 .
t × p×K
De formule voor enkelvoudige interestberekening is:
I= Waarin I het interestbedrag is, t de
c
looptijd, p het interestpercentage of rentepercentage, K het kapitaal en c een constante namelijk: 100 als het
in jaren is uitgedrukt, 1200 als het in maanden is uitgedrukt en 36000 als het in dagen is uitgedrukt.
Berekening van de gemiddelde looptijd en kredietprijs
Bij de bepaling van de door de kredietverstrekker in rekening gebrachte kredietprijs wordt uitgegaan van de
gemiddelde looptijd. Kredietprijs = de kredietkosten van huurkoop (op jaarbasis) uitgedrukt in een
jaarpercentage van het krediet.
De gemiddelde looptijd is bepaald als het ongewogen rekenkundige gemiddelde. Je neemt daarvoor de som
van alle waarnemingen en deze deel je door het aantal waarnemingen. Bijvoorbeeld 5 maanden, dan:
1+ 2+ 3+4 +5
gemiddeldelooptijd= =3
5
Als de tussenpozen gelijk zijn, dan kan worden volstaan met het nemen va de som van de eerste en de laatste
1+ 5
waarneming en dan delen door 2, dus:
gemiddeldelooptijd= =3
2
Berekening van de grootte van de termijnen
1. Eerst krediet berekenen. (Contante prijs – eventuele aanbetaling)
2. Dan gemiddelde looptijd uitrekenen
3. Dan kosten kredietprijs met kredietpercentage berekenen
4. Krediet + kosten uitrekenen
5. Dan elke termijn = (krediet + kosten) / aantal termijnen
6. Totale prijs = eventuele aanbetaling + aantal termijn x termijnbedrag
Financieringsinstellingen
Gespecialiseerde instellingen gaan bij kostenberekening veelal niet uit van de gemiddelde maar van de volle
looptijd. Men gaat dan wel uit van een lager kredietpercentage. Hierdoor kan een wat vertekend beeld
ontstaan. Berekening kredietprijs:
1. Eerst krediet berekenen. (Contante prijs – eventuele aanbetaling)
2. Kosten van het krediet berekenen d.m.v. enkelvoudige interestberekening met de VOLLE looptijd als c.
3. Dan gemiddelde looptijd berekenen
4. Kosten op jaarbasis = (aantal termijnen / gemiddelde looptijd) x kosten van het krediet
5. Werkelijke kredietprijs = (kosten op jaarbasis / 1% van kredietbedrag) x 1%
,H3 Samengestelde interest: de eindwaarde
Berekening van de eindwaarde
Eindwaarde is de waarde van een kaptiaal na een aantal perioden inclusief interest Eindwaardeberekeningen
kan men bijvoorbeeld aantreffen bij het vergelijken van diverse spaarvormen. E geven antwoord op de vraag:
‘Als ik nu een kapitaal K op een bank uitzet tegen een percentage p per jaar, wat bezit ik dan na een aantal
jaren n?’ Als men geld voor verschillende perioden, meestal jaren, bij een bank uitzet, kan de
interestverrekening op verschillende wijzen geschieden.
1. Aan het eind van elke periode wordt de interest berekend over het beginkapitaal, de zogenoemde
hoofdsom. De interest word dan vervolgens:
- Opgenomen, of
- Overgeheveld naar een andere rekening, of
- Bijgeschreven, terwijl in het vervolg geen interest wordt vergoed over de eerde bijgeschreven
interest. Met andere woorden: alleen de hoofdsom is rentedragend.
Deze vorm van interestberekening wordt enkelvoudig genoemd.
2. Aan het eind van elke periode wordt de interest toegevoegd aan de hoofdsom en in de volgende
perioden wordt interest berekend over de hoofdsom plus de toegevoegde interest. Deze vorm van
interestberekening wordt samengesteld genoemd. Bij dit systeem ontstaat dus wat ‘rente op rente’
word genoemd.
In het algemeen geld de volgende formule voor de berekening van de eindwaarde bij enkelvoudige interest:
EWn = K × (1 + n × i)
Waarin: EWn = de eindwaarde na een aantal perioden n, K = het beginkapitaal, i = het interestperunage
(p/100) en n = het aantal perioden. p is het symbool voor het interestpercentage (1%) en i voor het
zogenoemde interestperunage (0,01)
Voorbeeld interest berekenen:
Gegevens: K = 1000 euro, p = 3% en n = 5 jaar.
Uitwerking:
Enkelvoudig EW5 = 1000 × (1 + 5 × 0,03) = 1150 euro.
Samengesteld EW5 = 1000 × (1,03)5 = 1159,27 euro.
De formule voor de berekeing van de samengestelde interest:
EWn = (1 + i)n
Waarin: EWn = de eindwaarde na een aantal perioden n, K = het beginkapitaal, i = het interestperunage
(p/100) en n = het aantal perioden.
Het ranggetal van de EW is steeds gelijk aan de exponent van de factor (1 + i). De factor (1 + i)n wordt in de
financiële rekenkunde genoteerd als Sn ﬢp.
Sn ﬢp = (1 + i)n
Het symbool S is afgeleid van slotwaarde, terwijl de index n ﬢp betrekking heeft op het aantal perioden en het
gehanteerde interestpercentage. Met het voorbeeld dat hierboven wordt genoemd kun je de formule als volgt
uitschrijven:
S5 1,1592704074 = 1,035 = 3 ﬢ
EW5 = 1000 x Sn ﬢp = 1000 × 1,159274074 = 1159,27 euro.
Bepaling van de looptijd
Men kan zich afvragen hoelang men een bepaald bedrag tegen een gegeven interestpercentage moet
uitzetten om een bepaalde eindwaarde te realiseren: hiervoor zijn logaritmen nodig.
Voorbeeld looptijd berekenen:
Gegevens: K = 2500 euro, p = 5%, vraag is: wanneer is saldo inclusief interest 4000 euro?
Uitwerking:
EWn = 4000 = 2500 × (1,05)n
(1,05)n = 1600
n log 1,05 = log 1600
n = log 1600 / log 1,05
, n = 9,6333
0,633 jaar = 0,633 x 365 dagen = 231 dagen.
n is dus exact 9633 jaar, ofwel 9 jaar plus 231 dagen.
Bepaling van het percentage
Wat is het gemiddeld rendement geweest voor beleggers of spaarders die na een aantal jaren hun belegging
verkopen of het spaarsaldo opnemen? Welk percentage hebben zij gemiddeld per jaar gerealiseerd?
Diezelfde vraag kan worden gesteld door een huiseigenaar die zijn huis na een aantal jaren verkoopt.
Voorbeeld percentage berekenen:
Gegevens: 5 jaar geleden 5000 euro geïnvesteerd. Nu wordt de belegging verkocht voor 7053,82 en wordt er
afgevraagd wat het rendement is geweest.
Uitwerking:
EW5 = 7053,82 = 5000 × (1 + i)5
(1 + i)5 = 1,410764
1 + i = (1,410764)1/5
I = 1,07125 dus het gevraagde rendement is 7,125% per jaar.
Gelijkwaardige procenten
In het voorafgaande is er steeds van uitgegaan dat interest betrekking had op een vol jaar, terwijl het
interestpercentage ook steeds een percentage per jaar was. Interestberekeningen vinden echter ook plaats bij
percentages per maand, kwartaal of welke andere tijdsindeling dan ook. Met andere woorden: n staat niet
exclusief voor het aantal jaren, maar voor het aantal perioden.
Welk percentage per jaar is dan wel gelijkwaardig met 5% per halfjaar? Wil de eindwaarde in het eerste geval
gelijk zijn aan de eindwaarde in het tweede geval, dan geldt:
S2 5 = ﬢS1 ﬢp
(1,05)2 = 1 + i
1,1025 = 1 + i, dus i = 0,1025 en p = 10,25%
Men kan zich natuurlijk ook afvragen welk percentage per halfjaar gelijkwaardig is aan 10% per jaar. Om het
percentage per halfjaar te bepalen stelt men het volgende aan elkaar gelijk:
(1 + i)2 = S1 1,10 = 10 ﬢ
1 + i = 1,101/2
1 + i = 1,048809, dus p is 4,881%.
4,881% per halfjaar is dus gelijkwaardig met 10% per jaar.
Interest over delen van een periode
In de praktijk staat een kapitaal niet altijd een geheel aantal perioden uit, maar vaak een geheel aantal
perioden plus een deel van een periode, bijvoorbeeld zes jaar en vijf maanden. Voor de interestberekening zijn
er dan twee gangbare methoden:
1. Over delen van een periode wordt enkelvoudige interest vergoed, terwijl over de hele perioden zoals
gebruikelijk samengestelde interest wordt vergoed.
2. Over delen van een periode wordt ook samengestelde interest vergoed.
Voorbeeld:
Gegevens: 3,5 jaar geleden 10000 gestort op een 3% rekening. Elk jaar wordt op 31/12 rente bijgeschreven.
Wat kan er na 3,5 jaar van de rekening worden opgenomen volgens beide bovenstaande methoden?
Berekening over delen van een periode enkelvoudige interest:
De eerste 3 jaar staan uitgesteld tegen samengestelde interest, de eindwaarde na 3 volle jaren is:
EW3 = 10000 × (1,03)3 = 10927,27
Het laatste halfjaar levert enkelvoudige interest op. Bij een jaarpercentage van 3% is dat 1,5% voor een
halfjaar:
EW3,5 = 10927,27 × 1,015 = 11091,18
Het maakt voor de berekening overigens niet uit als eerst begonnen wordt met een halfjaar enkelvoudige
interest en daarna pas 3 jaren samengestelde interest
H2-H6 boek financiële rekenkunde en H5-H8 basisboek bedrijfseconomie
Financiële Rekenkunde
H2 Enkelvoudige interest
Berekening van de interest
Enkelvoudige interest = interestberekening waarbij de interest elke periode opnieuw berekend wordt over het
oorspronkelijke beginkapitaal.
Als men het rentepercentage voorstelt met p, het beginkapitaal met K en de tijd met t, dan wordt de formule
p
voor de enkelvoudige interestberekening:
I =t × × K Waarin I het interestbedrag voorstelt.
100
12
De looptijd wordt veelal uitgedrukt in jaren, maar dit kan ook in maanden. Als het ware staat er 12 = 1 jaar.
8
Dus voor 8 maanden wordt dit 12 .
t × p×K
De formule voor enkelvoudige interestberekening is:
I= Waarin I het interestbedrag is, t de
c
looptijd, p het interestpercentage of rentepercentage, K het kapitaal en c een constante namelijk: 100 als het
in jaren is uitgedrukt, 1200 als het in maanden is uitgedrukt en 36000 als het in dagen is uitgedrukt.
Berekening van de gemiddelde looptijd en kredietprijs
Bij de bepaling van de door de kredietverstrekker in rekening gebrachte kredietprijs wordt uitgegaan van de
gemiddelde looptijd. Kredietprijs = de kredietkosten van huurkoop (op jaarbasis) uitgedrukt in een
jaarpercentage van het krediet.
De gemiddelde looptijd is bepaald als het ongewogen rekenkundige gemiddelde. Je neemt daarvoor de som
van alle waarnemingen en deze deel je door het aantal waarnemingen. Bijvoorbeeld 5 maanden, dan:
1+ 2+ 3+4 +5
gemiddeldelooptijd= =3
5
Als de tussenpozen gelijk zijn, dan kan worden volstaan met het nemen va de som van de eerste en de laatste
1+ 5
waarneming en dan delen door 2, dus:
gemiddeldelooptijd= =3
2
Berekening van de grootte van de termijnen
1. Eerst krediet berekenen. (Contante prijs – eventuele aanbetaling)
2. Dan gemiddelde looptijd uitrekenen
3. Dan kosten kredietprijs met kredietpercentage berekenen
4. Krediet + kosten uitrekenen
5. Dan elke termijn = (krediet + kosten) / aantal termijnen
6. Totale prijs = eventuele aanbetaling + aantal termijn x termijnbedrag
Financieringsinstellingen
Gespecialiseerde instellingen gaan bij kostenberekening veelal niet uit van de gemiddelde maar van de volle
looptijd. Men gaat dan wel uit van een lager kredietpercentage. Hierdoor kan een wat vertekend beeld
ontstaan. Berekening kredietprijs:
1. Eerst krediet berekenen. (Contante prijs – eventuele aanbetaling)
2. Kosten van het krediet berekenen d.m.v. enkelvoudige interestberekening met de VOLLE looptijd als c.
3. Dan gemiddelde looptijd berekenen
4. Kosten op jaarbasis = (aantal termijnen / gemiddelde looptijd) x kosten van het krediet
5. Werkelijke kredietprijs = (kosten op jaarbasis / 1% van kredietbedrag) x 1%
,H3 Samengestelde interest: de eindwaarde
Berekening van de eindwaarde
Eindwaarde is de waarde van een kaptiaal na een aantal perioden inclusief interest Eindwaardeberekeningen
kan men bijvoorbeeld aantreffen bij het vergelijken van diverse spaarvormen. E geven antwoord op de vraag:
‘Als ik nu een kapitaal K op een bank uitzet tegen een percentage p per jaar, wat bezit ik dan na een aantal
jaren n?’ Als men geld voor verschillende perioden, meestal jaren, bij een bank uitzet, kan de
interestverrekening op verschillende wijzen geschieden.
1. Aan het eind van elke periode wordt de interest berekend over het beginkapitaal, de zogenoemde
hoofdsom. De interest word dan vervolgens:
- Opgenomen, of
- Overgeheveld naar een andere rekening, of
- Bijgeschreven, terwijl in het vervolg geen interest wordt vergoed over de eerde bijgeschreven
interest. Met andere woorden: alleen de hoofdsom is rentedragend.
Deze vorm van interestberekening wordt enkelvoudig genoemd.
2. Aan het eind van elke periode wordt de interest toegevoegd aan de hoofdsom en in de volgende
perioden wordt interest berekend over de hoofdsom plus de toegevoegde interest. Deze vorm van
interestberekening wordt samengesteld genoemd. Bij dit systeem ontstaat dus wat ‘rente op rente’
word genoemd.
In het algemeen geld de volgende formule voor de berekening van de eindwaarde bij enkelvoudige interest:
EWn = K × (1 + n × i)
Waarin: EWn = de eindwaarde na een aantal perioden n, K = het beginkapitaal, i = het interestperunage
(p/100) en n = het aantal perioden. p is het symbool voor het interestpercentage (1%) en i voor het
zogenoemde interestperunage (0,01)
Voorbeeld interest berekenen:
Gegevens: K = 1000 euro, p = 3% en n = 5 jaar.
Uitwerking:
Enkelvoudig EW5 = 1000 × (1 + 5 × 0,03) = 1150 euro.
Samengesteld EW5 = 1000 × (1,03)5 = 1159,27 euro.
De formule voor de berekeing van de samengestelde interest:
EWn = (1 + i)n
Waarin: EWn = de eindwaarde na een aantal perioden n, K = het beginkapitaal, i = het interestperunage
(p/100) en n = het aantal perioden.
Het ranggetal van de EW is steeds gelijk aan de exponent van de factor (1 + i). De factor (1 + i)n wordt in de
financiële rekenkunde genoteerd als Sn ﬢp.
Sn ﬢp = (1 + i)n
Het symbool S is afgeleid van slotwaarde, terwijl de index n ﬢp betrekking heeft op het aantal perioden en het
gehanteerde interestpercentage. Met het voorbeeld dat hierboven wordt genoemd kun je de formule als volgt
uitschrijven:
S5 1,1592704074 = 1,035 = 3 ﬢ
EW5 = 1000 x Sn ﬢp = 1000 × 1,159274074 = 1159,27 euro.
Bepaling van de looptijd
Men kan zich afvragen hoelang men een bepaald bedrag tegen een gegeven interestpercentage moet
uitzetten om een bepaalde eindwaarde te realiseren: hiervoor zijn logaritmen nodig.
Voorbeeld looptijd berekenen:
Gegevens: K = 2500 euro, p = 5%, vraag is: wanneer is saldo inclusief interest 4000 euro?
Uitwerking:
EWn = 4000 = 2500 × (1,05)n
(1,05)n = 1600
n log 1,05 = log 1600
n = log 1600 / log 1,05
, n = 9,6333
0,633 jaar = 0,633 x 365 dagen = 231 dagen.
n is dus exact 9633 jaar, ofwel 9 jaar plus 231 dagen.
Bepaling van het percentage
Wat is het gemiddeld rendement geweest voor beleggers of spaarders die na een aantal jaren hun belegging
verkopen of het spaarsaldo opnemen? Welk percentage hebben zij gemiddeld per jaar gerealiseerd?
Diezelfde vraag kan worden gesteld door een huiseigenaar die zijn huis na een aantal jaren verkoopt.
Voorbeeld percentage berekenen:
Gegevens: 5 jaar geleden 5000 euro geïnvesteerd. Nu wordt de belegging verkocht voor 7053,82 en wordt er
afgevraagd wat het rendement is geweest.
Uitwerking:
EW5 = 7053,82 = 5000 × (1 + i)5
(1 + i)5 = 1,410764
1 + i = (1,410764)1/5
I = 1,07125 dus het gevraagde rendement is 7,125% per jaar.
Gelijkwaardige procenten
In het voorafgaande is er steeds van uitgegaan dat interest betrekking had op een vol jaar, terwijl het
interestpercentage ook steeds een percentage per jaar was. Interestberekeningen vinden echter ook plaats bij
percentages per maand, kwartaal of welke andere tijdsindeling dan ook. Met andere woorden: n staat niet
exclusief voor het aantal jaren, maar voor het aantal perioden.
Welk percentage per jaar is dan wel gelijkwaardig met 5% per halfjaar? Wil de eindwaarde in het eerste geval
gelijk zijn aan de eindwaarde in het tweede geval, dan geldt:
S2 5 = ﬢS1 ﬢp
(1,05)2 = 1 + i
1,1025 = 1 + i, dus i = 0,1025 en p = 10,25%
Men kan zich natuurlijk ook afvragen welk percentage per halfjaar gelijkwaardig is aan 10% per jaar. Om het
percentage per halfjaar te bepalen stelt men het volgende aan elkaar gelijk:
(1 + i)2 = S1 1,10 = 10 ﬢ
1 + i = 1,101/2
1 + i = 1,048809, dus p is 4,881%.
4,881% per halfjaar is dus gelijkwaardig met 10% per jaar.
Interest over delen van een periode
In de praktijk staat een kapitaal niet altijd een geheel aantal perioden uit, maar vaak een geheel aantal
perioden plus een deel van een periode, bijvoorbeeld zes jaar en vijf maanden. Voor de interestberekening zijn
er dan twee gangbare methoden:
1. Over delen van een periode wordt enkelvoudige interest vergoed, terwijl over de hele perioden zoals
gebruikelijk samengestelde interest wordt vergoed.
2. Over delen van een periode wordt ook samengestelde interest vergoed.
Voorbeeld:
Gegevens: 3,5 jaar geleden 10000 gestort op een 3% rekening. Elk jaar wordt op 31/12 rente bijgeschreven.
Wat kan er na 3,5 jaar van de rekening worden opgenomen volgens beide bovenstaande methoden?
Berekening over delen van een periode enkelvoudige interest:
De eerste 3 jaar staan uitgesteld tegen samengestelde interest, de eindwaarde na 3 volle jaren is:
EW3 = 10000 × (1,03)3 = 10927,27
Het laatste halfjaar levert enkelvoudige interest op. Bij een jaarpercentage van 3% is dat 1,5% voor een
halfjaar:
EW3,5 = 10927,27 × 1,015 = 11091,18
Het maakt voor de berekening overigens niet uit als eerst begonnen wordt met een halfjaar enkelvoudige
interest en daarna pas 3 jaren samengestelde interest
