Differentiaalvergelijkingen en Lineaire Algebra; Samenvatting Tentamen
Inhoudsopgave
Lecture 1; Differentiaalvergelijkingen.................................................................................3
Constante bepalen in algemene oplossing.............................................................................3
Welke functie is een oplossing voor deze differentiaalvergelijking?......................................3
Richtingsveld...........................................................................................................................3
Evenwichtsoplossingen...........................................................................................................3
Soorten evenwichten..............................................................................................................5
Lecture 2; Inverse functies en impliciete differentiatie.........................................................6
Impliciete functies afleiden.....................................................................................................6
Inverse functies.......................................................................................................................6
Voorbeeldopgaves inverse functies........................................................................................8
Lecture 3; Integralen en primitieven....................................................................................9
Integraalfuncties.....................................................................................................................9
Substitutiemethode................................................................................................................9
Voorbeelden met....................................................................................................................9
Lecture 4; Partiële integratie.............................................................................................10
Standaardregel......................................................................................................................10
Voorbeeld..............................................................................................................................11
Lecture 5; Separabele differentiaalvergelijking.................................................................12
Standaardregel......................................................................................................................12
Voorbeelden..........................................................................................................................12
Lecture 6; Lineaire differentiaalvergelijkingen...................................................................13
Standaardregel......................................................................................................................13
Voorbeeld..............................................................................................................................13
Lecture 7; Partieel breuken...............................................................................................14
Standaardregel......................................................................................................................14
Speciaal geval 1.....................................................................................................................14
Speciaal geval 2.....................................................................................................................14
Lecture 8; Complexe getallen............................................................................................15
Regels....................................................................................................................................15
Voorbeelden..........................................................................................................................15
Polaire vorm..........................................................................................................................15
Complexe exponenten..........................................................................................................16
Lecture 9; Lineaire algebra introductie..............................................................................17
Stelsels...................................................................................................................................17
, Echelon vorm........................................................................................................................17
Gereduceerde echelonvorm.................................................................................................17
Consistent of inconsistent?...................................................................................................18
Oneindige oplossingen..........................................................................................................18
Lecture 10; Span en vectorvergelijkingen..........................................................................19
Scalaire vermenigvuldigingen...............................................................................................19
Optellen.................................................................................................................................19
Lineaire combinaties.............................................................................................................19
Span.......................................................................................................................................21
Voorbeeld met span..............................................................................................................21
Voorbeeld met onbekende...................................................................................................21
Lecture 11; Matrixvectorproduct en oplossingsverzamelingen..........................................22
Matrixvectorproduct.............................................................................................................22
Dotproduct en inproduct......................................................................................................22
Matrixvectorproduct voor grote matrixen...........................................................................22
Oplossingsverzamelingen......................................................................................................23
Lecture 12; Lineaire onafhankelijkheid..............................................................................24
Equivalente stellingen...........................................................................................................24
Equivalente stellingen 2........................................................................................................24
Lecture 13; Lineaire transformaties...................................................................................25
Stelling...................................................................................................................................25
Voorbeeldvraag.....................................................................................................................25
Transformaties in het vlak....................................................................................................25
Voorbeeldvraag.....................................................................................................................25
Lecture 14; Matrix operaties.............................................................................................26
Soorten matrixen..................................................................................................................26
Optellen.................................................................................................................................26
Vermenigvuldigen.................................................................................................................26
Transponeren........................................................................................................................26
Samenstellen van lineaire transformaties............................................................................26
Lecture 15; Inverse transformatie......................................................................................28
Inverse berekenen................................................................................................................28
Stelling...................................................................................................................................28
Overige rekenregels..............................................................................................................28
Samenkomst van alle Lineaire Algebra.................................................................................29
, Lecture 1; Differentiaalvergelijkingen
dy
De afgeleide van y(x) is ook wel geschreven als y=
dx
Constante bepalen in algemene oplossing
Hoe bepaal je C in een algemene oplossing? [voorbeeld]
C 2
De algemene oplossing van x y ' + y=3 x 2 → y ( x )= + x
x
Je bepaalt de C uit deze vergelijking door een gegeven; y ( 1 )=4
C
Dit vul je in de formule met de C; 4= +1
1
C
3=
1
C=3
3 2
De algemene oplossing van x y ' + y=3 x 2 → y ( x )= + x
x
Welke functie is een oplossing voor deze differentiaalvergelijking?
Een vraag kan zijn; welke functie is een oplossing voor de differentiaalvergelijking
x y + y=6 x ?
' 2
Bij een multiple-choice vraag kan je als antwoord bijvoorbeeld hebben.
3 2
y= +2 x , dit vul je dan in de bovenstaande formule voor y, en dit leidt je af tot
x
' −3
y = 2 + 4 x , dit vul je ook in de formule in voor y', als er dan 6 x 2 uit komt is het
x
3 2
antwoord dus y= +2 x .
x
Richtingsveld
Op een tentamen kun je een vraag krijgen van welke functie bij een richtingsveld
hoort. Je krijgt dan vaak een functie; y ' =x + y
y staat hierin voor het richtingscoëfficiënt
'
y ' >0 betekend dat de pijl in het richtingsveld omhoog gaat.
y =1 betekend dat de pijl in het richtingsveld 45° omhoog gaat.
'
y ' =0 betekend dat de pijl in het richtingsveld horizontaal ligt.
y <0 betekend dat de pijl in het richtingsveld omlaag gaat.
'
Evenwichtsoplossingen
Een evenwichtsoplossing is ook wel een rechte lijn in een richtingsveld waar alle
pijlen dezelfde kant op wijzen. Er geldt in een constante functie y ' =0 ; drie soorten
1. stabiel evenwicht; de pijlen rond het evenwicht wijzen allemaal ernaartoe.
2. instabiel evenwicht; de pijlen rond het evenwicht wijzen allemaal ervan af.
3. semi-stabiel evenwicht; de pijlen rond het evenwicht wijzen aan de ene kant naar
het evenwicht toe, en aan de andere kant ervan af.
Inhoudsopgave
Lecture 1; Differentiaalvergelijkingen.................................................................................3
Constante bepalen in algemene oplossing.............................................................................3
Welke functie is een oplossing voor deze differentiaalvergelijking?......................................3
Richtingsveld...........................................................................................................................3
Evenwichtsoplossingen...........................................................................................................3
Soorten evenwichten..............................................................................................................5
Lecture 2; Inverse functies en impliciete differentiatie.........................................................6
Impliciete functies afleiden.....................................................................................................6
Inverse functies.......................................................................................................................6
Voorbeeldopgaves inverse functies........................................................................................8
Lecture 3; Integralen en primitieven....................................................................................9
Integraalfuncties.....................................................................................................................9
Substitutiemethode................................................................................................................9
Voorbeelden met....................................................................................................................9
Lecture 4; Partiële integratie.............................................................................................10
Standaardregel......................................................................................................................10
Voorbeeld..............................................................................................................................11
Lecture 5; Separabele differentiaalvergelijking.................................................................12
Standaardregel......................................................................................................................12
Voorbeelden..........................................................................................................................12
Lecture 6; Lineaire differentiaalvergelijkingen...................................................................13
Standaardregel......................................................................................................................13
Voorbeeld..............................................................................................................................13
Lecture 7; Partieel breuken...............................................................................................14
Standaardregel......................................................................................................................14
Speciaal geval 1.....................................................................................................................14
Speciaal geval 2.....................................................................................................................14
Lecture 8; Complexe getallen............................................................................................15
Regels....................................................................................................................................15
Voorbeelden..........................................................................................................................15
Polaire vorm..........................................................................................................................15
Complexe exponenten..........................................................................................................16
Lecture 9; Lineaire algebra introductie..............................................................................17
Stelsels...................................................................................................................................17
, Echelon vorm........................................................................................................................17
Gereduceerde echelonvorm.................................................................................................17
Consistent of inconsistent?...................................................................................................18
Oneindige oplossingen..........................................................................................................18
Lecture 10; Span en vectorvergelijkingen..........................................................................19
Scalaire vermenigvuldigingen...............................................................................................19
Optellen.................................................................................................................................19
Lineaire combinaties.............................................................................................................19
Span.......................................................................................................................................21
Voorbeeld met span..............................................................................................................21
Voorbeeld met onbekende...................................................................................................21
Lecture 11; Matrixvectorproduct en oplossingsverzamelingen..........................................22
Matrixvectorproduct.............................................................................................................22
Dotproduct en inproduct......................................................................................................22
Matrixvectorproduct voor grote matrixen...........................................................................22
Oplossingsverzamelingen......................................................................................................23
Lecture 12; Lineaire onafhankelijkheid..............................................................................24
Equivalente stellingen...........................................................................................................24
Equivalente stellingen 2........................................................................................................24
Lecture 13; Lineaire transformaties...................................................................................25
Stelling...................................................................................................................................25
Voorbeeldvraag.....................................................................................................................25
Transformaties in het vlak....................................................................................................25
Voorbeeldvraag.....................................................................................................................25
Lecture 14; Matrix operaties.............................................................................................26
Soorten matrixen..................................................................................................................26
Optellen.................................................................................................................................26
Vermenigvuldigen.................................................................................................................26
Transponeren........................................................................................................................26
Samenstellen van lineaire transformaties............................................................................26
Lecture 15; Inverse transformatie......................................................................................28
Inverse berekenen................................................................................................................28
Stelling...................................................................................................................................28
Overige rekenregels..............................................................................................................28
Samenkomst van alle Lineaire Algebra.................................................................................29
, Lecture 1; Differentiaalvergelijkingen
dy
De afgeleide van y(x) is ook wel geschreven als y=
dx
Constante bepalen in algemene oplossing
Hoe bepaal je C in een algemene oplossing? [voorbeeld]
C 2
De algemene oplossing van x y ' + y=3 x 2 → y ( x )= + x
x
Je bepaalt de C uit deze vergelijking door een gegeven; y ( 1 )=4
C
Dit vul je in de formule met de C; 4= +1
1
C
3=
1
C=3
3 2
De algemene oplossing van x y ' + y=3 x 2 → y ( x )= + x
x
Welke functie is een oplossing voor deze differentiaalvergelijking?
Een vraag kan zijn; welke functie is een oplossing voor de differentiaalvergelijking
x y + y=6 x ?
' 2
Bij een multiple-choice vraag kan je als antwoord bijvoorbeeld hebben.
3 2
y= +2 x , dit vul je dan in de bovenstaande formule voor y, en dit leidt je af tot
x
' −3
y = 2 + 4 x , dit vul je ook in de formule in voor y', als er dan 6 x 2 uit komt is het
x
3 2
antwoord dus y= +2 x .
x
Richtingsveld
Op een tentamen kun je een vraag krijgen van welke functie bij een richtingsveld
hoort. Je krijgt dan vaak een functie; y ' =x + y
y staat hierin voor het richtingscoëfficiënt
'
y ' >0 betekend dat de pijl in het richtingsveld omhoog gaat.
y =1 betekend dat de pijl in het richtingsveld 45° omhoog gaat.
'
y ' =0 betekend dat de pijl in het richtingsveld horizontaal ligt.
y <0 betekend dat de pijl in het richtingsveld omlaag gaat.
'
Evenwichtsoplossingen
Een evenwichtsoplossing is ook wel een rechte lijn in een richtingsveld waar alle
pijlen dezelfde kant op wijzen. Er geldt in een constante functie y ' =0 ; drie soorten
1. stabiel evenwicht; de pijlen rond het evenwicht wijzen allemaal ernaartoe.
2. instabiel evenwicht; de pijlen rond het evenwicht wijzen allemaal ervan af.
3. semi-stabiel evenwicht; de pijlen rond het evenwicht wijzen aan de ene kant naar
het evenwicht toe, en aan de andere kant ervan af.
