Samenvatting domein C Wiskunde B HAVO

,C. Meetkundige berekeningen
In het kort:
• Afstanden en hoeken in concrete
situaties.
• Algebraïsche methoden.

Cl: Afstanden en hoeken in concrete
situaties
Eiqenschappen driehoeken

In een driehoek is de som van de
hoeken 1800 en bij een rechthoek is dit 3600. De omtrek van
een driehoek is de som van de drie
zijden. Als in een driehoek twee hoeken even groot zijn,
dan zijn de zijden die tegenover elkaar
liggen even lang; dit is dan een gelijkbenige driehoek.
In een gelijkzijdige driehoek zijn alle
zijden even lang. Een rechthoekige driehoek is een
driehoek met een rechte hoek (900).

Berekenen van hoeken en zfden binnen een
rechthoeki e driehoek
Bij een rechthoekige driehoek is de som van
de
kwadraten van de aanliggende zijden van de
rechte hoek gelijk aan het kwadraat van de zijde
tegenover de rechte hoek (de schuine zijde). Met
andere woorden: de kwadraten van de twee korte
c
zijden zijn gelijk aan het kwadraatvan de lange a
zijde. Dit is de stelling van Pythagoras.




b

De formule van de stelling van Pythagoras is a2 + b2 = c2. Dit betekent datje de
grootte van
één onbekende zijde in een rechthoekige driehoek kunt berekenen. Als je de lengte
van de
twee rechthoekszijden weet, dan kun je de grootte van de schuine zijde berekenen. Andersom
geldt dat als in een driehoek de som van de kwadratenvan twee zijden gelijk is aan
het
kwadraat van de derde zijde, dan is de driehoek rechthoekig.



Je kunt de stelling van Pythagoras ook gebruiken om de afstand tussen twee punten te
berekenen. De afstand is hierbij de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen twee
meetkundige figuren.

, Voorbeeld:we hebben een driehoek waarvan de twee rechthoekzijden 3 en 4 cm zijn.
Bereken de waarde van de schuine zijde.

We kunnen de onbekendezijde berekenenmet de
stelling van Pythagoras:

a2 + b2 = c?
32 + 42 = c? 3
9+ 76=ë
8=25

4
Met behulp van de goniometrische formules kun je verschillende
eigenschappen berekenen
van een rechthoekige driehoek, waaronderde hellingshoek. De hellingshoek
is de hoek die
een schuine lijn maakt met een horizontale lijn. Neem bijvoorbeeld onderstaande
driehoek.

c

Schuine zijde Overstaande
rechthoekszijde
van hoek A




Aanliggende rechthoekszijde
van hoek A

In de driehoek zie je dat hoek A een hellingshoek is. De verhouding Overstaandezijde
Aanliggendezijde zegt iets
over hoek A. Deze verhouding noemen we de tangens, afgekort als tan. De tangens bereken
je dus als volgt:
Overstaande zijde
tan(LA) = Aanliggende zijde

Stel, de overstaande zijde in een rechthoekige driehoek is 4 cm en de aanliggende zijde is 5
cm. Je kunt dan als volgt de hellingshoek berekenen:

zijde= 4
Overstaande
tan(zA) =
zijde -5' en hieruit volgt dat ZA = tam IG)
Aanliggende 38,7 0.

Op je rekenmachine tikje dan in shift tan 4/5 of shift tan 0,8. Alsje de hoek weet, dan gebruik
je tan en als je juist de hoek wilt weten, dan gebruik je shift tan (de inverse tangens).

, op dezelfde manier
kunje de sinus
en de cosinus gebruiken om hoeken
Gebruik als ezelsbruggetje of zijden te berekenen.
SOSCASTOA:
sin(LA) = Overstaande
zijde
Schuinezijde Uitlegvideo
cos(LA) = Aanliggende
zijde
Schuinezijde

tan(LA) = Overstaande
zijde
Aanliggende zijde



Sinus- en cosinusreqel

De sinusregel kan helpen
bij het berekenen van
c
zijden of hoeken van driehoeken.
De sinusregel
werkt niet alleen in rechthoekige
driehoeken, maar
in elke driehoek. In een willekeurige b
driehoek ABC is:
• a het lijnstuk tegenover
hoek a;
b het lijnstuk tegenover
hoek p;
e c het lijnstuk tegenover
hoek y.
In een driehoek gebruiken
we Griekse letters voor de hoeken, hoofdlettersvoor de
hoekpunten en kleine letters voor de
zijden.
De sinusregel stelt dat voor elke driehoek
de verhouding van een zi_ideen de sinus van de
overstaande hoek constant is. Alsje van een
driehoek twee hoeken en een overstaande zijde
weet, of twee zijden en een tegenoverliggende hoek,
dan kunje alle hoeken en zijden met de
sinusregel berekenen. De sinusregel luidt als volgt:
a b
sin(a) sin(F) sin(y)

Vervolgens kun je een verhoudingstabel gebruiken om de gevraagde hoeken en zijden te
berekenen.Voorbeeld: in een willekeurige driehoek is a = 7, hoek a 700en hoek p = 30 0.
Bereken de overige waarden.

7 c
sin(700) sin(300)


Door kruislings te vermenigvuldigen vind je dat b gelijk is b 7
sin(30 0) •7
aan 3,72. Aangezien alle hoeken gezamenlijk
sin(700)
- 80 0. Ten
1800 zijn, is sin(y) gelijk aan 180 0 —70 0 — 30 0 —
700 300

sin(80 0) •3,72 c