Samenvatting Rekenen en wiskunde uitgelegd
Hoofdstuk 1: Hele getallen
Om hoeveelheden op te kunnen schrijven en ermee te kunnen rekenen wordt het
talstelsel gebruikt. De Romeinen gebruikten een systeem met symbolen:
I = 1 C = 100
V = 5 D = 500
X = 10 M = 1000
L = 50
De regels:
Een symbool gevolgd door een symbool voor een even groot of kleiner
getal, betekent dat de waarden van beiden symbolen bij elkaar opgeteld
moeten worden. Dus XX = 10 XIII = 13.
Een symbool gevolgd door een symbool met een grotere waarde betekent
dat het kleinste van het grootste moet worden afgetrokken. IX = 10 – 1 =
9.
Dit is een additief stelsel.
De getallenlijn is een belangrijk model om inzicht te krijgen in het positiestelsel.
Soms moeten kinderen getallen plaatsen op een getallenlijn. Dit heet
positioneren, een belangrijke oefening om inzicht te krijgen in de waarde van
getallen.
Rijgen: Stap voor stap bij elkaar tellen. Niet alles tegelijk.
Commutatieve eigenschap (wisseleigenschap): 5 + 49 49 + 5
Er zijn vier manieren om naar aftrekken te kijken:
1. Splitsen: Van splitsen is sprake als bij een hoeveelheid wordt gevraagd
hoeveel er overblijft wanneer alvast een groepje benoemd wordt.
Voorbeeld: In de doos zitten 18 knikkers. Hoeveel blijven er over als ik er 6
uithaal?
2. Verminderen: Gaat om terugtellen.
Voorbeeld: Een dvd-speler kost 135,- Hij wordt 15,- goedkoper. Wat is de
nieuwe prijs?
3. Vergelijken: Gaat om het verschil tussen twee hoeveelheden. Wat is meer,
wat is minder, hoeveel meer, hoeveel minder. (dubbelstrookmodel).
4. Inverse: Er wordt gekeken naar hoeveel er nog bij moet om een bepaalde
hoeveelheid te krijgen.
Voorbeeld: Ik spaar voor een nieuwe fiets van 100,- . Ik heb al 50,- .
Hoeveel moet ik nog?
De betekenis van vermenigvuldigen is afhankelijk van de situatie.
1. Herhaald optellen: Zes rijtjes van vier flesjes ( 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4). De
volgende modellen passen goed bij herhaald optellen:
rechthoekmodel/groepjesmodel.
2. Vermenigvuldigen met een factor: Zes rijtjes van vier flesjes (6 x 4)
Het omgekeerde van vermenigvuldigen is delen.
6 (deeltal) : 3( deler) = 2 (quotiënt)
Delen heeft ook meerdere interpretaties:
1. Eerlijk verdelen en uitdelen: Gaat het om gelijk verdelen van een
hoeveelheid.
, Voorbeeld: We verdelen 24 knikkers over 6 kinderen. Verdeel 24 in 6
groepjes.
2. Het inverse (omgekeerde) van vermenigvuldigen:
Voorbeeld: Maak bakjes van 6 appels uit een zak met 24 appels. Het model
is hier niet verdelen, maar herhaald aftrekken. 24:6
3. Ratio (verhouding): Worden twee hoeveelheden met elkaar vergeleken.
Voorbeeld: Sophie verdient 3 keer zoveel geld als Daan 3:1
Eigenschappen van de bewerking: Handig rekenen
1. Communicatieve (of wissel) eigenschap : 3 + 4 = 4 + 3 ;3x4=4x
3
2. De distributieve (of verdeel) eigenschap : 8 x (5+7) = (8x5) + (8x7)
3. De associatieve (of schakel) eigenschap : (3+4) + 5 = 3 + (4+5)
4. De inverse eigenschap : 24:3 = 8 dus 8x3 = 24
5. Compenseren (veranderen/transformeren) : 124 + 189 = 113 +
200
2876 – 387 = 2889 – 400
6. Groter of kleiner maken bij vermenigvuldig : 48 x 75 = 12 x 300
7. Groter of kleiner maken bij delen : 336 : 12 = 112 :4
Stip en vleksommen in rekenmethoden hebben als doel de inverse relatie
zichtbaar te maken tussen optellen en aftrekken, en tussen vermenigvuldigen en
delen: 5 x ? = 35
Punt 5 Compenseren : Bij optellen en aftrekken (leidt tot meer fouten)
Punt 5 Transformeren : Aanpassingen die gemaakt worden, worden direct
verwerkt
25 + 17 = 30 + 12
Bij compenseren gebeurt dit juist achteraf:
25 + 17 = 30 + 17 – 5
Kenmerken van deelbaarheid
Een getal Als… Bewijs…
is
deelbaar
door…
2 Het eindigt op 0,2,4,6,8 Alle tienvouden zijn deelbaar
door 2, dus bekijk de laatste
getallen.
3 De som van de cijfers van het Dit geldt ook voor de
getal deelbaar is door 3. deelbaarheid van 9.
34.119 is deelbaar door 3, want
3+4+1+1+9 = 18, en 18 : 3 is
mogelijk.
4 Het getal gevormd door de laatste Alle honderdvouden zijn
twee cijfers deelbaar is door 4. deelbaar door 4, dus kijk naar
Dus 2356 is deelbaar door 4,want de laatste twee cijfers.
56 is deelbaar door 4
5 Het eindigt op een 0 of 5. Alle tienvouden zijn deelbaar
door 5, dus kijk naar laatste
cijfer.
6 Het getal deelbaar is door 2 en 3, Zie uitleg bij 6.
dan is het ook deelbaar door 6.
1368 is deelbaar door 6, want het
is deelbaar door 2 en 3. Het
Hoofdstuk 1: Hele getallen
Om hoeveelheden op te kunnen schrijven en ermee te kunnen rekenen wordt het
talstelsel gebruikt. De Romeinen gebruikten een systeem met symbolen:
I = 1 C = 100
V = 5 D = 500
X = 10 M = 1000
L = 50
De regels:
Een symbool gevolgd door een symbool voor een even groot of kleiner
getal, betekent dat de waarden van beiden symbolen bij elkaar opgeteld
moeten worden. Dus XX = 10 XIII = 13.
Een symbool gevolgd door een symbool met een grotere waarde betekent
dat het kleinste van het grootste moet worden afgetrokken. IX = 10 – 1 =
9.
Dit is een additief stelsel.
De getallenlijn is een belangrijk model om inzicht te krijgen in het positiestelsel.
Soms moeten kinderen getallen plaatsen op een getallenlijn. Dit heet
positioneren, een belangrijke oefening om inzicht te krijgen in de waarde van
getallen.
Rijgen: Stap voor stap bij elkaar tellen. Niet alles tegelijk.
Commutatieve eigenschap (wisseleigenschap): 5 + 49 49 + 5
Er zijn vier manieren om naar aftrekken te kijken:
1. Splitsen: Van splitsen is sprake als bij een hoeveelheid wordt gevraagd
hoeveel er overblijft wanneer alvast een groepje benoemd wordt.
Voorbeeld: In de doos zitten 18 knikkers. Hoeveel blijven er over als ik er 6
uithaal?
2. Verminderen: Gaat om terugtellen.
Voorbeeld: Een dvd-speler kost 135,- Hij wordt 15,- goedkoper. Wat is de
nieuwe prijs?
3. Vergelijken: Gaat om het verschil tussen twee hoeveelheden. Wat is meer,
wat is minder, hoeveel meer, hoeveel minder. (dubbelstrookmodel).
4. Inverse: Er wordt gekeken naar hoeveel er nog bij moet om een bepaalde
hoeveelheid te krijgen.
Voorbeeld: Ik spaar voor een nieuwe fiets van 100,- . Ik heb al 50,- .
Hoeveel moet ik nog?
De betekenis van vermenigvuldigen is afhankelijk van de situatie.
1. Herhaald optellen: Zes rijtjes van vier flesjes ( 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4). De
volgende modellen passen goed bij herhaald optellen:
rechthoekmodel/groepjesmodel.
2. Vermenigvuldigen met een factor: Zes rijtjes van vier flesjes (6 x 4)
Het omgekeerde van vermenigvuldigen is delen.
6 (deeltal) : 3( deler) = 2 (quotiënt)
Delen heeft ook meerdere interpretaties:
1. Eerlijk verdelen en uitdelen: Gaat het om gelijk verdelen van een
hoeveelheid.
, Voorbeeld: We verdelen 24 knikkers over 6 kinderen. Verdeel 24 in 6
groepjes.
2. Het inverse (omgekeerde) van vermenigvuldigen:
Voorbeeld: Maak bakjes van 6 appels uit een zak met 24 appels. Het model
is hier niet verdelen, maar herhaald aftrekken. 24:6
3. Ratio (verhouding): Worden twee hoeveelheden met elkaar vergeleken.
Voorbeeld: Sophie verdient 3 keer zoveel geld als Daan 3:1
Eigenschappen van de bewerking: Handig rekenen
1. Communicatieve (of wissel) eigenschap : 3 + 4 = 4 + 3 ;3x4=4x
3
2. De distributieve (of verdeel) eigenschap : 8 x (5+7) = (8x5) + (8x7)
3. De associatieve (of schakel) eigenschap : (3+4) + 5 = 3 + (4+5)
4. De inverse eigenschap : 24:3 = 8 dus 8x3 = 24
5. Compenseren (veranderen/transformeren) : 124 + 189 = 113 +
200
2876 – 387 = 2889 – 400
6. Groter of kleiner maken bij vermenigvuldig : 48 x 75 = 12 x 300
7. Groter of kleiner maken bij delen : 336 : 12 = 112 :4
Stip en vleksommen in rekenmethoden hebben als doel de inverse relatie
zichtbaar te maken tussen optellen en aftrekken, en tussen vermenigvuldigen en
delen: 5 x ? = 35
Punt 5 Compenseren : Bij optellen en aftrekken (leidt tot meer fouten)
Punt 5 Transformeren : Aanpassingen die gemaakt worden, worden direct
verwerkt
25 + 17 = 30 + 12
Bij compenseren gebeurt dit juist achteraf:
25 + 17 = 30 + 17 – 5
Kenmerken van deelbaarheid
Een getal Als… Bewijs…
is
deelbaar
door…
2 Het eindigt op 0,2,4,6,8 Alle tienvouden zijn deelbaar
door 2, dus bekijk de laatste
getallen.
3 De som van de cijfers van het Dit geldt ook voor de
getal deelbaar is door 3. deelbaarheid van 9.
34.119 is deelbaar door 3, want
3+4+1+1+9 = 18, en 18 : 3 is
mogelijk.
4 Het getal gevormd door de laatste Alle honderdvouden zijn
twee cijfers deelbaar is door 4. deelbaar door 4, dus kijk naar
Dus 2356 is deelbaar door 4,want de laatste twee cijfers.
56 is deelbaar door 4
5 Het eindigt op een 0 of 5. Alle tienvouden zijn deelbaar
door 5, dus kijk naar laatste
cijfer.
6 Het getal deelbaar is door 2 en 3, Zie uitleg bij 6.
dan is het ook deelbaar door 6.
1368 is deelbaar door 6, want het
is deelbaar door 2 en 3. Het
