Hoofdstuk 5: Genererende functies
1 Voorbeelden en definitie
Voorbeeld:
Een moeder koopt 12 snoepjes en wil die verdelen onder haar drie kinderen: Piet, Andres en Jan. Wel
zo dat Piet er minstens 4 krijgt, Andres en Jan minstens 2 en Jan hoogstens 5.
Noteren we cP , cA en cJ voor het aantal snoepjes dat Piet, Andres en Jan respectievelijk krijgen,
hebben we cP + cA + cJ = 12 en cP >= 4, cA >= 2 en 5 >= cJ >= 2.
We kunnen alle oplossingen opschrijven:
We hebben dus 12 op alle mogelijke manieren geschreven als som van drie natuurlijke getallen die
voldoen aan de voorwaarden. Dit doen we eigenlijk ook als we de distributiviteit toepassen bij het
uitwerken van volgend product van veeltermen:
De eerste factor komt overeen met het feit dat de toegelaten waarden voor cP enkel 4, 5, 6, 7 en 8
zijn. De tweede factor ontstaat uit de opmerking dat een oplossing steeds een cA zal hebben in {2, 3,
4, 5, 6}. In het product komt de coëfficiënt van x12 overeen met alle mogelijke manieren om x12 te
bekomen door een term te nemen in elk van de drie factoren. Dus is de oplossing van het vraagstuk
ook de coëfficiënt van x12 in het product van veeltermen.
Tweede voorbeeld:
We hebben grote hoeveelheden knikkers van vier kleuren : rood, groen, wit en zwart. Op hoeveel
manieren kan je 24 knikkers kiezen zo dat er een even aantal witte is en minstens 6 zwarte.
We maken een veelterm die een factor heeft voor elke kleur. Op de rode of groene knikkers is er
geen beperking : er kunnen geen, 1, 2, . . . , 17 of 18 (niet meer want minstens 6 knikkers zijn zwart)
knikkers zijn van die kleur. Dit geeft voor beide kleuren een factor (1+x+x2+· · ·+x18). De factor van de
witte knikkers bevat enkel even machten : (1+x2+x4+· · ·+x18). Aangezien er minstens 6 zwarte
knikkers zijn, krijgen we een factor (x6+x7+· · ·+x24).
Het antwoord op de vraag is dus gelijk aan de coëfficiënt van x24 in het product:
Definitie:
Zij a0, a1, a2, . . . een rij van reële getallen. De genererende functie voor die rij is per definitie
∞
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 + ⋯ = ∑ 𝑎𝑖 𝑥 𝑖
2
𝑖=0
1
, Voorbeeld:
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
De genererende functie van de rij ( ) , ( ) , ( ) , … , ( ) , 0,0, … is ∑𝑛𝑖=0( )𝑥 𝑖 = (1 + 𝑥)𝑛 .
0 1 2 𝑛 𝑖
Voorbeeld:
We weten zeer goed dat (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn) = 1 − xn+1 , waaruit volgt
1 − 𝑥 𝑛+1
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
1−𝑥
Bijgevolg is bovenstaande breuk een een genererende functie voor de rij 1,1,1,…,1,0,0… (n+1 enen).
Voorbeeld:
2 Veralgemeende binomiaalcoëfficiënten
Wat is het volgende getal in de rij 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42 …?
Merk op dat →
2
1 Voorbeelden en definitie
Voorbeeld:
Een moeder koopt 12 snoepjes en wil die verdelen onder haar drie kinderen: Piet, Andres en Jan. Wel
zo dat Piet er minstens 4 krijgt, Andres en Jan minstens 2 en Jan hoogstens 5.
Noteren we cP , cA en cJ voor het aantal snoepjes dat Piet, Andres en Jan respectievelijk krijgen,
hebben we cP + cA + cJ = 12 en cP >= 4, cA >= 2 en 5 >= cJ >= 2.
We kunnen alle oplossingen opschrijven:
We hebben dus 12 op alle mogelijke manieren geschreven als som van drie natuurlijke getallen die
voldoen aan de voorwaarden. Dit doen we eigenlijk ook als we de distributiviteit toepassen bij het
uitwerken van volgend product van veeltermen:
De eerste factor komt overeen met het feit dat de toegelaten waarden voor cP enkel 4, 5, 6, 7 en 8
zijn. De tweede factor ontstaat uit de opmerking dat een oplossing steeds een cA zal hebben in {2, 3,
4, 5, 6}. In het product komt de coëfficiënt van x12 overeen met alle mogelijke manieren om x12 te
bekomen door een term te nemen in elk van de drie factoren. Dus is de oplossing van het vraagstuk
ook de coëfficiënt van x12 in het product van veeltermen.
Tweede voorbeeld:
We hebben grote hoeveelheden knikkers van vier kleuren : rood, groen, wit en zwart. Op hoeveel
manieren kan je 24 knikkers kiezen zo dat er een even aantal witte is en minstens 6 zwarte.
We maken een veelterm die een factor heeft voor elke kleur. Op de rode of groene knikkers is er
geen beperking : er kunnen geen, 1, 2, . . . , 17 of 18 (niet meer want minstens 6 knikkers zijn zwart)
knikkers zijn van die kleur. Dit geeft voor beide kleuren een factor (1+x+x2+· · ·+x18). De factor van de
witte knikkers bevat enkel even machten : (1+x2+x4+· · ·+x18). Aangezien er minstens 6 zwarte
knikkers zijn, krijgen we een factor (x6+x7+· · ·+x24).
Het antwoord op de vraag is dus gelijk aan de coëfficiënt van x24 in het product:
Definitie:
Zij a0, a1, a2, . . . een rij van reële getallen. De genererende functie voor die rij is per definitie
∞
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 + ⋯ = ∑ 𝑎𝑖 𝑥 𝑖
2
𝑖=0
1
, Voorbeeld:
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
De genererende functie van de rij ( ) , ( ) , ( ) , … , ( ) , 0,0, … is ∑𝑛𝑖=0( )𝑥 𝑖 = (1 + 𝑥)𝑛 .
0 1 2 𝑛 𝑖
Voorbeeld:
We weten zeer goed dat (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn) = 1 − xn+1 , waaruit volgt
1 − 𝑥 𝑛+1
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
1−𝑥
Bijgevolg is bovenstaande breuk een een genererende functie voor de rij 1,1,1,…,1,0,0… (n+1 enen).
Voorbeeld:
2 Veralgemeende binomiaalcoëfficiënten
Wat is het volgende getal in de rij 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42 …?
Merk op dat →
2
