Samenvatting H9 : afgeleiden

H9 : AFGELEIDEN II

9.1 AFGELEIDE EN AFLEIDBAARHEID

9.1.1 LIMIETDEFINITIE VAN DE AFGELEIDE

Limitdefintie f ( x ) −f ( a)
F’(a) = lim
x→ a x−a
def De functie f is afleidbaar in een inwendig punt a
f ( x ) −f ( a)
van het domein van f lim
x→ a x−a
bestaat en is reëel
Als f’(a) bestaat zeggen we Afleidbaar of differentieerbaar
Raaklijn aan een functiegrafiek T <-> y – f(a) = f’(a) (x-a)
9.1.2 AFLEIDBAARHEID

Wanneer is f in a niet afleidbaar - Er is een knik
- Er is een verticale raaklijn
- Er is een sprong
Definitie linkerafgeleide F is links afleidbaar in a ∈ dom f als
f ( x ) −f ( a)
lim bestaat en reëel is. In dat geval
x→ a x−a
¿
f ( x ) −f ( a)
noemen we lim x−a de linkerafgeleide
x→ a
¿
van f in a
Definitie rechterafgeleide F is rechts afleidbaar in a ∈ dom f als
f ( x ) −f ( a)
lim bestaat en reëel is. In dat geval
x→ a x−a
¿
f ( x ) −f ( a)
noemen we lim x−a de
x→ a
¿
rechterafgeleide van f in a
Definitie afgeleide F is afleidbaar in [ a , b ] wanneer f rechts
afleidbaar is in a, afleidbaar is in ¿ a , b ¿ en links
afleidbaar is in b
eigenschap F is afleidbaar in a
⇕
F is links en rechts afleidbaar in a en de linker-
en rechterafgeleide in a zijn gelijk
9.1.3 CONTINUÏTEIT EN AFLEIDBAARHEID

eigenschappen Gegeven een functie f en een waarde a ∈ dom
f. Dan geldt : (1) als f afleidbaar is in a, dan is f
continu in a; (2) als f discontinu is in a, dan is f
niet afleidbaar in a.
9.2 AFGELEIDEN BEREKENEN

9.2.1 AFGELEIDE VAN EEN PRODUCT VAN FUNCTIES

Afgeleide van een product Beschouw 2 functies f en g. Dan geldt in alle
punten waar f en g afleidbaar zijn : (f*g)’ =