KWH2
KANSVERDELING EN HYPOTHESETOETSING
EMPIRISCHE CYCLUS/DOEL
Inductief = toets selecteren die helpt om de gestelde hypothese te staven a.d.h.v. een steekproef
Probleem van de inductieve statistiek
- Populatie toetsen onmogelijk, €
- Oplossing: steekproef trekken (representatief!)
- Uitspraak doen met een bekende mate van
(on)zekerheid
De kansberekening over de zekerheid
- Uitgaande van geen verschil tussen groepen
- Hoe groot is de kans dat we wel verschil
observeren
- Is de kans groot? Dan gaat de observatie snel
vastgesteld worden
Misbruik
- Statistiek is een hulpmiddel, geen doel
- Beïnvloeding van keuzes, incorrect gebruik van cijfergegevens
- Zwakke onderzoeksmethodes (interbeoordeelaarsbetrouwbaarheid)
- Vage beweringen
- Onterecht gebruik van termen als ‘wetenschappelijk bewezen’
KANS
= De mate van (on)zekerheid over het optreden van een bepaalde gebeurtenis in de toekomst
- = Kansverdeling (hypothetisch) is een vorm van frequentieverdeling (observatie)
- = Voorspellen wat de frequentie van voorkomen zal zijn van een gebeurtenis indien we oneindig vaak
de proef op de som nemen
Symbolen
- P = probaliteit, kans (dat iets voorkomt)
- M = betreffende gebeurtenis die we willen halen
- N = het aantal waarden waaruit ik een steekproef trek, uitkomstenruimte (U)
- Elementaire gebeurtenissen = de elementen in de uitkomstenruimte
- N(M) = het aantal keer dat de gewenste waarde voorkomt in het totaal aantal waarden N
De kans op een gebeurtenis
- P(M) = de kans om de waarde M te krijgen
- P(M) = N(M)/N
, Mogelijke uitkomsten
- Kans op één specifieke elementaire gebeurtenis een kans is nooit negatief
o P(M) ≥ 0
- Kans op eender welke gebeurtenis uit U
o P(M) = 1 want het is de som van alle kansen op elementaire gebeurtenissen uit U
o Mits alle kansen gelijk zijn aan N(M)/N en we dit N keer optellen wordt dit N/N
- Kans op niet de ene specifieke elementaire gebeurtenis (kans op tegenovergestelde meting)
o P(niet-M) = 1-P(M)
VOORBEELD
Een dobbelsteen bevat 6 waarden (N = 6)
De uitkomstenruimte U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
We zoeken de kans op het gooien van ‘6’ in één keer.
Het aantal keer dat 6 voor komt in U = N(6) = 1
P(6) = N(6) / 6 = 1/6 = 0,167 = 16,7% de 6 cijfers komen allemaal maar één keer voor.
Bij een perfecte dobbelsteen en een aselecte steekproef met teruglegging heeft elke gebeurtenis uit de
uitkomstenruimte evenveel kans om voor te komen.
We spreken in dit geval van een: uniform kansenmodel elk element in de uitkomstruimte heeft evenveel kans om
getrokken te worden
µx = E(X) = P(X = x1) (x1) + P(X = x2)(x2) + … + P(X = xk)(xk)
= (1/6)(1) + (1/6)(2) + (1/6)(3) + (1/6)(4) + (1/6)(5) + (1/6)(6) = 3,5
= de verwachte waarde van wat ik gemiddeld zal gooien
x = SE(X) = E(X - x)²
= [(P(X = x1) (x1 - µx)² + P(X = x2)(x2 - µx)² + … + P(X = xk)(xk - µx)²]
= [(1/6)(1-3,5)² + (1/6)(2-3,5)² + (1/6)(3-3,5)² + (1/6)(4-3,5)² + (1/6)(5-3,5)² + (1/6)(6-3,5)²]
= 1,71
Met een dobbelsteen oneindig veel keer gooien geeft een verwachte waarde van 3.5 en een SD van 1.71
KANSVERDELING
De kansverdeling:
- ≈ frequentietabel
- Theoretische waarden niet echt vastgesteld
- Gemiddelden en standaardafwijkingen zijn dus in principe niet toe te passen
- Daarom: doen we alsof we oneindig vaak gooien met de dobbelsteen
- Soort van gemiddelde = de verwachte waarde (verwacht gemiddelde van de populatie) ≠ het
gemiddelde van de steekproef
- x of E(X)
- E(X) = P(X = x1) (x1) + P(X = x2)(x2) + … + P(X = xk)(xk) de kans van elke mogelijkheid in de uitkomstruimte
vermenigvuldigen met de uitkomst zelf
- E(X) = xiP(X= xi)
- variantie
o x² = E(X - x)²
o x² = P(X=xi)(xi - µx)² = ((xi - µx)² / N)
- Standaardafwijking, x of SE(X)
o x = x ² = SE(X) = E(X - x)²
Kansverdeling van het steekproefgemiddelde
- Uit de populatie kunnen nu oneindig veel steekproeven getrokken worden
- Op zoek naar de verwachte waarde van de verschillende steekproefgemiddelden
- Alle gemiddelden van de steekproeven volgen een verdeling
- De kansverdeling geeft informatie om te weten hoe groot de kans is op een bepaald gemiddelde
KANSVERDELING EN HYPOTHESETOETSING
EMPIRISCHE CYCLUS/DOEL
Inductief = toets selecteren die helpt om de gestelde hypothese te staven a.d.h.v. een steekproef
Probleem van de inductieve statistiek
- Populatie toetsen onmogelijk, €
- Oplossing: steekproef trekken (representatief!)
- Uitspraak doen met een bekende mate van
(on)zekerheid
De kansberekening over de zekerheid
- Uitgaande van geen verschil tussen groepen
- Hoe groot is de kans dat we wel verschil
observeren
- Is de kans groot? Dan gaat de observatie snel
vastgesteld worden
Misbruik
- Statistiek is een hulpmiddel, geen doel
- Beïnvloeding van keuzes, incorrect gebruik van cijfergegevens
- Zwakke onderzoeksmethodes (interbeoordeelaarsbetrouwbaarheid)
- Vage beweringen
- Onterecht gebruik van termen als ‘wetenschappelijk bewezen’
KANS
= De mate van (on)zekerheid over het optreden van een bepaalde gebeurtenis in de toekomst
- = Kansverdeling (hypothetisch) is een vorm van frequentieverdeling (observatie)
- = Voorspellen wat de frequentie van voorkomen zal zijn van een gebeurtenis indien we oneindig vaak
de proef op de som nemen
Symbolen
- P = probaliteit, kans (dat iets voorkomt)
- M = betreffende gebeurtenis die we willen halen
- N = het aantal waarden waaruit ik een steekproef trek, uitkomstenruimte (U)
- Elementaire gebeurtenissen = de elementen in de uitkomstenruimte
- N(M) = het aantal keer dat de gewenste waarde voorkomt in het totaal aantal waarden N
De kans op een gebeurtenis
- P(M) = de kans om de waarde M te krijgen
- P(M) = N(M)/N
, Mogelijke uitkomsten
- Kans op één specifieke elementaire gebeurtenis een kans is nooit negatief
o P(M) ≥ 0
- Kans op eender welke gebeurtenis uit U
o P(M) = 1 want het is de som van alle kansen op elementaire gebeurtenissen uit U
o Mits alle kansen gelijk zijn aan N(M)/N en we dit N keer optellen wordt dit N/N
- Kans op niet de ene specifieke elementaire gebeurtenis (kans op tegenovergestelde meting)
o P(niet-M) = 1-P(M)
VOORBEELD
Een dobbelsteen bevat 6 waarden (N = 6)
De uitkomstenruimte U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
We zoeken de kans op het gooien van ‘6’ in één keer.
Het aantal keer dat 6 voor komt in U = N(6) = 1
P(6) = N(6) / 6 = 1/6 = 0,167 = 16,7% de 6 cijfers komen allemaal maar één keer voor.
Bij een perfecte dobbelsteen en een aselecte steekproef met teruglegging heeft elke gebeurtenis uit de
uitkomstenruimte evenveel kans om voor te komen.
We spreken in dit geval van een: uniform kansenmodel elk element in de uitkomstruimte heeft evenveel kans om
getrokken te worden
µx = E(X) = P(X = x1) (x1) + P(X = x2)(x2) + … + P(X = xk)(xk)
= (1/6)(1) + (1/6)(2) + (1/6)(3) + (1/6)(4) + (1/6)(5) + (1/6)(6) = 3,5
= de verwachte waarde van wat ik gemiddeld zal gooien
x = SE(X) = E(X - x)²
= [(P(X = x1) (x1 - µx)² + P(X = x2)(x2 - µx)² + … + P(X = xk)(xk - µx)²]
= [(1/6)(1-3,5)² + (1/6)(2-3,5)² + (1/6)(3-3,5)² + (1/6)(4-3,5)² + (1/6)(5-3,5)² + (1/6)(6-3,5)²]
= 1,71
Met een dobbelsteen oneindig veel keer gooien geeft een verwachte waarde van 3.5 en een SD van 1.71
KANSVERDELING
De kansverdeling:
- ≈ frequentietabel
- Theoretische waarden niet echt vastgesteld
- Gemiddelden en standaardafwijkingen zijn dus in principe niet toe te passen
- Daarom: doen we alsof we oneindig vaak gooien met de dobbelsteen
- Soort van gemiddelde = de verwachte waarde (verwacht gemiddelde van de populatie) ≠ het
gemiddelde van de steekproef
- x of E(X)
- E(X) = P(X = x1) (x1) + P(X = x2)(x2) + … + P(X = xk)(xk) de kans van elke mogelijkheid in de uitkomstruimte
vermenigvuldigen met de uitkomst zelf
- E(X) = xiP(X= xi)
- variantie
o x² = E(X - x)²
o x² = P(X=xi)(xi - µx)² = ((xi - µx)² / N)
- Standaardafwijking, x of SE(X)
o x = x ² = SE(X) = E(X - x)²
Kansverdeling van het steekproefgemiddelde
- Uit de populatie kunnen nu oneindig veel steekproeven getrokken worden
- Op zoek naar de verwachte waarde van de verschillende steekproefgemiddelden
- Alle gemiddelden van de steekproeven volgen een verdeling
- De kansverdeling geeft informatie om te weten hoe groot de kans is op een bepaald gemiddelde
