samenvatting wiskunde exponentiële en logaritmische functies

H4 EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES

4.1 GROEIMODELLEN LINEAIR EN EXPONENTIEEL

4.1.1 GEHELE POSITIEVE TIJD

Exponentiële functie De functie met voorschrift f(x) = b*a x
Groeifactor De onderzochte hoeveelheid wordt voor elke
tijdseenheid met eenzelfde factor
vermenigvuldigt
Formule a toename p
1+
100
Formule a afname p
1−
100

4.1.2 NEGATIEVE EN NIET-GEHELE TIJD

Groeifactoren bij andere tijdseenheden Indien a de groeifactor is per tijdseenheid dan
geldt,
- a n is de groeifactor voor n tijdsperiodes
1
- a n =√ a is de groeifactor voor een n-de
n

deel van een tijdseenheid
4.1.3 WILLEKEURIGE TIJD
x
a Macht met reële exponent
4.2 EXPONENTIËLE FUNCTIES

definitie Is a > 0 en a≠ 0, de functie met voorschrift f(x) =
x
a
Eigenschappen - Domein : R voor elke x∈ R kan a x berekend
worden
- Bereik : ]0,+∞ [ de loodrechte projectie van de
grafiek op de y-as is de positieve y-as zonder 0
- Nulpunten : geen a x >0
- Snijpunt met de y-as : (0,b) f(0) = a 0 = 1
- De x-as is horizontale asymptoot a > 1 : als
x-> - ∞ dan zal f(x) -> 0; 0 < a < 1 : als x -> +∞ dan zal
f(x) -> 0
- Verloop : f is overal stijgend als a > 1 en
overal dalend als 0 < a < 1
4.3 LOGARITMEN

4.3.1 DEFINITIE

definitie Y = log a x ⇔ a y=x
Hierbij is a > 0 en a ≠ 1
In woorden De a-log van x is de macht waartoe je a moet
verheffen om x uit te komen
A Grondtal
x Argument
Gevolgen - Enkel strikt positieve getallen hebben
een logaritme

, - Uit Y = log a x ⇔ a y=x volgt :
y
log a a = y
log x
a =x met x > 0 a



- log a a = 1
log a 1=0 voor alle a ϵ R+¿¿
0
1¿ ¿
}
Briggse logaritme Een andere vaak gebruikte benaming voor de
logaritme met grondtal 10
4.3.2 REKENREGELS VAN LOGARITMEN

Voor alle x 1> 0 en x 2 > 0 en voor alle a ϵ R0
+¿¿ 1¿ ¿
Logaritme van een product
} geldt :
log a (¿ x1∗x2 )¿ = log a x 1+ log a x 2
bewijs Stel log a x 1 = y 1 enlog𝑎𝑥2= y 2, dan geldt :
y 1=log a x 1 en y 2=log a x 2 (*)
⇓ definitie
logaritme
x 1=¿ a y en x 2=a y
1 2



⇓
x 1∗x 2 = a y * a y 1 2



⇓ rekenregel machten
x 1∗x 2 = a y + y 1 2



⇓ definitie
logaritme
log a ( x1∗x 2) = y 1 + y 2
⇓ zie
(*)
log a (¿ x1∗x2 )¿ = log a x 1+ log a x 2
+¿¿ 1¿ ¿
Logaritme van een quotiënt Voor alle x 1> 0 en x 2 > 0 en voor alle a ϵ R0
x1
} geldt : log a (¿ )¿ =log a x 1−log a x 2
x2
bewijs Stel log a x 1 = y 1 enlog𝑎𝑥2= y 2, dan geldt :
y 1=log a x 1 en y 2=log a x 2 (*)
⇓ definitie
logaritme
x 1=¿ a y en x 2=a y
1 2



⇓
x1 a y 1

=
x2 a y 2



⇓ rekenregel machten
x1
= a y −y1 2

x2
⇓ definitie
logaritme
x1
log a (¿ )= y 1 − y 2 ¿
x2
⇓ zie
(*)