VERKLARENDE STATISTIEK
D1: Schatters en toetsen........................................................................................................................2
1. Het schatten van populaties...............................................................................................................2
2. Inleiding: schatters versus schatting...................................................................................................2
3. Intervalschatters...............................................................................................................................10
4. Punt- en intervalschatters.................................................................................................................10
5. Het toetsen van hypothesen............................................................................................................16
6. Toetsen van hypothesen omtrent een populatiegemiddelde...........................................................17
D2: één populatie.................................................................................................................................24
7. Hypothesetoetsen voor een populatiegemiddelde, -proportie en -variantie...................................24
8. Hypothesetoets voor een populatiegemiddelde..............................................................................24
9. Twee hypothesetoetsen voor de mediaan v/e populatie.................................................................34
10. Tekentoets......................................................................................................................................34
11. Hypothesetoetsen voor de verdeling v/e populatie.......................................................................40
12. Het toetsen van kansverdelingen...................................................................................................40
D3: Twee populaties.............................................................................................................................45
13. Onafhankelijke steekproeven versus gepaarde waarnemingen.....................................................45
14. Hypothesetoetsen voor twee populatiegemiddeldes, -proporties en -varianties bij onafhankelijke
steekproeven........................................................................................................................................46
15. Een niet-parametrische hypothesetoets voor de mediaan van 2 populaties bij onafhankelijke
steekproeven........................................................................................................................................58
16. Hypothesetoets voor 2 populatiegemiddeldes bij gepaarde waarnemingen.................................65
17. 2 niet-parametrische hypothesetoetsen bij gepaarde waarnemingen...........................................68
D5: Meer dan twee populaties.............................................................................................................72
18. Hypothesetoets voor meer dan 2 populatiegemiddeldes: Enkelvoudige variantieanalyse............72
19. Niet-parametrische alternatieve voor variantieanalyse.................................................................79
20. Hypothesetoetsen voor meer dan 2 populatievarianties...............................................................84
D5: Andere nuttige toetsen en procedures..........................................................................................89
21. Proefopzet en datacollectie............................................................................................................89
1
, D1: Schatters en toetsen
1. Het schatten van populaties
2. Inleiding: schatters versus schatting
Populatieparameters:
- Populatiegemiddelde µ
- Populatievariantie ² (altijd positief)
- Populatieproportie π (altijd tussen 0 en 1)
Doel: uitspraken doen over onbekende populatieparameters door steekproefgegevens te
verzamelen.
Populatieparameters schatten.
Schatting = een functie van steekproefgegevens gebaseerd op een aantal metingen of waarnemingen
(de steekproefgegevens) x 1 , x 2 , … , x n.
n
xi
Steekproefgemiddelde: x=∑
i=1 n
n
1
Steekproefvariantie: s =
2
∑
n−1 i=1
( x i−x )
2
xi
{
xi =1 ,indien succes
n
Steekproefproportie: ^p=∑ waarbij
i=1 n
xi =0 ,indien faling
Elke onderzoeker die hetzelfde onderzoek doet bekomt andere steekproefgegevens. Het trekken v/e
steekproef en het verzamelen van steekproefgegevens is immers een kansexperiment.
Hoofdletters gebruiken voor steekproefwaarnemingen X 1 , X 2 , … , X n.
Het steekproefgemiddelde X wordt dan geïnterpreteerd als een kansvariabele en men
spreekt over een schatter.
Het zijn kansvariabelen met een verwachte waarde, een variantie en een kansverdeling of -
dichtheid.
Een schatting is dus altijd een reëel getal, terwijl een schatter een kansvariabele is waarvan de
waarde nog niet bekend is (de wijze waarop we de parameter gaan schatten).
De kwaliteit v/d schatting wordt bepaald door de hoeveelheid data die wordt gebruikt. De
onderzoeker wilt een schatting verkrijgen die gemiddeld gelijk is aan de onbekende parameter en
dicht bij de onbekende parameter ligt de schatter moet zuiver of onvertekend zijn.
2.2 Het schatten v/e gemiddelde
2.2.1 GEMIDDELDE V/E NORMAAL VERDEELDE POPULATIE:
Mogelijkheden om een onbekende µ te schatten:
- Het steekproefgemiddelde berekenen.
- De mediaan berekenen voor een normaal verdeelde populatie is zowel de mediaan als de
verwachte waarde gelijk aan de parameter µ.
Beide mogelijkheden resulteren in intervallen.
Indien het aantal steekproeven gevoelig opgedreven zou worden (tot oneindig), dan zouden de
gemiddeldes v/d steekproefgemiddeldes en steekproefmedianen gelijk worden aan de
“onbekende” µ.
2
D1: Schatters en toetsen........................................................................................................................2
1. Het schatten van populaties...............................................................................................................2
2. Inleiding: schatters versus schatting...................................................................................................2
3. Intervalschatters...............................................................................................................................10
4. Punt- en intervalschatters.................................................................................................................10
5. Het toetsen van hypothesen............................................................................................................16
6. Toetsen van hypothesen omtrent een populatiegemiddelde...........................................................17
D2: één populatie.................................................................................................................................24
7. Hypothesetoetsen voor een populatiegemiddelde, -proportie en -variantie...................................24
8. Hypothesetoets voor een populatiegemiddelde..............................................................................24
9. Twee hypothesetoetsen voor de mediaan v/e populatie.................................................................34
10. Tekentoets......................................................................................................................................34
11. Hypothesetoetsen voor de verdeling v/e populatie.......................................................................40
12. Het toetsen van kansverdelingen...................................................................................................40
D3: Twee populaties.............................................................................................................................45
13. Onafhankelijke steekproeven versus gepaarde waarnemingen.....................................................45
14. Hypothesetoetsen voor twee populatiegemiddeldes, -proporties en -varianties bij onafhankelijke
steekproeven........................................................................................................................................46
15. Een niet-parametrische hypothesetoets voor de mediaan van 2 populaties bij onafhankelijke
steekproeven........................................................................................................................................58
16. Hypothesetoets voor 2 populatiegemiddeldes bij gepaarde waarnemingen.................................65
17. 2 niet-parametrische hypothesetoetsen bij gepaarde waarnemingen...........................................68
D5: Meer dan twee populaties.............................................................................................................72
18. Hypothesetoets voor meer dan 2 populatiegemiddeldes: Enkelvoudige variantieanalyse............72
19. Niet-parametrische alternatieve voor variantieanalyse.................................................................79
20. Hypothesetoetsen voor meer dan 2 populatievarianties...............................................................84
D5: Andere nuttige toetsen en procedures..........................................................................................89
21. Proefopzet en datacollectie............................................................................................................89
1
, D1: Schatters en toetsen
1. Het schatten van populaties
2. Inleiding: schatters versus schatting
Populatieparameters:
- Populatiegemiddelde µ
- Populatievariantie ² (altijd positief)
- Populatieproportie π (altijd tussen 0 en 1)
Doel: uitspraken doen over onbekende populatieparameters door steekproefgegevens te
verzamelen.
Populatieparameters schatten.
Schatting = een functie van steekproefgegevens gebaseerd op een aantal metingen of waarnemingen
(de steekproefgegevens) x 1 , x 2 , … , x n.
n
xi
Steekproefgemiddelde: x=∑
i=1 n
n
1
Steekproefvariantie: s =
2
∑
n−1 i=1
( x i−x )
2
xi
{
xi =1 ,indien succes
n
Steekproefproportie: ^p=∑ waarbij
i=1 n
xi =0 ,indien faling
Elke onderzoeker die hetzelfde onderzoek doet bekomt andere steekproefgegevens. Het trekken v/e
steekproef en het verzamelen van steekproefgegevens is immers een kansexperiment.
Hoofdletters gebruiken voor steekproefwaarnemingen X 1 , X 2 , … , X n.
Het steekproefgemiddelde X wordt dan geïnterpreteerd als een kansvariabele en men
spreekt over een schatter.
Het zijn kansvariabelen met een verwachte waarde, een variantie en een kansverdeling of -
dichtheid.
Een schatting is dus altijd een reëel getal, terwijl een schatter een kansvariabele is waarvan de
waarde nog niet bekend is (de wijze waarop we de parameter gaan schatten).
De kwaliteit v/d schatting wordt bepaald door de hoeveelheid data die wordt gebruikt. De
onderzoeker wilt een schatting verkrijgen die gemiddeld gelijk is aan de onbekende parameter en
dicht bij de onbekende parameter ligt de schatter moet zuiver of onvertekend zijn.
2.2 Het schatten v/e gemiddelde
2.2.1 GEMIDDELDE V/E NORMAAL VERDEELDE POPULATIE:
Mogelijkheden om een onbekende µ te schatten:
- Het steekproefgemiddelde berekenen.
- De mediaan berekenen voor een normaal verdeelde populatie is zowel de mediaan als de
verwachte waarde gelijk aan de parameter µ.
Beide mogelijkheden resulteren in intervallen.
Indien het aantal steekproeven gevoelig opgedreven zou worden (tot oneindig), dan zouden de
gemiddeldes v/d steekproefgemiddeldes en steekproefmedianen gelijk worden aan de
“onbekende” µ.
2
