Inhoud
Functies van getallen ............................................................................................................................... 6
Getal als hoeveelheid .......................................................................................................................... 6
Getal als rangorde ............................................................................................................................... 7
Getal als code ...................................................................................................................................... 7
Getal als verhouding............................................................................................................................ 7
Voorbeelden functies .......................................................................................................................... 7
Talstelsels ................................................................................................................................................ 8
Het tiendelig talstelsel ......................................................................................................................... 8
Het honderdveld.............................................................................................................................. 9
Andere talstelsels .............................................................................................................................. 10
Getalverzamelingen............................................................................................................................... 11
Natuurlijke getallen ........................................................................................................................... 11
Gehele getallen (Z) ............................................................................................................................ 11
Breuken (enkel inhoud, didactiek niet kennen) .................................................................................... 12
Soorten breuken ................................................................................................................................ 12
Breuken vereenvoudigen .................................................................................................................. 12
Breuken gelijknamig maken .............................................................................................................. 12
Breuken vergelijken ........................................................................................................................... 12
Gelijknamige breuken: .................................................................................................................. 12
Ongelijknamige breuken met een gelijke teller ............................................................................ 12
Ongelijknamige breuken met een verschillende teller ................................................................. 12
Breuken nemen van een getal........................................................................................................... 13
VIJF BREUKVRAGEN ....................................................................................................................... 13
Procenten (enkel inhoud, didactiek niet kennen) ................................................................................. 13
Relatie-breuk-procent-kommagetal .................................................................................................. 13
Omzetten van percentage naar breuk .......................................................................................... 13
Omzetten van breuk naar percentage .......................................................................................... 13
Omzetten van een kommagetal naar een percentage.................................................................. 13
Veelvouden en delers ............................................................................................................................ 13
Begrippen (lees kenmerken pg 40-46) .............................................................................................. 13
Betekenisvolle situaties ......................................................................................................................... 14
Aandachtspunten .............................................................................................................................. 14
Concreet – schematisch – abstract (CSA-model) .................................................................................. 15
Concrete fase..................................................................................................................................... 15
1
, Het materiaal bestaat uit natura ................................................................................................... 15
Het materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid .................................................... 15
Het materiaal is gestructureerd rekenmateriaal ........................................................................... 16
Schematische fase ............................................................................................................................. 16
Abstracte fase .................................................................................................................................... 16
Triple code model (Stanislas Dehaene: 1997) ............................................................................... 17
Aandachtspunten .............................................................................................................................. 17
Handelingsniveaus van Galperin ........................................................................................................... 18
Materieel handelen ........................................................................................................................... 18
Perceptueel handelen ....................................................................................................................... 18
Verbaal handelen .............................................................................................................................. 18
Mentaal handelen ............................................................................................................................. 18
Inzichtelijke aanpak ............................................................................................................................... 19
Belang van correct wiskundig verwoorden ........................................................................................... 19
Automatiseren – memoriseren ............................................................................................................. 19
Inductief werken ................................................................................................................................... 20
Basisbegrippen ...................................................................................................................................... 21
Hoofdrekenen.................................................................................................................................... 21
Cijferen .............................................................................................................................................. 22
Schattend rekenen ............................................................................................................................ 22
Rekenen met de rekenmachine ........................................................................................................ 22
Aanbreng basisbewerkingen ................................................................................................................. 23
Vermenigvuldigen & delen ................................................................................................................ 23
Leren van tafels ............................................................................................................................. 23
Proces of product? ........................................................................................................................ 23
Beginsituatie ...................................................................................................................................... 24
Oriëntatiefase: inzicht in het begrip vermenigvuldigen/ delen ........................................................ 24
Vermenigvuldigen als nieuwe bewerking ..................................................................................... 24
Delen als nieuwe bewerking ......................................................................................................... 25
Delen met de verhoudingsdeling .................................................................................................. 26
Werken met de verdelingsdeling .................................................................................................. 26
Modellen voor de oriëntatiefase....................................................................................................... 27
Het groepjesmodel ........................................................................................................................ 27
Het rechthoekmodel ..................................................................................................................... 27
De getallenlijn................................................................................................................................ 27
Inoefenen in de oriëntatiefase ...................................................................................................... 27
2
, (Re)constructiefase: tafels inzichtelijk aanbrengen .......................................................................... 28
Rekenstrategieën........................................................................................................................... 28
Volgorde van verschillende maal- & deeltafels ............................................................................. 29
Aanbreng van een maaltafel met behulp van ‘de trap’ ................................................................ 30
Aanbreng van een maaltafel met behulp van de rekenstrategieën.............................................. 31
Aanbreng van een deeltafel via de verhoudingsdeling ................................................................. 32
Aanbreng van een deeltafel via de verdelingsdeling .................................................................... 33
Consolidatiefase: automatiseren van vermenigvuldigingen/ delen ................................................. 33
Automatiseren lukt niet bij iedereen ............................................................................................ 33
Uitbereidingsfase: verdiepen van het inzicht in vermenigvuldigen/delen ....................................... 34
Vermenigvuldigingen & delingen boven de maal- & deeltafels.................................................... 34
Delen met rest ............................................................................................................................... 35
Eigenschappen van bewerkingen (kunnen toepassen) ......................................................................... 37
Wisseleigenschap (communativiteit) ................................................................................................ 37
Wisseleigenschap bij de optelling ................................................................................................. 37
Mag je wisselen bij de aftrekking? ................................................................................................ 37
Wisseleigenschap bij de vermenigvuldiging .................................................................................. 38
Mag je wisselen bij de deling......................................................................................................... 38
Schakeleigenschap (associativiteit) ................................................................................................... 38
Optellen ......................................................................................................................................... 38
Aftrekken ....................................................................................................................................... 38
Vermenigvuldigen ......................................................................................................................... 39
Delen ............................................................................................................................................. 39
Optellings- & vermenigvuldigingswip en aftrekkings- en delingshalter ........................................ 40
Optellingswip ................................................................................................................................. 40
Vermenigvuldigingswip ................................................................................................................. 40
Aftrekkingshalter ........................................................................................................................... 41
Delingshalter ................................................................................................................................. 41
Evenredigheidseigenschap & omgekeerd-evenredigheidseigenschap ......................................... 41
Hoofdrekenen........................................................................................................................................ 41
Optellen & aftrekken ......................................................................................................................... 41
Standaardmethodes ...................................................................................................................... 41
De doorrekenmethode (= doortelmethode/ rijgmethode) ........................................................... 42
Splitsmethode ............................................................................................................................... 43
Doorrekenmethode VS splitsmethode .......................................................................................... 44
Mogelijke types oefeningen en gradatie bij optellen en aftrekken tot 100.................................. 45
3
, Handige methodes ........................................................................................................................ 45
Het aanleren van handige methodes: aandachtspunten .............................................................. 46
Vermenigvuldigen en delen .............................................................................................................. 47
Standaardmethode: splitsen en verdelen ..................................................................................... 47
Basisbegrippen ...................................................................................................................................... 49
Punten, lijnen, oppervlakken ............................................................................................................ 49
Een punt in de meetkunde: ........................................................................................................... 49
Een lijn in de meetkunde: ............................................................................................................. 49
Een lijn in de realiteit:.................................................................................................................... 49
Een oppervlak in de meetkunde: .................................................................................................. 50
Hoeken .............................................................................................................................................. 50
Een hoek in de meetkunde:........................................................................................................... 50
Hoeken in de realiteit: ................................................................................................................... 50
Diagonalen......................................................................................................................................... 51
Vormleer................................................................................................................................................ 52
Vlakke figuren .................................................................................................................................... 52
Vlakke figuren in de realiteit ......................................................................................................... 52
LEERLIJN......................................................................................................................................... 52
Veelhoeken .................................................................................................................................... 53
VEELHOEKEN: driehoeken ............................................................................................................. 54
VEELHOEKEN: vierhoeken ............................................................................................................. 57
Basisbegrippen ...................................................................................................................................... 64
Wat is meten en metend rekenen?................................................................................................... 64
Kwalitatief meten (kwalitatieve fase): .......................................................................................... 64
Kwantitatief meten (kwantitatieve fase): ..................................................................................... 65
Meetinstrumenten ............................................................................................................................ 65
Referentiematen ijzeren maten ........................................................................................................ 66
Herleiden ........................................................................................................................................... 66
Grootheden en eenheden ................................................................................................................. 66
Lengtematen ................................................................................................................................. 66
Oppervlakte- en landmaten .............................................................................................................. 66
Kwalitatief vergelijken ................................................................................................................... 67
Kwantitatieve fase ......................................................................................................................... 67
Volume- en inhoudsmaten ................................................................................................................ 67
Kwalitatief vergelijken van volume/inhoud .................................................................................. 67
Kwantitatieve fase: ........................................................................................................................ 67
4
,Gewicht/massa .................................................................................................................................. 68
Tijd ..................................................................................................................................................... 68
Tijdsduur: Hoelang duurt iets ........................................................................................................ 68
Tijdstip: kloklezen.......................................................................................................................... 69
Hoekgrootte ...................................................................................................................................... 69
Gemiddelde en mediaan ................................................................................................................... 69
5
, Getallenkennis
Functies van getallen
Er zijn 3 belangrijke aandachtspunten.
- Begripsvorming
• Functies van de getallen met hun juiste benaming verwoorden en laten uitleggen in
hun eigen woorden, op verschillende manieren opnemen in begrippenlijst met
concreet voorbeeld (groeiboekje).
- Regelmatig herhalen
• In verschillende lessen (ook andere lessen: vakoverschrijdend).
- Betekenisvolle situaties
• Zorgen dat leerlingactiviteit hoog blijft.
• → Leerlingen getallen laten sorteren volgens functie.
• → Betekenis van getallen bespreken.
Getal als hoeveelheid
De leerlingen moeten eerst kunnen classificeren: sorteren van voorwerpen op basis van kwalitatieve
vergelijking volgens een of meerdere kenmerken. → Zintuiglijk waarneembare aspecten: kleur, per
soort, grootte, …
Het meest abstracte aspect is aantal/hoeveelheid, deze eigenschappen van de dingen blijven buiten
beschouwing. De leerlingen moeren hiervoor de 1-op-1-relatie leggen tussen het voorwerp en een
getal.
Hoeveelheden kan je op verschillende manieren vergelijken
- Gestructureerde hoeveelheden: door de structuur kan je vergelijken zonder te tellen.
- Ongestructureerde hoeveelheden: door het maken van een één-één relatie kan je ook
vergelijken zonder te tellen
Synchroon tellen: het ‘tellen’ gebeurt gelijktijdig met het aanwijzen van of het kijken naar
voorwerpen.
Resultatief tellen: als de koppeling gebeurt tussen het getelde en de hoeveelheid.
Het tellen wordt steeds verkort:
- Door aantallen te groeperen in een bepaalde vaste structuur, kun je de
hoeveelheden sneller weten. → getalbeelden
- Subitizing is wanneer je in 1 oogopslag kunt zien hoeveel het er zijn.
→ Leerlingen stoppen een voorstelling van een hoeveelheid in de juiste doos.
Een goede beheersing van het hoeveelheidsaspect wil ook zeggen dat een leerling
beseft dat een hoeveelheid hetzelfde blijft, ook al kun je die hoeveelheid verder uit
elkaar leggen of onderverdelen → behoud van hoeveelheid of conservatie.
Reversibel denken/ behoud van hoeveelheid: wanneer je op elk moment zekerheid hebt over de
hoeveelheid door de verandering in gedachten ongedaan te maken. (Een leerling die na het verdelen
van een bepaalde hoeveelheid opnieuw moet tellen, beheerst dit nog niet).
6
Functies van getallen ............................................................................................................................... 6
Getal als hoeveelheid .......................................................................................................................... 6
Getal als rangorde ............................................................................................................................... 7
Getal als code ...................................................................................................................................... 7
Getal als verhouding............................................................................................................................ 7
Voorbeelden functies .......................................................................................................................... 7
Talstelsels ................................................................................................................................................ 8
Het tiendelig talstelsel ......................................................................................................................... 8
Het honderdveld.............................................................................................................................. 9
Andere talstelsels .............................................................................................................................. 10
Getalverzamelingen............................................................................................................................... 11
Natuurlijke getallen ........................................................................................................................... 11
Gehele getallen (Z) ............................................................................................................................ 11
Breuken (enkel inhoud, didactiek niet kennen) .................................................................................... 12
Soorten breuken ................................................................................................................................ 12
Breuken vereenvoudigen .................................................................................................................. 12
Breuken gelijknamig maken .............................................................................................................. 12
Breuken vergelijken ........................................................................................................................... 12
Gelijknamige breuken: .................................................................................................................. 12
Ongelijknamige breuken met een gelijke teller ............................................................................ 12
Ongelijknamige breuken met een verschillende teller ................................................................. 12
Breuken nemen van een getal........................................................................................................... 13
VIJF BREUKVRAGEN ....................................................................................................................... 13
Procenten (enkel inhoud, didactiek niet kennen) ................................................................................. 13
Relatie-breuk-procent-kommagetal .................................................................................................. 13
Omzetten van percentage naar breuk .......................................................................................... 13
Omzetten van breuk naar percentage .......................................................................................... 13
Omzetten van een kommagetal naar een percentage.................................................................. 13
Veelvouden en delers ............................................................................................................................ 13
Begrippen (lees kenmerken pg 40-46) .............................................................................................. 13
Betekenisvolle situaties ......................................................................................................................... 14
Aandachtspunten .............................................................................................................................. 14
Concreet – schematisch – abstract (CSA-model) .................................................................................. 15
Concrete fase..................................................................................................................................... 15
1
, Het materiaal bestaat uit natura ................................................................................................... 15
Het materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid .................................................... 15
Het materiaal is gestructureerd rekenmateriaal ........................................................................... 16
Schematische fase ............................................................................................................................. 16
Abstracte fase .................................................................................................................................... 16
Triple code model (Stanislas Dehaene: 1997) ............................................................................... 17
Aandachtspunten .............................................................................................................................. 17
Handelingsniveaus van Galperin ........................................................................................................... 18
Materieel handelen ........................................................................................................................... 18
Perceptueel handelen ....................................................................................................................... 18
Verbaal handelen .............................................................................................................................. 18
Mentaal handelen ............................................................................................................................. 18
Inzichtelijke aanpak ............................................................................................................................... 19
Belang van correct wiskundig verwoorden ........................................................................................... 19
Automatiseren – memoriseren ............................................................................................................. 19
Inductief werken ................................................................................................................................... 20
Basisbegrippen ...................................................................................................................................... 21
Hoofdrekenen.................................................................................................................................... 21
Cijferen .............................................................................................................................................. 22
Schattend rekenen ............................................................................................................................ 22
Rekenen met de rekenmachine ........................................................................................................ 22
Aanbreng basisbewerkingen ................................................................................................................. 23
Vermenigvuldigen & delen ................................................................................................................ 23
Leren van tafels ............................................................................................................................. 23
Proces of product? ........................................................................................................................ 23
Beginsituatie ...................................................................................................................................... 24
Oriëntatiefase: inzicht in het begrip vermenigvuldigen/ delen ........................................................ 24
Vermenigvuldigen als nieuwe bewerking ..................................................................................... 24
Delen als nieuwe bewerking ......................................................................................................... 25
Delen met de verhoudingsdeling .................................................................................................. 26
Werken met de verdelingsdeling .................................................................................................. 26
Modellen voor de oriëntatiefase....................................................................................................... 27
Het groepjesmodel ........................................................................................................................ 27
Het rechthoekmodel ..................................................................................................................... 27
De getallenlijn................................................................................................................................ 27
Inoefenen in de oriëntatiefase ...................................................................................................... 27
2
, (Re)constructiefase: tafels inzichtelijk aanbrengen .......................................................................... 28
Rekenstrategieën........................................................................................................................... 28
Volgorde van verschillende maal- & deeltafels ............................................................................. 29
Aanbreng van een maaltafel met behulp van ‘de trap’ ................................................................ 30
Aanbreng van een maaltafel met behulp van de rekenstrategieën.............................................. 31
Aanbreng van een deeltafel via de verhoudingsdeling ................................................................. 32
Aanbreng van een deeltafel via de verdelingsdeling .................................................................... 33
Consolidatiefase: automatiseren van vermenigvuldigingen/ delen ................................................. 33
Automatiseren lukt niet bij iedereen ............................................................................................ 33
Uitbereidingsfase: verdiepen van het inzicht in vermenigvuldigen/delen ....................................... 34
Vermenigvuldigingen & delingen boven de maal- & deeltafels.................................................... 34
Delen met rest ............................................................................................................................... 35
Eigenschappen van bewerkingen (kunnen toepassen) ......................................................................... 37
Wisseleigenschap (communativiteit) ................................................................................................ 37
Wisseleigenschap bij de optelling ................................................................................................. 37
Mag je wisselen bij de aftrekking? ................................................................................................ 37
Wisseleigenschap bij de vermenigvuldiging .................................................................................. 38
Mag je wisselen bij de deling......................................................................................................... 38
Schakeleigenschap (associativiteit) ................................................................................................... 38
Optellen ......................................................................................................................................... 38
Aftrekken ....................................................................................................................................... 38
Vermenigvuldigen ......................................................................................................................... 39
Delen ............................................................................................................................................. 39
Optellings- & vermenigvuldigingswip en aftrekkings- en delingshalter ........................................ 40
Optellingswip ................................................................................................................................. 40
Vermenigvuldigingswip ................................................................................................................. 40
Aftrekkingshalter ........................................................................................................................... 41
Delingshalter ................................................................................................................................. 41
Evenredigheidseigenschap & omgekeerd-evenredigheidseigenschap ......................................... 41
Hoofdrekenen........................................................................................................................................ 41
Optellen & aftrekken ......................................................................................................................... 41
Standaardmethodes ...................................................................................................................... 41
De doorrekenmethode (= doortelmethode/ rijgmethode) ........................................................... 42
Splitsmethode ............................................................................................................................... 43
Doorrekenmethode VS splitsmethode .......................................................................................... 44
Mogelijke types oefeningen en gradatie bij optellen en aftrekken tot 100.................................. 45
3
, Handige methodes ........................................................................................................................ 45
Het aanleren van handige methodes: aandachtspunten .............................................................. 46
Vermenigvuldigen en delen .............................................................................................................. 47
Standaardmethode: splitsen en verdelen ..................................................................................... 47
Basisbegrippen ...................................................................................................................................... 49
Punten, lijnen, oppervlakken ............................................................................................................ 49
Een punt in de meetkunde: ........................................................................................................... 49
Een lijn in de meetkunde: ............................................................................................................. 49
Een lijn in de realiteit:.................................................................................................................... 49
Een oppervlak in de meetkunde: .................................................................................................. 50
Hoeken .............................................................................................................................................. 50
Een hoek in de meetkunde:........................................................................................................... 50
Hoeken in de realiteit: ................................................................................................................... 50
Diagonalen......................................................................................................................................... 51
Vormleer................................................................................................................................................ 52
Vlakke figuren .................................................................................................................................... 52
Vlakke figuren in de realiteit ......................................................................................................... 52
LEERLIJN......................................................................................................................................... 52
Veelhoeken .................................................................................................................................... 53
VEELHOEKEN: driehoeken ............................................................................................................. 54
VEELHOEKEN: vierhoeken ............................................................................................................. 57
Basisbegrippen ...................................................................................................................................... 64
Wat is meten en metend rekenen?................................................................................................... 64
Kwalitatief meten (kwalitatieve fase): .......................................................................................... 64
Kwantitatief meten (kwantitatieve fase): ..................................................................................... 65
Meetinstrumenten ............................................................................................................................ 65
Referentiematen ijzeren maten ........................................................................................................ 66
Herleiden ........................................................................................................................................... 66
Grootheden en eenheden ................................................................................................................. 66
Lengtematen ................................................................................................................................. 66
Oppervlakte- en landmaten .............................................................................................................. 66
Kwalitatief vergelijken ................................................................................................................... 67
Kwantitatieve fase ......................................................................................................................... 67
Volume- en inhoudsmaten ................................................................................................................ 67
Kwalitatief vergelijken van volume/inhoud .................................................................................. 67
Kwantitatieve fase: ........................................................................................................................ 67
4
,Gewicht/massa .................................................................................................................................. 68
Tijd ..................................................................................................................................................... 68
Tijdsduur: Hoelang duurt iets ........................................................................................................ 68
Tijdstip: kloklezen.......................................................................................................................... 69
Hoekgrootte ...................................................................................................................................... 69
Gemiddelde en mediaan ................................................................................................................... 69
5
, Getallenkennis
Functies van getallen
Er zijn 3 belangrijke aandachtspunten.
- Begripsvorming
• Functies van de getallen met hun juiste benaming verwoorden en laten uitleggen in
hun eigen woorden, op verschillende manieren opnemen in begrippenlijst met
concreet voorbeeld (groeiboekje).
- Regelmatig herhalen
• In verschillende lessen (ook andere lessen: vakoverschrijdend).
- Betekenisvolle situaties
• Zorgen dat leerlingactiviteit hoog blijft.
• → Leerlingen getallen laten sorteren volgens functie.
• → Betekenis van getallen bespreken.
Getal als hoeveelheid
De leerlingen moeten eerst kunnen classificeren: sorteren van voorwerpen op basis van kwalitatieve
vergelijking volgens een of meerdere kenmerken. → Zintuiglijk waarneembare aspecten: kleur, per
soort, grootte, …
Het meest abstracte aspect is aantal/hoeveelheid, deze eigenschappen van de dingen blijven buiten
beschouwing. De leerlingen moeren hiervoor de 1-op-1-relatie leggen tussen het voorwerp en een
getal.
Hoeveelheden kan je op verschillende manieren vergelijken
- Gestructureerde hoeveelheden: door de structuur kan je vergelijken zonder te tellen.
- Ongestructureerde hoeveelheden: door het maken van een één-één relatie kan je ook
vergelijken zonder te tellen
Synchroon tellen: het ‘tellen’ gebeurt gelijktijdig met het aanwijzen van of het kijken naar
voorwerpen.
Resultatief tellen: als de koppeling gebeurt tussen het getelde en de hoeveelheid.
Het tellen wordt steeds verkort:
- Door aantallen te groeperen in een bepaalde vaste structuur, kun je de
hoeveelheden sneller weten. → getalbeelden
- Subitizing is wanneer je in 1 oogopslag kunt zien hoeveel het er zijn.
→ Leerlingen stoppen een voorstelling van een hoeveelheid in de juiste doos.
Een goede beheersing van het hoeveelheidsaspect wil ook zeggen dat een leerling
beseft dat een hoeveelheid hetzelfde blijft, ook al kun je die hoeveelheid verder uit
elkaar leggen of onderverdelen → behoud van hoeveelheid of conservatie.
Reversibel denken/ behoud van hoeveelheid: wanneer je op elk moment zekerheid hebt over de
hoeveelheid door de verandering in gedachten ongedaan te maken. (Een leerling die na het verdelen
van een bepaalde hoeveelheid opnieuw moet tellen, beheerst dit nog niet).
6
