Samenvatting wiskunde 2
Hoofdstuk 1) Getallenkennis
1.1) Doelen
Ontwikkelveld = ontwikkeling van wiskundig denken
Ontwikkelthema’s:
- Getallenkennis
- Rekenvaardigheid (heeft geen leerlijnen)
- Logisch en wiskundig denken
Getallenkennis heeft 5 generieke delen:
- Inzicht verwerven in hoeveelheden
- Inzicht verwerven in tellen
- Inzicht verwerven in natuurlijke getallen
- Inzicht verwerven in breuken, kommagetallen, procenten en hun onderlinge relaties
- Schatten van hoeveelheden en afronden van getallen
Leerlijnen
→ zie zill-selector
1.2) Definities
Getallenkennis = overkoepelende term voor hoeveelheden en het omgaan met hoeveelheden. Tellen van
hoeveelheden, vergelijken, herkennen, plaatsen in een volgorde, optellen,...
→ Een cijfer is een symbool voor een hoeveelheid. Er zijn tien Arabische cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. → Een
getal kan uit een of meer cijfers zijn samengesteld, maar kan ook andere tekens bevatten, bijvoorbeeld: 1/4; 0,8; 4,5;
3,1415.
Aantal ➔ visuele ondersteuning van een aantal die verschillende vormen kan aannemen
Cijfer ➔ 1 symbool dat een aantal voorstelt in een talstelsel
Getal ➔ hoeveelheid bestaande uit afzonderlijk telbare eenheden
Getalbeeld ➔ een symbolische weergave van een aantal, een rangorde, een verhouding, een
code.
➔ een getal kun je benoemen, kan je schrijven met cijfers, en andere symbolen, kun
je voorstellen met bijvoorbeeld een getalbeeld
1
,1.3) De ontwikkeling van het getalbegrip volgens Piaget
0 - 2 jaar Senso-motorische fase
2 - 7 jaar pré-operationele fase
7 - 11 jaar Concreet-operationele fase
12 jaar Formeel-operationele fase
Ontwikkeling getalbegrip
Senso(ri)motorische fase De baby en de peuter vormt zich een begrip van voorwerpen
(0 – 2 jaar) ▪ voorwerpen bestaan
▪ voorwerpen kunnen verplaatst, samengevoegd, enz. worden
=> Leidt later tot het begrijpen van de één-één-relatie en conservatie van
hoeveelheid.
Pré-operationele fase Vanaf 3 à 4 jaar: kleuter beheerst de één-één-relatie (kan van elkaar
(2 – 7 jaar) verschillende voorwerpen paarsgewijs rangschikken).
MAAR nog geen conservatie van aantal (ook tellen helpt niet) TENZIJ reeksen
geheel gelijk gerangschikt.
Oorzaak: - de kleuters kunnen in gedachte de omgekeerde handeling niet
maken
- de kleuters laten zich leiden door meest opvallende kenmerk
Concreet-operationele fase Kinderen conserveren hoeveelheid en gebruiken de één-één-relatie DUS ze
(7 – 11 jaar) beheersen het getalbegrip.
Kinderen kunnen een groep verdelen in 2 groepen met eenzelfde aantal en ze
kunnen ongelijke stapels voorwerpen gelijk maken.
Formeel-operationele fase Kinderen beheersen het getalbegrip op formeel niveau, zo kunnen de
(12 - … jaar) kinderen ingewikkelder begrippen aan zoals oneindige reeksen en
hypothetische onbekenden (bv. X)
1.3.1) Voorwaarden voor de aanwezigheid van getalbegrip
2 mijlpalen in de vorming van het getalbegrip:
- het beheersen van de één-één-relatie
- het kunnen conserveren
2
, één-één-relatie ➔ De techniek van de één-één relatie geeft kinderen wiskundige vleugels: het is een
krachtig instrument om bepaalde rekenbegrippen zoals o.a. ‘evenveel’, ‘meer’ en
‘minder’ te leren. Over een goede rekentaal beschikken is cruciaal voor de latere
rekenontwikkeling. Bovendien kunnen kleuters met de 1-1 relatie concrete
problemen oplossen die hun actuele getalbegrip nog te boven gaan.
conserveren ➔ Het aantal voorwerpen in een verzameling blijft gelijk, hoe die voorwerpen ook
geplaatst of geordend worden
1.3.2) De sensomotorische fase
1. senso(ri)motorische fase (0-2 jaar): deze fase loopt vanaf de geboorte
tot op het moment dat het kind leert praten. Deze fase wordt gekenmerkt
door een zintuiglijk ervaren van de wereld rond hen heen (zonder zich
daarvan bewust te zijn, zonder erover na te denken)
Binnen deze fase ontdekken de kinderen dat er voorwerpen bestaan en
deze voorwerpen kunnen gestapeld, verplaatst, samengevoegd, enz.
worden.
Alles gebeurt op een zintuiglijke en motorische manier manier zonder dat de kinderen hierbij stilstaan of erover
nadenken. Maar het is wel een belangrijke stap is het later kunnen tellen en omgaan met hoeveelheden, alsook naar
het begrip van de 1-1 relatie en conservatie toe.
1.3.3) De pré-operationele fase
2. pré-operationele fase (2-7 jaar): deze fase behelst de kleuterleeftijd.
De taal ontwikkelt zich en via taal kunnen we ook denken. Binnen deze
fase is het denken volop in ontwikkeling maar dit loopt nog niet altijd
zoals het moet. De kleuters maken nog denkfouten.
Vanaf 3à4 jaar kunnen de kinderen een 1-1 relatie leggen tussen 2
groepen van voorwerpen. De jongste kleuters zijn op die manier in staat om hoeveelheden te vergelijking met elkaar
zonder dat ze hoeven te tellen (want dit lukt pas later - zie verder in de cursus).
Het kunnen conserveren is heel wat moeilijker. Een kleuter is zelfs nog niet in staat tot het kunnen conserveren van
hoeveelheid.
Volgende proef van Piaget toont dit ook aan: er staat een rij vazen op tafel en er wordt gevraagd aan een kleuter om
in elke vaas een bloem te steken. Het kind zegt hierbij dat er evenveel bloemen als vazen zijn. Maar wanneer Piaget
de bloemen uit de vazen neemt en ze samen bundelt, zegt het kind dat er meer vazen zijn dan bloemen. De rij vazen
is immers langer, waardoor het kind zich visueel laat misleiden.
Piaget ontdekte hierbij dat ook het tellen (bij de oudste kleuters) geen hulp biedt. Hij vroeg een vijfjarige om een rij
van zes glazen en rij van zes flessen te tellen. De vijfjarige kon zeggen dat er 6 glazen en 6 flessen waren, maar toch
hield het kind vol dat er meer flessen waren dan glazen: de rij van de flessen was immers langer dan die van de
glasen.
3
, Er kunnen 2 oorzaken toegewezen worden aan het feit dat kleuters moeilijk tot conserveren komen, nl.
- de kleuters kunnen in gedachten niet de omgekeerd handeling maken (bv. in gedachten de bloemen terug in de
vazen stoppen zodat ze inzien dat het er evenveel zijn gebleven)
- de kleuters laten zich (mis)leiden door het meest opvallende kenmerk (wat de kleuters zien is voor hen van
doorslaggevende aard, nl. de plaats die de vazen inneemt is veel groter dan de plaats van de samengebundelde
bloemen)
1.3.4) De concreet-operationele fase
3. concreet-operationele fase (7-11 jaar): deze fase komt overeen met de lagere
schoolleeftijd. Het denken is operationeel maar wordt nog ondersteund door
concrete ervaringen.
Kinderen in deze fase beheersen het getalbegrip, dit wil zeggen dat ze zowel
inzicht hebben in het conservatieprincipe als in de 1-1 relatie.
1.3.5) De formeel-operationele fase
4. formeel-operationele fase (vanaf 11 jaar): binnen deze fase is het denken operationeel en dit op een abstract
niveau.
De vertaling van deze 4 fasen naar getalbegrip toe vind je hiernaast terug.
Binnen deze fase hebben de kinderen op een abstracte manier inzicht in het getalbegrip, de onbekende x is hiervan
een voorbeeld (bv. 2x=4 > wat is x?).
1.4) Het ontwikkelingsproces van het leren tellen
6 fasen:
Subitizing ➔ herkennen van kleine hoeveelheden
➔ weet niet hoeveel het samen is
Akoestisch tellen ➔ opzeggen van de telrij (bv: liedje, versje,...)
Asynchroon tellen ➔ 1,2,3,4,8
Synchroon tellen ➔ 1,2,3,4,5
➔ dingen tellen
Oog krijgen voor verschillende ➔ uiteenlopende betekenissen van getallen leren
betekenissen van getallen ➔ hoeveelheid, volgorde, maat, huisnummer,...
Resultatief tellen ➔ antwoorden op de vraag ‘HOEVEEL?’
Verkort tellen ➔ 3+3 = 6
➔ niet alles apart tellen
4
Hoofdstuk 1) Getallenkennis
1.1) Doelen
Ontwikkelveld = ontwikkeling van wiskundig denken
Ontwikkelthema’s:
- Getallenkennis
- Rekenvaardigheid (heeft geen leerlijnen)
- Logisch en wiskundig denken
Getallenkennis heeft 5 generieke delen:
- Inzicht verwerven in hoeveelheden
- Inzicht verwerven in tellen
- Inzicht verwerven in natuurlijke getallen
- Inzicht verwerven in breuken, kommagetallen, procenten en hun onderlinge relaties
- Schatten van hoeveelheden en afronden van getallen
Leerlijnen
→ zie zill-selector
1.2) Definities
Getallenkennis = overkoepelende term voor hoeveelheden en het omgaan met hoeveelheden. Tellen van
hoeveelheden, vergelijken, herkennen, plaatsen in een volgorde, optellen,...
→ Een cijfer is een symbool voor een hoeveelheid. Er zijn tien Arabische cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. → Een
getal kan uit een of meer cijfers zijn samengesteld, maar kan ook andere tekens bevatten, bijvoorbeeld: 1/4; 0,8; 4,5;
3,1415.
Aantal ➔ visuele ondersteuning van een aantal die verschillende vormen kan aannemen
Cijfer ➔ 1 symbool dat een aantal voorstelt in een talstelsel
Getal ➔ hoeveelheid bestaande uit afzonderlijk telbare eenheden
Getalbeeld ➔ een symbolische weergave van een aantal, een rangorde, een verhouding, een
code.
➔ een getal kun je benoemen, kan je schrijven met cijfers, en andere symbolen, kun
je voorstellen met bijvoorbeeld een getalbeeld
1
,1.3) De ontwikkeling van het getalbegrip volgens Piaget
0 - 2 jaar Senso-motorische fase
2 - 7 jaar pré-operationele fase
7 - 11 jaar Concreet-operationele fase
12 jaar Formeel-operationele fase
Ontwikkeling getalbegrip
Senso(ri)motorische fase De baby en de peuter vormt zich een begrip van voorwerpen
(0 – 2 jaar) ▪ voorwerpen bestaan
▪ voorwerpen kunnen verplaatst, samengevoegd, enz. worden
=> Leidt later tot het begrijpen van de één-één-relatie en conservatie van
hoeveelheid.
Pré-operationele fase Vanaf 3 à 4 jaar: kleuter beheerst de één-één-relatie (kan van elkaar
(2 – 7 jaar) verschillende voorwerpen paarsgewijs rangschikken).
MAAR nog geen conservatie van aantal (ook tellen helpt niet) TENZIJ reeksen
geheel gelijk gerangschikt.
Oorzaak: - de kleuters kunnen in gedachte de omgekeerde handeling niet
maken
- de kleuters laten zich leiden door meest opvallende kenmerk
Concreet-operationele fase Kinderen conserveren hoeveelheid en gebruiken de één-één-relatie DUS ze
(7 – 11 jaar) beheersen het getalbegrip.
Kinderen kunnen een groep verdelen in 2 groepen met eenzelfde aantal en ze
kunnen ongelijke stapels voorwerpen gelijk maken.
Formeel-operationele fase Kinderen beheersen het getalbegrip op formeel niveau, zo kunnen de
(12 - … jaar) kinderen ingewikkelder begrippen aan zoals oneindige reeksen en
hypothetische onbekenden (bv. X)
1.3.1) Voorwaarden voor de aanwezigheid van getalbegrip
2 mijlpalen in de vorming van het getalbegrip:
- het beheersen van de één-één-relatie
- het kunnen conserveren
2
, één-één-relatie ➔ De techniek van de één-één relatie geeft kinderen wiskundige vleugels: het is een
krachtig instrument om bepaalde rekenbegrippen zoals o.a. ‘evenveel’, ‘meer’ en
‘minder’ te leren. Over een goede rekentaal beschikken is cruciaal voor de latere
rekenontwikkeling. Bovendien kunnen kleuters met de 1-1 relatie concrete
problemen oplossen die hun actuele getalbegrip nog te boven gaan.
conserveren ➔ Het aantal voorwerpen in een verzameling blijft gelijk, hoe die voorwerpen ook
geplaatst of geordend worden
1.3.2) De sensomotorische fase
1. senso(ri)motorische fase (0-2 jaar): deze fase loopt vanaf de geboorte
tot op het moment dat het kind leert praten. Deze fase wordt gekenmerkt
door een zintuiglijk ervaren van de wereld rond hen heen (zonder zich
daarvan bewust te zijn, zonder erover na te denken)
Binnen deze fase ontdekken de kinderen dat er voorwerpen bestaan en
deze voorwerpen kunnen gestapeld, verplaatst, samengevoegd, enz.
worden.
Alles gebeurt op een zintuiglijke en motorische manier manier zonder dat de kinderen hierbij stilstaan of erover
nadenken. Maar het is wel een belangrijke stap is het later kunnen tellen en omgaan met hoeveelheden, alsook naar
het begrip van de 1-1 relatie en conservatie toe.
1.3.3) De pré-operationele fase
2. pré-operationele fase (2-7 jaar): deze fase behelst de kleuterleeftijd.
De taal ontwikkelt zich en via taal kunnen we ook denken. Binnen deze
fase is het denken volop in ontwikkeling maar dit loopt nog niet altijd
zoals het moet. De kleuters maken nog denkfouten.
Vanaf 3à4 jaar kunnen de kinderen een 1-1 relatie leggen tussen 2
groepen van voorwerpen. De jongste kleuters zijn op die manier in staat om hoeveelheden te vergelijking met elkaar
zonder dat ze hoeven te tellen (want dit lukt pas later - zie verder in de cursus).
Het kunnen conserveren is heel wat moeilijker. Een kleuter is zelfs nog niet in staat tot het kunnen conserveren van
hoeveelheid.
Volgende proef van Piaget toont dit ook aan: er staat een rij vazen op tafel en er wordt gevraagd aan een kleuter om
in elke vaas een bloem te steken. Het kind zegt hierbij dat er evenveel bloemen als vazen zijn. Maar wanneer Piaget
de bloemen uit de vazen neemt en ze samen bundelt, zegt het kind dat er meer vazen zijn dan bloemen. De rij vazen
is immers langer, waardoor het kind zich visueel laat misleiden.
Piaget ontdekte hierbij dat ook het tellen (bij de oudste kleuters) geen hulp biedt. Hij vroeg een vijfjarige om een rij
van zes glazen en rij van zes flessen te tellen. De vijfjarige kon zeggen dat er 6 glazen en 6 flessen waren, maar toch
hield het kind vol dat er meer flessen waren dan glazen: de rij van de flessen was immers langer dan die van de
glasen.
3
, Er kunnen 2 oorzaken toegewezen worden aan het feit dat kleuters moeilijk tot conserveren komen, nl.
- de kleuters kunnen in gedachten niet de omgekeerd handeling maken (bv. in gedachten de bloemen terug in de
vazen stoppen zodat ze inzien dat het er evenveel zijn gebleven)
- de kleuters laten zich (mis)leiden door het meest opvallende kenmerk (wat de kleuters zien is voor hen van
doorslaggevende aard, nl. de plaats die de vazen inneemt is veel groter dan de plaats van de samengebundelde
bloemen)
1.3.4) De concreet-operationele fase
3. concreet-operationele fase (7-11 jaar): deze fase komt overeen met de lagere
schoolleeftijd. Het denken is operationeel maar wordt nog ondersteund door
concrete ervaringen.
Kinderen in deze fase beheersen het getalbegrip, dit wil zeggen dat ze zowel
inzicht hebben in het conservatieprincipe als in de 1-1 relatie.
1.3.5) De formeel-operationele fase
4. formeel-operationele fase (vanaf 11 jaar): binnen deze fase is het denken operationeel en dit op een abstract
niveau.
De vertaling van deze 4 fasen naar getalbegrip toe vind je hiernaast terug.
Binnen deze fase hebben de kinderen op een abstracte manier inzicht in het getalbegrip, de onbekende x is hiervan
een voorbeeld (bv. 2x=4 > wat is x?).
1.4) Het ontwikkelingsproces van het leren tellen
6 fasen:
Subitizing ➔ herkennen van kleine hoeveelheden
➔ weet niet hoeveel het samen is
Akoestisch tellen ➔ opzeggen van de telrij (bv: liedje, versje,...)
Asynchroon tellen ➔ 1,2,3,4,8
Synchroon tellen ➔ 1,2,3,4,5
➔ dingen tellen
Oog krijgen voor verschillende ➔ uiteenlopende betekenissen van getallen leren
betekenissen van getallen ➔ hoeveelheid, volgorde, maat, huisnummer,...
Resultatief tellen ➔ antwoorden op de vraag ‘HOEVEEL?’
Verkort tellen ➔ 3+3 = 6
➔ niet alles apart tellen
4
