L8a - Probability
We gaan het nu hebben over kansen en kansberekening.
Kansberekening heeft veel met statistiek te maken.
Een kans heeft te maken met beslissingen die je gaat nemen.
We hebben het dus niet over het nemen van de optimale beslissing, maar over kansen; je
weet niet zeker of de beslissing die je neemt goed is, maar toch is er de kans dat het de
juiste beslissing is.
Stochastische variabelen:
De meeste variabelen in de wiskunde worden gegeven of zijn te vinden.
Andere variabelen hebben geen vaste waarde, maar nemen keer op keer een andere
waarde aan.
Het rollen van een dobbelsteen noemen we een event.
Een event heeft een uitkomst.
Een uitkomst hoeft niet altijd een getal te zijn, het kan bijvoorbeeld ook kop/munt of een
kleur etc. opleveren.
We spreken ook wel over een stochastisch experiment.
Een stochast is hetzelfde als een toeval gebeurtenis.
Beide kom je tegen in de literatuur; random variable, en stochastic variable.
We gebruiken hoofdletters om ze te noteren:
Bijvoorbeeld 𝑋 of 𝑌.
→ Een toevalsvariabele die elke keer een andere waarde kan aannemen.
De 𝑃 staat voor probability (waarschijnlijkheid / kans dat iets gebeurt).
𝑃(𝑋 = 2) is dus de kans dat 𝑋 de waarde 2 aanneemt.
Dus de kans dat de waarde van de toevalsvariabele 𝑋 gelijk is aan 2 is in dit geval
ongeveer 16% (nl. 0.1636)
,Nu hebben we de kans op een specifieke gebeurtenis beschreven, en nu gaan we di
allemaal bij elkaar rapen:
Een probability distribution (kansverdeling) specificeert de kans van elk specifiek
resultaat:
Die P(x) noemen we dus een kansverdeling, dat gehele recept samen.
Alle kansen zijn op zijn minst 0, kansen kunnen nooit negatief zijn.
Alle kansen opgeteld bij elkaar moet 1 zijn.
Dit alles is een empirische kans, we kijken naar een empirisch onderzoek waarbij 3000
keer gegooid is.
Vaak modelleren we een proces uit de echte wereld met een wiskundig ideaal proces.
Bijvoorbeeld:
Dit is een voorbeeld van een probability distribution function (kansverdelingsfunctie), wat
we ook wel afkorten met PDF of pdf.
Deze specifieke pdf staat bekend als de uniform discrete distribution (uniforme discrete
distributie).
We spreken dus van een uniforme verdeling omdat alles dezelfde kans waarde heeft van
⅙de.
En het is een discrete verdeling omdat we de waarden 1, 2, 3, 4, 5 en 6 hebben. Niets
ertussenin.
, Als we een toevalsvariabele 𝑋 hebben, en die is verdeeld volgens die specifieke
kansverdelingsfunctie (pdf) 𝑃, dan kunnen we dat schrijven als:
𝑋 ∼ 𝑃
Dit zeg je zo:
De toevalsvariabele of de stochast 𝑋 is verdeeld als de kansverdelingsfunctie (pdf) 𝑃.
𝑃 is de generieke manier om een PDF aan te duiden.
De kansverdeling kan parameters hebben die de details specificeren:
𝑈(1, 6) betekent dat het Uniform is tussen 1 tot en met 6.
Dus nu kunnen we schrijven dat de toevalsvariabele 𝑋 verdeeld is volgens/als een
uniforme discrete verdeling tussen 1 en 6 (𝑈(1, 6)).
We hebben iets gezegd over wat de kans is dat de uitkomst van een dobbelsteen 3 is.
Maar soms willen we weten wat de kans is dat die toevalsvariabele 3 is of minder.
→ Dus in dit geval 3 of 2 of 1.
Dit is de cumulative distribution function (cumulatieve verdelingsfunctie) die we afkorten
met cdf of CDF.
We gaan kijken naar de kans op de uitkomst 𝑖, en we kijken naar alle waarden van 𝑖 tot een
bepaalde waarde 𝑥 kijken.
Deze waarden tel je bij elkaar op, zo vind je de cumulatieve verdeling hiervan.
De hoofdletter 𝐹 geeft aan: de cumulatieve verdelingsfunctie.
En die 𝑃 geeft de kansverdeling.
We gaan het nu hebben over kansen en kansberekening.
Kansberekening heeft veel met statistiek te maken.
Een kans heeft te maken met beslissingen die je gaat nemen.
We hebben het dus niet over het nemen van de optimale beslissing, maar over kansen; je
weet niet zeker of de beslissing die je neemt goed is, maar toch is er de kans dat het de
juiste beslissing is.
Stochastische variabelen:
De meeste variabelen in de wiskunde worden gegeven of zijn te vinden.
Andere variabelen hebben geen vaste waarde, maar nemen keer op keer een andere
waarde aan.
Het rollen van een dobbelsteen noemen we een event.
Een event heeft een uitkomst.
Een uitkomst hoeft niet altijd een getal te zijn, het kan bijvoorbeeld ook kop/munt of een
kleur etc. opleveren.
We spreken ook wel over een stochastisch experiment.
Een stochast is hetzelfde als een toeval gebeurtenis.
Beide kom je tegen in de literatuur; random variable, en stochastic variable.
We gebruiken hoofdletters om ze te noteren:
Bijvoorbeeld 𝑋 of 𝑌.
→ Een toevalsvariabele die elke keer een andere waarde kan aannemen.
De 𝑃 staat voor probability (waarschijnlijkheid / kans dat iets gebeurt).
𝑃(𝑋 = 2) is dus de kans dat 𝑋 de waarde 2 aanneemt.
Dus de kans dat de waarde van de toevalsvariabele 𝑋 gelijk is aan 2 is in dit geval
ongeveer 16% (nl. 0.1636)
,Nu hebben we de kans op een specifieke gebeurtenis beschreven, en nu gaan we di
allemaal bij elkaar rapen:
Een probability distribution (kansverdeling) specificeert de kans van elk specifiek
resultaat:
Die P(x) noemen we dus een kansverdeling, dat gehele recept samen.
Alle kansen zijn op zijn minst 0, kansen kunnen nooit negatief zijn.
Alle kansen opgeteld bij elkaar moet 1 zijn.
Dit alles is een empirische kans, we kijken naar een empirisch onderzoek waarbij 3000
keer gegooid is.
Vaak modelleren we een proces uit de echte wereld met een wiskundig ideaal proces.
Bijvoorbeeld:
Dit is een voorbeeld van een probability distribution function (kansverdelingsfunctie), wat
we ook wel afkorten met PDF of pdf.
Deze specifieke pdf staat bekend als de uniform discrete distribution (uniforme discrete
distributie).
We spreken dus van een uniforme verdeling omdat alles dezelfde kans waarde heeft van
⅙de.
En het is een discrete verdeling omdat we de waarden 1, 2, 3, 4, 5 en 6 hebben. Niets
ertussenin.
, Als we een toevalsvariabele 𝑋 hebben, en die is verdeeld volgens die specifieke
kansverdelingsfunctie (pdf) 𝑃, dan kunnen we dat schrijven als:
𝑋 ∼ 𝑃
Dit zeg je zo:
De toevalsvariabele of de stochast 𝑋 is verdeeld als de kansverdelingsfunctie (pdf) 𝑃.
𝑃 is de generieke manier om een PDF aan te duiden.
De kansverdeling kan parameters hebben die de details specificeren:
𝑈(1, 6) betekent dat het Uniform is tussen 1 tot en met 6.
Dus nu kunnen we schrijven dat de toevalsvariabele 𝑋 verdeeld is volgens/als een
uniforme discrete verdeling tussen 1 en 6 (𝑈(1, 6)).
We hebben iets gezegd over wat de kans is dat de uitkomst van een dobbelsteen 3 is.
Maar soms willen we weten wat de kans is dat die toevalsvariabele 3 is of minder.
→ Dus in dit geval 3 of 2 of 1.
Dit is de cumulative distribution function (cumulatieve verdelingsfunctie) die we afkorten
met cdf of CDF.
We gaan kijken naar de kans op de uitkomst 𝑖, en we kijken naar alle waarden van 𝑖 tot een
bepaalde waarde 𝑥 kijken.
Deze waarden tel je bij elkaar op, zo vind je de cumulatieve verdeling hiervan.
De hoofdletter 𝐹 geeft aan: de cumulatieve verdelingsfunctie.
En die 𝑃 geeft de kansverdeling.
