Nombre Complexes
Le deuxième chapitre de ce cours s’intéresse aux nombres complexes et à quelques-unes de leurs applications
en géométrie, en théorie des équations et en trigonométrie. Il n’est pas directement lié au chapitre précédent (à
part pour quelques applications) et il pourra donc être étudié de façon indépendante. Nous utiliserons cependant
ce chapitre et le précédent dans le troisième et dernier chapitre de ce cours. Les nombres complexes sont apparus
au XVI e siècle par nécessité pour trouver les zéros (réels) d’équations du type : x3 = 15 x + 4. Ils n’ont ensuite été
étudié plus en profondeur qu’au XIX e siècle pour leurs applications en géométrie et ils ne cessent d’être utilisés
dans de nombreux domaines des mathématiques depuis.
Nous présentons tout d’abord les propriétés de base des nombres complexes et nous observons que l’exponen-
tielle complexe permet de créer un lien fort entre nombres complexes et fonctions trigonométriques. On revient et
on insiste sur ce lien à la fin de ce chapitre avec la linéarisation des puissances de fonctions trigonométriques et
les formules d’angle multiple qui permettent de calculer le cosinus ou le sinus du multiple d’un angle en fonction
du cosinus ou du sinus de l’angle.
Le reste du chapitre présente des applications des nombres complexes en géométrie et, ce qui est le cœur de
ce chapitre, en théorie des équations. Les équations polynomiales du second degré à coefficients réels ont déjà
été étudiées au lycée. Les nombres complexes nous permettent de résoudre toutes les équations polynomiales du
second degré (à coefficients complexes) de façon uniforme. Nous analysons aussi quelques équations polynomiales
de degré supérieur à 2 avec l’aide des racines n-ièmes.
Nous vous encourageons à compléter la lecture des différents cours de ce chapitre avec les références suivantes
disponibles à la Bibliothèque Universitaire : [LTT16, AB13, AAA07, ML13, RW13].
1
, 2
Cours Magistral n°10
Pré-requis : Objectifs :
– calcul algébrique, valeur absolue dans R – savoir calculer le module d’un nombre complexe
– écriture algébrique d’un nombre complexe – interpréter géométriquement un nombre complexe
– trigonométrie – effectuer les calculs algébriques avec des nombres
– application, bijection complexes
1. Forme algébrique, module, interprétation géométrique
Nous introduisons dans ce cours les nombres complexes ainsi que leurs premières propriétés. Ces nombres forment
une extension des nombres réels et ils vont en particulier nous permettre de résoudre toutes les équations du
second degré (indépendamment de la valeur du discriminant) dans le cours magistral n°13.
1.1. Histoire
Voir sur Wikipedia (par exemple) :
– les principaux héros : Niccolo Fontana dit Tartaglia, Jérôme Cardan, Ludovico Ferrari, Raphael Bombelli
– le lieu : Italie
– contexte historique : découverte de l’Amérique 1492, XVI-ème siècle, contemporains de Rabelais, Montaigne,
Shakespeare, Léonard de Vinci, Michel-Ange, assassinat Henri IV 1610.
– un fait : solution d’une équation du troisième degré à coefficients réels, formules de Cardan.
1.2. Définition d’un nombre complexe
Les nombres complexes sont les nombres de la forme z = a + i b, où a, b ∈ R, où i ∉ R vérifie i2 = −1. Le nombre i
est appelé unité imaginaire. Le réel a est appelé partie réelle de z, noté a = R e( z), le réel b est appelé partie
imaginaire de z, noté b = I m( z).
Remarque
Attention, la partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel !
On convient que dans ce cours les lettres a, b, a0 , b0 désignent toujours des nombres réels quelconques.
Deux nombres complexes z = a + ib et z = a0 + ib0 sont égaux si et seulement s’ils ont mêmes parties réelles et
mêmes parties imaginaires :
( (
0 R e( z) = R e( z0 ) a = a0
z=z ⇔ ⇔
I m( z ) = I m( z 0 ) b = b0 .
On note C l’ensemble des nombres complexes. (
R2 → C
La remarque précédente signifie que l’application : est une bijection de R2 dans C.
(a, b) 7 → z = a + ib
Exercice 1
Déterminer la bijection réciproque de l’application précédente.
1.3. Opérations
Les opérations d’addition (notée z + z0 ) et de multiplication (notée zz0 ou bien z × z0 , ou encore z · z0 ) sont définies
de manière naturelle, compte tenu de la relation i2 = −1 .
Ceci veut dire que : (a + i b) + (a0 + i b0 ) = (a + a0 ) + i( b + b0 ) et que (a + i b)(a0 + i b0 ) = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + ba0 ).
, 3
Exercice 2
Déterminer les parties réelles et imaginaires des complexes i(1 + i), (1 + i)2 , i z où z = a + i b.
On vérifie immédiatement que ces opérations (on dit aussi des lois de composition) ont, comme pour les nombres
réels, les propriétés suivantes :
1. Elles sont associatives : pour tout triplet de complexes ( z, z0 , z00 ), on a ( z + z0 ) + z00 = z + ( z0 + z00 ) et ( zz0 ) z00 =
z( z0 z00 ).
2. Elles sont commutatives : pour tout couple de complexes ( z, z0 ), on a z + z0 = z0 + z et zz0 = z0 z.
3. La multiplication est distributive par rapport à l’addition : pour tout triplet de complexes ( z, z0 , z00 ), on a
z( z0 + z00 ) = zz0 + zz00 .
4. Le nombre complexe 0 := 0 + i0 est élément neutre pour l’addition : pour tout z ∈ C, on a z + 0 = z. De plus si
z = a + i b est un nombre complexe, alors le nombre complexe − z := −a + i(− b) = −a − i b est son opposé, c’est
à dire z + (− z) = 0.
5. Le nombre complexe 1 := 1 + i0 est l’élément neutre pour la multiplication, i.e. ∀ z ∈ C, 1.z = z.1 = z.
6. Tout élément z = a + i b ∈ C, z 6= 0 a un “élément symétrique” pour la multiplication (c’est-à-dire qu’il existe
1
z0 ∈ C tel que zz0 = z0 z = 1), que l’on appelle inverse de z et qui est noté z−1 ou bien .
z
Démonstration
Remarque
Lorsqu’un ensemble E est muni d’une loi de composition interne ~ qui est associative, qui possède un élément
neutre et dont chaque élément de l’ensemble possède un élément symétrique, on dit que (E, ~) est un groupe.
Ici, les ensembles (C, +) et (C∗ , ×) sont des groupes. Ils sont de plus commutatifs.
(
R→C
Il existe alors une injection naturelle de R dans C par φ : qui est compatible avec la multiplication
a 7→ a + i0
et l’addition définies sur C. On convient de noter a + i0 = a et d’identifier φ(R) à R. On considère donc désormais
R comme un sous-ensemble des nombres complexes : R ⊂ C. Soit z ∈ C, z est un réel si et seulement si sa partie
imaginaire est nulle. L’addition et la multiplication qui existent sur R se prolongent à C comme défini plus haut.
La valeur absolue sur R se prolonge également à C (cf. paragraphe 1.6). Par contre la relation É ne se prolonge
pas sur C.
1.4. Conjugaison
Soient z = a + i b un nombre complexe, le conjugué de z est le complexe z = a − i b.
Démonstration
Proposition 1. Propriétés de la conjugaison
Soit z = a + i b et z0 des nombres complexes. Alors :
1 1
µ ¶
• z = z, • si z est non nul, = ,
z z
• z + z0 = z + z0 , z+z z−z
• a = R e( z) = et b = I m( z) = ,
• zz0 = zz0 , 2 2i
• z ∈ R ⇔ z = z.
Exercice 3
1 + i 1 + i 11
µ ¶
Déterminer les parties réelles et imaginaires des complexes , .
1−i 1−i
Le deuxième chapitre de ce cours s’intéresse aux nombres complexes et à quelques-unes de leurs applications
en géométrie, en théorie des équations et en trigonométrie. Il n’est pas directement lié au chapitre précédent (à
part pour quelques applications) et il pourra donc être étudié de façon indépendante. Nous utiliserons cependant
ce chapitre et le précédent dans le troisième et dernier chapitre de ce cours. Les nombres complexes sont apparus
au XVI e siècle par nécessité pour trouver les zéros (réels) d’équations du type : x3 = 15 x + 4. Ils n’ont ensuite été
étudié plus en profondeur qu’au XIX e siècle pour leurs applications en géométrie et ils ne cessent d’être utilisés
dans de nombreux domaines des mathématiques depuis.
Nous présentons tout d’abord les propriétés de base des nombres complexes et nous observons que l’exponen-
tielle complexe permet de créer un lien fort entre nombres complexes et fonctions trigonométriques. On revient et
on insiste sur ce lien à la fin de ce chapitre avec la linéarisation des puissances de fonctions trigonométriques et
les formules d’angle multiple qui permettent de calculer le cosinus ou le sinus du multiple d’un angle en fonction
du cosinus ou du sinus de l’angle.
Le reste du chapitre présente des applications des nombres complexes en géométrie et, ce qui est le cœur de
ce chapitre, en théorie des équations. Les équations polynomiales du second degré à coefficients réels ont déjà
été étudiées au lycée. Les nombres complexes nous permettent de résoudre toutes les équations polynomiales du
second degré (à coefficients complexes) de façon uniforme. Nous analysons aussi quelques équations polynomiales
de degré supérieur à 2 avec l’aide des racines n-ièmes.
Nous vous encourageons à compléter la lecture des différents cours de ce chapitre avec les références suivantes
disponibles à la Bibliothèque Universitaire : [LTT16, AB13, AAA07, ML13, RW13].
1
, 2
Cours Magistral n°10
Pré-requis : Objectifs :
– calcul algébrique, valeur absolue dans R – savoir calculer le module d’un nombre complexe
– écriture algébrique d’un nombre complexe – interpréter géométriquement un nombre complexe
– trigonométrie – effectuer les calculs algébriques avec des nombres
– application, bijection complexes
1. Forme algébrique, module, interprétation géométrique
Nous introduisons dans ce cours les nombres complexes ainsi que leurs premières propriétés. Ces nombres forment
une extension des nombres réels et ils vont en particulier nous permettre de résoudre toutes les équations du
second degré (indépendamment de la valeur du discriminant) dans le cours magistral n°13.
1.1. Histoire
Voir sur Wikipedia (par exemple) :
– les principaux héros : Niccolo Fontana dit Tartaglia, Jérôme Cardan, Ludovico Ferrari, Raphael Bombelli
– le lieu : Italie
– contexte historique : découverte de l’Amérique 1492, XVI-ème siècle, contemporains de Rabelais, Montaigne,
Shakespeare, Léonard de Vinci, Michel-Ange, assassinat Henri IV 1610.
– un fait : solution d’une équation du troisième degré à coefficients réels, formules de Cardan.
1.2. Définition d’un nombre complexe
Les nombres complexes sont les nombres de la forme z = a + i b, où a, b ∈ R, où i ∉ R vérifie i2 = −1. Le nombre i
est appelé unité imaginaire. Le réel a est appelé partie réelle de z, noté a = R e( z), le réel b est appelé partie
imaginaire de z, noté b = I m( z).
Remarque
Attention, la partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel !
On convient que dans ce cours les lettres a, b, a0 , b0 désignent toujours des nombres réels quelconques.
Deux nombres complexes z = a + ib et z = a0 + ib0 sont égaux si et seulement s’ils ont mêmes parties réelles et
mêmes parties imaginaires :
( (
0 R e( z) = R e( z0 ) a = a0
z=z ⇔ ⇔
I m( z ) = I m( z 0 ) b = b0 .
On note C l’ensemble des nombres complexes. (
R2 → C
La remarque précédente signifie que l’application : est une bijection de R2 dans C.
(a, b) 7 → z = a + ib
Exercice 1
Déterminer la bijection réciproque de l’application précédente.
1.3. Opérations
Les opérations d’addition (notée z + z0 ) et de multiplication (notée zz0 ou bien z × z0 , ou encore z · z0 ) sont définies
de manière naturelle, compte tenu de la relation i2 = −1 .
Ceci veut dire que : (a + i b) + (a0 + i b0 ) = (a + a0 ) + i( b + b0 ) et que (a + i b)(a0 + i b0 ) = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + ba0 ).
, 3
Exercice 2
Déterminer les parties réelles et imaginaires des complexes i(1 + i), (1 + i)2 , i z où z = a + i b.
On vérifie immédiatement que ces opérations (on dit aussi des lois de composition) ont, comme pour les nombres
réels, les propriétés suivantes :
1. Elles sont associatives : pour tout triplet de complexes ( z, z0 , z00 ), on a ( z + z0 ) + z00 = z + ( z0 + z00 ) et ( zz0 ) z00 =
z( z0 z00 ).
2. Elles sont commutatives : pour tout couple de complexes ( z, z0 ), on a z + z0 = z0 + z et zz0 = z0 z.
3. La multiplication est distributive par rapport à l’addition : pour tout triplet de complexes ( z, z0 , z00 ), on a
z( z0 + z00 ) = zz0 + zz00 .
4. Le nombre complexe 0 := 0 + i0 est élément neutre pour l’addition : pour tout z ∈ C, on a z + 0 = z. De plus si
z = a + i b est un nombre complexe, alors le nombre complexe − z := −a + i(− b) = −a − i b est son opposé, c’est
à dire z + (− z) = 0.
5. Le nombre complexe 1 := 1 + i0 est l’élément neutre pour la multiplication, i.e. ∀ z ∈ C, 1.z = z.1 = z.
6. Tout élément z = a + i b ∈ C, z 6= 0 a un “élément symétrique” pour la multiplication (c’est-à-dire qu’il existe
1
z0 ∈ C tel que zz0 = z0 z = 1), que l’on appelle inverse de z et qui est noté z−1 ou bien .
z
Démonstration
Remarque
Lorsqu’un ensemble E est muni d’une loi de composition interne ~ qui est associative, qui possède un élément
neutre et dont chaque élément de l’ensemble possède un élément symétrique, on dit que (E, ~) est un groupe.
Ici, les ensembles (C, +) et (C∗ , ×) sont des groupes. Ils sont de plus commutatifs.
(
R→C
Il existe alors une injection naturelle de R dans C par φ : qui est compatible avec la multiplication
a 7→ a + i0
et l’addition définies sur C. On convient de noter a + i0 = a et d’identifier φ(R) à R. On considère donc désormais
R comme un sous-ensemble des nombres complexes : R ⊂ C. Soit z ∈ C, z est un réel si et seulement si sa partie
imaginaire est nulle. L’addition et la multiplication qui existent sur R se prolongent à C comme défini plus haut.
La valeur absolue sur R se prolonge également à C (cf. paragraphe 1.6). Par contre la relation É ne se prolonge
pas sur C.
1.4. Conjugaison
Soient z = a + i b un nombre complexe, le conjugué de z est le complexe z = a − i b.
Démonstration
Proposition 1. Propriétés de la conjugaison
Soit z = a + i b et z0 des nombres complexes. Alors :
1 1
µ ¶
• z = z, • si z est non nul, = ,
z z
• z + z0 = z + z0 , z+z z−z
• a = R e( z) = et b = I m( z) = ,
• zz0 = zz0 , 2 2i
• z ∈ R ⇔ z = z.
Exercice 3
1 + i 1 + i 11
µ ¶
Déterminer les parties réelles et imaginaires des complexes , .
1−i 1−i
