1 Het Proces
1.1 Basisbegrippen
Proces = willekeurig toestel of combinatie van toestellen = een relatie tussen variabelen
- Vertonen 1 of meerdere ingangsgrootheden / ingangen = grootheden waardoor het proces be-
invloedt wordt (=onafhankelijke variabele)
o Storingen: variabelen die het proces beïnvloeden, maar waarop men niet kan ingrijpen
o ‘Echte ingangen’: de variabelen in een proces die we regelen
- Vertonen 1 of meerdere uitgangsgrootheden / uitgangen = de grootheden die als output uit het
systeem komen (= afhankelijke variabele)
1.2 Voorbeelden van processen
1.2.1 Vloeistofniveau in een tank
𝑑𝐻 𝐻 𝐻 𝑑𝐻
𝐹𝑖𝑛 = 𝐹𝑂𝑈𝑇 + Ω 𝑑𝑡 en 𝐹𝑂𝑈𝑇 = 𝑅 dus 𝐹𝑖𝑛 = 𝑅 + Ω 𝑑𝑡
𝐹𝑖𝑛 is een ingangssignaal voor dit systeem, terwijl H een uitgangssignaal vormt.
1.2.2 Opwarmen van een vloeistof
Eens lezen; introductie van storing (warmteverliezen naar de omgeving)
1.2.3 Verdere voorbeelden
Stroom doorheen 𝑈 =𝐼∙𝑅 U = spanning, I = stroom,
een weerstand R = weerstand
Opladen van een 𝑑𝑄 𝑑𝑈 Q = elektrische lading [C],
𝑄 = 𝐶 ∙ 𝑈 𝑒𝑛 𝐼 = →𝐼=𝐶∙
condensator 𝑑𝑡 𝑑𝑡 C = capaciteit vd condensator [F]
Stroming door wrij- 𝑐𝑢𝑖𝑡 (𝑡 + 𝑡𝑣𝑒𝑟 ) = 𝑐𝑖𝑛 (𝑡) 𝑜𝑓 Tijdverschil tussen influent en ef-
vingsloze leiding 𝑐𝑖𝑛 (𝑡 − 𝑡𝑣𝑒𝑟 ) = 𝑐𝑢𝑖𝑡 (𝑡) fluent = dode tijd
1.2.4 Analogie vd vergelijkingen
𝑑𝑦(𝑡)
𝜏∙ + 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
Tijdsconstante, uitgangssignaal, versterkingsfactor, ingangssignalen (z(t) = storing)
- Tijdsconstante: snelheid waarmee het systeem reageert op een verandering
- Versterkingsfactor: de verhouding van de verandering in uitgangssignaal tgv een verandering in
∆ 𝑂𝑈𝑇
ingangssignaal onder stationaire omstandigheden: 𝐾 = ∆ 𝐼𝑁
𝜏
- Capaciteit: mate waarin een systeem kan accumuleren: 𝐶 = 𝑅
,Meer complexe systemen
Hoe complexer het proces, hoe complexer de algemene vergelijking
- Lineariteit: een proces is lineair wanneer de coëfficiënten 𝜏 en K constanten zijn. Enkel lineaire
processen kunnen wiskundig eenvoudig beschreven worden, maar mbv Taylorreeksontwikkeling
kan eender welk proces gelineariseerd worden over een voldoende klein interval
- De vorm van de differentiaalvergelijking:
Integrerend y(t) term ont- 𝑑𝑦(𝑡) Opladen van een
𝜏∙ = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡)
systeem breekt 𝑑𝑡 condensator
Proportioneel dy(t)/dt term 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡) Stroom door een
systeem ontbreekt weerstand
Differentieel Het uitgangssig- 𝑑𝑢(𝑡) nvt
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑡𝑒 ∙
systeem naal is een diffe- 𝑑𝑡
rentiaal van het
ingangssignaal
naar de tijd
- Dode tijd Td of 𝑇𝑙 : sommige systemen bezitten een dode tijd = Een vertraging tussen het uitzen-
den van een signaal en de reactie van het proces op dat signaal (bv. Stroming door een leiding)
- Orde:
Proces met zuivere Td 𝑙 Er is gewoon een constant tijdsverschil Td
𝑇𝑑 =
𝑣 tussen toevoeging en meting
Vb. Menginstallatie waar 2
stromen gemengd worden
Nulde-orde proces 𝑦(𝑡) Het ingangssignaal wordt versterkt met
= 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) een factor K
Eerste-orde proces 𝑈𝑂𝑈𝑇 Indien 𝑈𝐼𝑁 stapsgewijs verandert, zal
= 𝑈𝐼𝑁 ∙ (1 𝑈𝑂𝑈𝑇 exponentieel stijgen. 𝜏 = 𝑅. 𝐶 is een
𝑡
Vb. RC-kring − 𝑒 −𝜏 ) tijdsconstante, die een maat is op de ver-
(1e orde DV) andering van 𝑈𝐼𝑁
= tijd nodig om 63,2% van 𝑈𝑂𝑈𝑇 te berei-
ken
Tweede-orde proces 2e orde DV Bij verandering van u(t) zal y(t) rond een
evenwichtspunt oscilleren en gedempt de
uiteindelijke waarde bekomen.
• Demping groot (ζ >1): oscillatie treedt
niet op
• ζ = 1: oscillatie snel opgevangen zon-
der overshoot
• Demping klein (ζ <1): gedempte oscil-
latie met veel overshoot
,1.2.5 Laplacetransformaties en blokschema’s
𝑑𝑦(𝑡)
𝜏∙ + 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
Omvormen (oplossen) tot een vergelijking die geen differentialen of integralen meer bevat. Een eerste
orde differentiaalvergelijking in het t-domein wordt omgevormd tot een nulde orde in het s-domein.
Aangezien een Laplacetransformatie niks meer is dan het oplossen van een DV, moeten er begin- en
randvoorwaarden opgelegd worden. Onze algemene vergelijking voor een proces wordt:
𝜏. 𝑠. 𝑦(𝑠) + 𝑦(𝑠) = 𝐾𝑢 . 𝑢(𝑠) + 𝐾𝑧 . 𝑧(𝑠)
Of verder omgevormd:
𝐾𝑢 𝐾𝑧
𝑦(𝑠) = . 𝑢(𝑠) + . 𝑧(𝑠)
1 + 𝑠. 𝜏 1 + 𝑠. 𝜏
𝐾𝑢 𝐾𝑧
1+𝑠.𝜏
𝑒𝑛 1+𝑠.𝜏 zijn de overdrachts- of transferfunctie van het proces: het uitgangssignaal y(s) wordt
voorgesteld als de ingangssignalen maal een factor
s-domein t-domein
Proportioneel systeem 𝑦(𝑠) = 𝐾𝑢 . 𝑢(𝑠) 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡)
Integrerend systeem 1 𝑑𝑦(𝑡)
𝑦(𝑠) = . 𝑢(𝑠) 𝜏∙ = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡)
𝜏𝑖 𝑑𝑡
Differentieel systeem 𝑦(𝑠) = 𝜏𝑑 . 𝑠. 𝑢(𝑠) 𝑑𝑢(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝑐𝑡𝑒.
𝑑𝑡
, 2 Het regelen van een proces
2.1 Inleiding
Doel van een regelaar = (dynamische) parameters stabiel houden of op een gecontroleerde manier laten
variëren rond een ingestelde waarde (setpoint)
• Setpoint snel bereikt
• Afwijkingen van het setpoint snel en nauwkeurig opvangen
• Signaal stabiel houden (geen fluctuaties)
2.2 De regelkring
2.2.1 Met terugkoppeling
Terugkoppeling = feedback = werkelijke gemeten waarde vergelijken met ingestelde waarde
Zolang e = Esp – Em bestaat, wordt er geregeld. Deze vgl gebeurt in de comparator
De regelaar genereert een uitgangssignaal x dat het corrigerend orgaan aanstuurt om bij te sturen en e
kleiner te maken (tot 0).
Een omvormer is meestal nodig om het gemeten signaal om te zetten naar een bruikbaar signaal voor
de regelaar (U of I)
Sturen (open loop control) ≠ regelen (closed loop control): bij sturen wordt niet gecontroleerd wat het
effect is, bij regelen wordt er voortdurend vergeleken en aangepast
2.2.2 Andere vormen van regelkringen
Regelkring met voorwaartse koppeling (feedforward). De meting van de dynamische variabele gebeurt
nu bij de ingang van het systeem (ipv bij de uitgang zoals bij feedback koppeling). Daarna volgt een kop-
peling van deze meting naar een corrigerend orgaan, waarna de variabele naar zijn setpoint zal variëren.
De voorwaartse koppeling probeert als het ware te voorspellen (op basis van een meting aan de ingang
van het systeem), wat de toestand aan de uitgang van dat systeem zal zijn.
Combinatie van feedforward en feedback koppelingen bestaat ook. De werking van de feedforward kop-
peling wordt geverifieerd aan de uitgang van het systeem. Als deze niet overeenkomt met het setpoint,
dan zal de feedback een correctie uitvoeren.
Cascaderegelaar: de uitgang van een eerste regelaar is hier de ingang van een tweede regelaar
1.1 Basisbegrippen
Proces = willekeurig toestel of combinatie van toestellen = een relatie tussen variabelen
- Vertonen 1 of meerdere ingangsgrootheden / ingangen = grootheden waardoor het proces be-
invloedt wordt (=onafhankelijke variabele)
o Storingen: variabelen die het proces beïnvloeden, maar waarop men niet kan ingrijpen
o ‘Echte ingangen’: de variabelen in een proces die we regelen
- Vertonen 1 of meerdere uitgangsgrootheden / uitgangen = de grootheden die als output uit het
systeem komen (= afhankelijke variabele)
1.2 Voorbeelden van processen
1.2.1 Vloeistofniveau in een tank
𝑑𝐻 𝐻 𝐻 𝑑𝐻
𝐹𝑖𝑛 = 𝐹𝑂𝑈𝑇 + Ω 𝑑𝑡 en 𝐹𝑂𝑈𝑇 = 𝑅 dus 𝐹𝑖𝑛 = 𝑅 + Ω 𝑑𝑡
𝐹𝑖𝑛 is een ingangssignaal voor dit systeem, terwijl H een uitgangssignaal vormt.
1.2.2 Opwarmen van een vloeistof
Eens lezen; introductie van storing (warmteverliezen naar de omgeving)
1.2.3 Verdere voorbeelden
Stroom doorheen 𝑈 =𝐼∙𝑅 U = spanning, I = stroom,
een weerstand R = weerstand
Opladen van een 𝑑𝑄 𝑑𝑈 Q = elektrische lading [C],
𝑄 = 𝐶 ∙ 𝑈 𝑒𝑛 𝐼 = →𝐼=𝐶∙
condensator 𝑑𝑡 𝑑𝑡 C = capaciteit vd condensator [F]
Stroming door wrij- 𝑐𝑢𝑖𝑡 (𝑡 + 𝑡𝑣𝑒𝑟 ) = 𝑐𝑖𝑛 (𝑡) 𝑜𝑓 Tijdverschil tussen influent en ef-
vingsloze leiding 𝑐𝑖𝑛 (𝑡 − 𝑡𝑣𝑒𝑟 ) = 𝑐𝑢𝑖𝑡 (𝑡) fluent = dode tijd
1.2.4 Analogie vd vergelijkingen
𝑑𝑦(𝑡)
𝜏∙ + 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
Tijdsconstante, uitgangssignaal, versterkingsfactor, ingangssignalen (z(t) = storing)
- Tijdsconstante: snelheid waarmee het systeem reageert op een verandering
- Versterkingsfactor: de verhouding van de verandering in uitgangssignaal tgv een verandering in
∆ 𝑂𝑈𝑇
ingangssignaal onder stationaire omstandigheden: 𝐾 = ∆ 𝐼𝑁
𝜏
- Capaciteit: mate waarin een systeem kan accumuleren: 𝐶 = 𝑅
,Meer complexe systemen
Hoe complexer het proces, hoe complexer de algemene vergelijking
- Lineariteit: een proces is lineair wanneer de coëfficiënten 𝜏 en K constanten zijn. Enkel lineaire
processen kunnen wiskundig eenvoudig beschreven worden, maar mbv Taylorreeksontwikkeling
kan eender welk proces gelineariseerd worden over een voldoende klein interval
- De vorm van de differentiaalvergelijking:
Integrerend y(t) term ont- 𝑑𝑦(𝑡) Opladen van een
𝜏∙ = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡)
systeem breekt 𝑑𝑡 condensator
Proportioneel dy(t)/dt term 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡) Stroom door een
systeem ontbreekt weerstand
Differentieel Het uitgangssig- 𝑑𝑢(𝑡) nvt
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑡𝑒 ∙
systeem naal is een diffe- 𝑑𝑡
rentiaal van het
ingangssignaal
naar de tijd
- Dode tijd Td of 𝑇𝑙 : sommige systemen bezitten een dode tijd = Een vertraging tussen het uitzen-
den van een signaal en de reactie van het proces op dat signaal (bv. Stroming door een leiding)
- Orde:
Proces met zuivere Td 𝑙 Er is gewoon een constant tijdsverschil Td
𝑇𝑑 =
𝑣 tussen toevoeging en meting
Vb. Menginstallatie waar 2
stromen gemengd worden
Nulde-orde proces 𝑦(𝑡) Het ingangssignaal wordt versterkt met
= 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) een factor K
Eerste-orde proces 𝑈𝑂𝑈𝑇 Indien 𝑈𝐼𝑁 stapsgewijs verandert, zal
= 𝑈𝐼𝑁 ∙ (1 𝑈𝑂𝑈𝑇 exponentieel stijgen. 𝜏 = 𝑅. 𝐶 is een
𝑡
Vb. RC-kring − 𝑒 −𝜏 ) tijdsconstante, die een maat is op de ver-
(1e orde DV) andering van 𝑈𝐼𝑁
= tijd nodig om 63,2% van 𝑈𝑂𝑈𝑇 te berei-
ken
Tweede-orde proces 2e orde DV Bij verandering van u(t) zal y(t) rond een
evenwichtspunt oscilleren en gedempt de
uiteindelijke waarde bekomen.
• Demping groot (ζ >1): oscillatie treedt
niet op
• ζ = 1: oscillatie snel opgevangen zon-
der overshoot
• Demping klein (ζ <1): gedempte oscil-
latie met veel overshoot
,1.2.5 Laplacetransformaties en blokschema’s
𝑑𝑦(𝑡)
𝜏∙ + 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
Omvormen (oplossen) tot een vergelijking die geen differentialen of integralen meer bevat. Een eerste
orde differentiaalvergelijking in het t-domein wordt omgevormd tot een nulde orde in het s-domein.
Aangezien een Laplacetransformatie niks meer is dan het oplossen van een DV, moeten er begin- en
randvoorwaarden opgelegd worden. Onze algemene vergelijking voor een proces wordt:
𝜏. 𝑠. 𝑦(𝑠) + 𝑦(𝑠) = 𝐾𝑢 . 𝑢(𝑠) + 𝐾𝑧 . 𝑧(𝑠)
Of verder omgevormd:
𝐾𝑢 𝐾𝑧
𝑦(𝑠) = . 𝑢(𝑠) + . 𝑧(𝑠)
1 + 𝑠. 𝜏 1 + 𝑠. 𝜏
𝐾𝑢 𝐾𝑧
1+𝑠.𝜏
𝑒𝑛 1+𝑠.𝜏 zijn de overdrachts- of transferfunctie van het proces: het uitgangssignaal y(s) wordt
voorgesteld als de ingangssignalen maal een factor
s-domein t-domein
Proportioneel systeem 𝑦(𝑠) = 𝐾𝑢 . 𝑢(𝑠) 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡)
Integrerend systeem 1 𝑑𝑦(𝑡)
𝑦(𝑠) = . 𝑢(𝑠) 𝜏∙ = 𝐾𝑢 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝐾𝑧 ∙ 𝑧(𝑡)
𝜏𝑖 𝑑𝑡
Differentieel systeem 𝑦(𝑠) = 𝜏𝑑 . 𝑠. 𝑢(𝑠) 𝑑𝑢(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝑐𝑡𝑒.
𝑑𝑡
, 2 Het regelen van een proces
2.1 Inleiding
Doel van een regelaar = (dynamische) parameters stabiel houden of op een gecontroleerde manier laten
variëren rond een ingestelde waarde (setpoint)
• Setpoint snel bereikt
• Afwijkingen van het setpoint snel en nauwkeurig opvangen
• Signaal stabiel houden (geen fluctuaties)
2.2 De regelkring
2.2.1 Met terugkoppeling
Terugkoppeling = feedback = werkelijke gemeten waarde vergelijken met ingestelde waarde
Zolang e = Esp – Em bestaat, wordt er geregeld. Deze vgl gebeurt in de comparator
De regelaar genereert een uitgangssignaal x dat het corrigerend orgaan aanstuurt om bij te sturen en e
kleiner te maken (tot 0).
Een omvormer is meestal nodig om het gemeten signaal om te zetten naar een bruikbaar signaal voor
de regelaar (U of I)
Sturen (open loop control) ≠ regelen (closed loop control): bij sturen wordt niet gecontroleerd wat het
effect is, bij regelen wordt er voortdurend vergeleken en aangepast
2.2.2 Andere vormen van regelkringen
Regelkring met voorwaartse koppeling (feedforward). De meting van de dynamische variabele gebeurt
nu bij de ingang van het systeem (ipv bij de uitgang zoals bij feedback koppeling). Daarna volgt een kop-
peling van deze meting naar een corrigerend orgaan, waarna de variabele naar zijn setpoint zal variëren.
De voorwaartse koppeling probeert als het ware te voorspellen (op basis van een meting aan de ingang
van het systeem), wat de toestand aan de uitgang van dat systeem zal zijn.
Combinatie van feedforward en feedback koppelingen bestaat ook. De werking van de feedforward kop-
peling wordt geverifieerd aan de uitgang van het systeem. Als deze niet overeenkomt met het setpoint,
dan zal de feedback een correctie uitvoeren.
Cascaderegelaar: de uitgang van een eerste regelaar is hier de ingang van een tweede regelaar
