Samenvatting Statistiek | Universiteit Hasselt | 2025/26

Statistiek
H4: inleiding tot kanstheorie
Kansen:
 hoe waarschijnlijk een gebeurtenis is
 maat voor de onzekerheid geassocieerd aan een gebeurtenis
 op een schaal van 0 tot 1
Experiment, uitkomsten, uitkomstenruimte:
 Experiment: proces dat uitkomsten genereerd bv. je gooit één keer met
een dobbelsteen
 Uitkomstenruimte: verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het
experiment (S) bv. bij een dobbelsteen zijn dat S = {1,2,3,4,5,6}
 Gebeurtenis: een verzameling van mogelijke uitkomsten v.h. experiment
bv. Ik gooi een even getal  A = {2,4,6}




Meerstaps experiment:
Bv. 2 muntstukken opgooien
S = {(H, H), (H, T ), (T, H), (T, T )}
Algemeen: k-staps met in stap j nj mogelijke uitkomsten,
dan is het aantal mogelijke uitkomsten n1 × n2 × · · · × nk
Combinatie:
keuze van n objecten uit een verzameling van N objecten waarbij de volgorde
van selecteren niet van belang is




Voorbeeld: Stel: In een klas zitten 6 leerlingen: Anna, Bas, Cem, Dana, Emma,
Finn. De docent wil een groepje van 3 leerlingen maken voor een opdracht. De
vraag is: Op hoeveel manieren kun je 3 leerlingen kiezen, waarbij de volgorde
niet belangrijk is?
We kiezen:
 N = 6 (leerlingen)
 n = 3 (per groepje)

,Permutaties:
aantal mogelijke uitkomsten als je n objecten kiest uit een verzameling van N
objecten waarbij de volgorde van selecteren van belang is




Voorbeeld: Stel: Er doen 5 hardlopers mee aan een race: A, B, C, D, E. Na de race
krijgen de beste 3 een podiumplek. De vraag is: Op hoeveel manieren kunnen
deze 3 prijzen verdeeld worden?
 N = 5 (deelnemers)
 n = 3 (prijzen)


 Bij dezelfde N en n is een permutatie altijd groter dan (of gelijk aan) een
combinatie.
Toekennen van kansen:
Stochastisch experiment met uitkomsten Ei, i = 1, ..., n
 Kans op elke uitkomst ligt tussen 0 en 1: 0 ≤ P (Ei) ≤ 1
 De som van de kansen van alle mogelijke uitkomsten is 1: P (E1) + P (E2) +
... + P (En) = 1
 Gebeurtenis is een verzameling uitkomsten: A ⊂ {E1, E2, ..., En}
 Kans op een gebeurtenis is som van de kansen op elke van de uitkomsten
van de gebeurtenis: P (A) = P (E1) + P (E2) + . . . P (En)
Voorbeeld:




Wat is de kans dat het project 10 maanden of minder duurt ?

=> De individuele kansen optellen: A = duur ≤ 10 maanden

Basiseigenschappen:
Complement van A (A¯) is de gebeurtenis bestaande uit alle uitkomsten die niet
in A zitten
P (A¯) = 1 − P (A)

,Unie van A en B (A ∪ B) is de gebeurtenis bestaande uit alle uitkomsten die
behoren tot A of B of beiden

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) (anders tel je de doorsnede dubbel)
Doorsnede van A en B (A ∩ B) is de gebeurtenis bestaande uit alle uitkomsten
die behoren tot A en B.
Voorbeeld:




Voorwaardelijke kans:
Kans op een gebeurtenis wordt beïnvloed door het feit of een andere gebeurtenis
is voorgevallen.
 Kans op gebeurtenis A als B al is
voorgevallen.
Voorbeeld:


P (M ) = 0.8, P (W ) = 0.2,
P (A) = P (M ∩ A) + P (W ∩
A) = 0.27, P (A¯) = 0.73

288
288 1200 0,24
P (A|M ) = = = =0,3
960 960 0,8
1200
36 0,03
P (A|W ) = = =0,15
240 0,2

, Onafhankelijke
gebeurtenissen:
Twee gebeurtenissen A en B
zijn onafhankelijk als P (A|B) = P (A) of P (B|A) = P (B)




Stelling van Bayes
Voor gebeurtenissen (waarvan we de posterior kans willen bepalen) die elkaar
onderling uitsluiten (=hun onderlinge doorsneden zijn leeg) en hun unie is de
volledige uitkomstenruimte.
Voor A1, . . . , An die onderling een lege doorsnede hebben en wiens unie de
volledige uitkomstenruimte is, geldt:




Voorbeeld: Productiebedrijf ontvangt onderdelen van 2 leveranciers
A1: gebeurtenis dat onderdeel van leverancier 1 komt
A2: gebeurtenis dat onderdeel van leverancier 2 komt
65% van de onderdelen komt van leverancier 1: P (A1) = 0.65
35% van de onderdelen komt van leverancier 2: P (A2) = 0.35
G: gebeurtenis dat onderdeel goed is
B: gebeurtenis dat onderdeel slecht is
P (G|A1) = 0.98, P (G|A2) = 0.95, P (B|A1) = 0.02,
P (B|A2) = 0.05