Wiskunde: samenvatting matrices
1. Definities en begrippen
Een matrix is een schema van getallen, gerangschikt in rijen en kolommen.
De elementen van de matrix zijn de reële getallen in die matrix. ➝ aijis het element op de i-de
rij en de j-de kolom.
↳ altijd eerst de rij, en dan de
kolom!
De dimensie van een matrix is het aantal rijen en het aantal kolommen van die matrix. ( ➝
notatie: dim = ‘rij’ x ‘kolom’)
ℝm x nis de verzameling van alle m x n-matrices.
ALGEMENE NOTATIE: 𝐀 ∈ ℝm x n
BIJZONDERE MATRICES:
Vierkante matrix ➝ matrix met evenveel rijen als kolommen. ( ➝ n x n-matrix noemen we ook
matrix van orde n)
Hoofddiagonaal ➝ gevormd door diagonaalelementen van vierkante matrix vb. a11, a22
Diagonaalmatrix ➝ vierkante matrix, waarvan elementen niet op hoofddiagonaal
0 zijn
Eenheidsmatrix ➝ diagonaalmatrix, waarvan diagonaalelementen 1 zijn
Noteren met In( ➝ n: aantal rijen en kolommen)
Symmetrische matrix ➝ vierkante matrix, waarbij elementen symmetrisch t.o.v.
hoofddiagonaal gelijk zijn
Kolommatrix ➝ matrix bestaande uit één kolom
Rijmatrix ➝ matrix bestaande uit één rij
Nulmatrix ➝ matrix waarvan alle elementen 0 zijn
Twee matrices zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde dimensies hebben en de overeenkomstige
elementen gelijk zijn.
➝ als A, B ∈ ℝm x n, dan geldt: A = B aij= bij, voor elke i en j
2. Bewerkingen met matrices
a. Optellen en aftrekken
Twee matrices kunnen opgeteld worden als ze dezelfde dimensie hebben. De sommatrix
bekomen we door overeenkomstige elementen op te tellen. Deze matrix zal dezelfde
dimensie hebben als de oorspronkelijke matrices.
➝ als A, B ∈ ℝm x n, dan is C = A + B ∈ ℝm x n met cij= aij+ bijvoor elke i en j.
⇒ optelling matrices is commutatief: A + B = B + A
⇒ optelling matrices is associatief: (A + B) + C = A + (B + C) ( ➝ haakjes eerst!)
⇒ nulmatrix is neutraal element voor optelling: A + 0 = A ( ➝ veranderd dus niet)
⇒ voor elke matrix A kunnen we tegengestelde matrix -A bepalen, door van elk element het
tegengestelde te nemen
➝ A + (-A) = 0 ( ➝ veranderen van teken)
Het verschil van twee matrices A en B definiëren we als de som van matrix A met de tegengestelde
van matrix B.
b. Vermenigvuldigen van matrix met getal
Het product van een reëel getal r met een matrix A is de matrix r · A, met dezelfde dimensie als die
van A. De elementen van
r · A bekomen we door de elementen van A te vermenigvuldigen met r. ⇒ scalaire vermenigvuldiging
van A met r
➝ als A ∈ ℝm x n, dan is B = r · A ∈ ℝm x n met bij= r · aijvoor elke i en j
⇒ scalaire vermenigvuldiging is distributief
T.o.v. optelling matrices: r · (A + B) = r · A + r · B
T.o.v. reele getallen: (r + s) · A = r · A + s · A
⇒ scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief: (r · s) · A = r · (s · A) ( ➝ r & s ∈ ℝ) ( ➝ A ∈ ℝm x n)
c. Vermenigvuldigen van matrices
1. Definities en begrippen
Een matrix is een schema van getallen, gerangschikt in rijen en kolommen.
De elementen van de matrix zijn de reële getallen in die matrix. ➝ aijis het element op de i-de
rij en de j-de kolom.
↳ altijd eerst de rij, en dan de
kolom!
De dimensie van een matrix is het aantal rijen en het aantal kolommen van die matrix. ( ➝
notatie: dim = ‘rij’ x ‘kolom’)
ℝm x nis de verzameling van alle m x n-matrices.
ALGEMENE NOTATIE: 𝐀 ∈ ℝm x n
BIJZONDERE MATRICES:
Vierkante matrix ➝ matrix met evenveel rijen als kolommen. ( ➝ n x n-matrix noemen we ook
matrix van orde n)
Hoofddiagonaal ➝ gevormd door diagonaalelementen van vierkante matrix vb. a11, a22
Diagonaalmatrix ➝ vierkante matrix, waarvan elementen niet op hoofddiagonaal
0 zijn
Eenheidsmatrix ➝ diagonaalmatrix, waarvan diagonaalelementen 1 zijn
Noteren met In( ➝ n: aantal rijen en kolommen)
Symmetrische matrix ➝ vierkante matrix, waarbij elementen symmetrisch t.o.v.
hoofddiagonaal gelijk zijn
Kolommatrix ➝ matrix bestaande uit één kolom
Rijmatrix ➝ matrix bestaande uit één rij
Nulmatrix ➝ matrix waarvan alle elementen 0 zijn
Twee matrices zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde dimensies hebben en de overeenkomstige
elementen gelijk zijn.
➝ als A, B ∈ ℝm x n, dan geldt: A = B aij= bij, voor elke i en j
2. Bewerkingen met matrices
a. Optellen en aftrekken
Twee matrices kunnen opgeteld worden als ze dezelfde dimensie hebben. De sommatrix
bekomen we door overeenkomstige elementen op te tellen. Deze matrix zal dezelfde
dimensie hebben als de oorspronkelijke matrices.
➝ als A, B ∈ ℝm x n, dan is C = A + B ∈ ℝm x n met cij= aij+ bijvoor elke i en j.
⇒ optelling matrices is commutatief: A + B = B + A
⇒ optelling matrices is associatief: (A + B) + C = A + (B + C) ( ➝ haakjes eerst!)
⇒ nulmatrix is neutraal element voor optelling: A + 0 = A ( ➝ veranderd dus niet)
⇒ voor elke matrix A kunnen we tegengestelde matrix -A bepalen, door van elk element het
tegengestelde te nemen
➝ A + (-A) = 0 ( ➝ veranderen van teken)
Het verschil van twee matrices A en B definiëren we als de som van matrix A met de tegengestelde
van matrix B.
b. Vermenigvuldigen van matrix met getal
Het product van een reëel getal r met een matrix A is de matrix r · A, met dezelfde dimensie als die
van A. De elementen van
r · A bekomen we door de elementen van A te vermenigvuldigen met r. ⇒ scalaire vermenigvuldiging
van A met r
➝ als A ∈ ℝm x n, dan is B = r · A ∈ ℝm x n met bij= r · aijvoor elke i en j
⇒ scalaire vermenigvuldiging is distributief
T.o.v. optelling matrices: r · (A + B) = r · A + r · B
T.o.v. reele getallen: (r + s) · A = r · A + s · A
⇒ scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief: (r · s) · A = r · (s · A) ( ➝ r & s ∈ ℝ) ( ➝ A ∈ ℝm x n)
c. Vermenigvuldigen van matrices
