Statistiek, deel 1 samenvatting
Deel 1: beschrijvende statistiek (P. 1/P. 103)
Deel 2: inductieve statistiek (P. 104/P. 205)
Inhoud
Verzamelingenleer..............................................................................................................................4
Deel I: beschrijvende statistiek...............................................................................................................7
Beschrijvende statistiek met één variabele............................................................................................9
Kwalitatieve variabele........................................................................................................................9
Kwantitatieve variabele....................................................................................................................11
Kwantielen........................................................................................................................................13
Samenvattende maten.....................................................................................................................14
Centrale tendensmaten................................................................................................................14
Spreidingsmaten...........................................................................................................................16
Transformaties van variabelen.....................................................................................................18
Beschrijvende statistiek met twee variabelen......................................................................................20
Frequentiefuncties............................................................................................................................20
Samenvattende maten.....................................................................................................................22
Centrale tendensmaten................................................................................................................22
Spreidingsmaten...........................................................................................................................22
Samenhangs- of associatiematen.................................................................................................23
Methode van conditioneel werken...................................................................................................31
Optimale lineaire voorspelling van een criteriumvariabele..........................................................31
Deel II: Inductieve statistiek.................................................................................................................34
Conceptueel kader............................................................................................................................34
Populatie en steekproef................................................................................................................34
Toevalsexperiment (TE) en steekproeftrekking............................................................................35
Uitkomsten en uitkomstenverzameling........................................................................................36
Toevalsvariabelen.........................................................................................................................36
Gebeurtenis..................................................................................................................................37
Kans en kansrekenen....................................................................................................................37
Populatiekarakteristieken van toevalsvariabelen.............................................................................41
Populatiekarakteristieken van 1 toevalsvariabele............................................................................41
Kansmassa-, dichtheids- en cumulatieve verdelingsfunctie..........................................................41
Samenvattende maten.................................................................................................................45
, Transformaties van toevalsvariabelen..........................................................................................47
Populatiekarakteristieken van 2 toevalsvariabelen..........................................................................48
Bivariate kansmassa-, dichtheids- en cumulatieve verdelingsfunctie...........................................48
Samenvattende maten.................................................................................................................51
Somvariabelen..............................................................................................................................53
Relatie tussen steekproef- en populatiekarakteristieken van toevalsvariabelen..............................54
Inleiding
2
,Objectieven van statistiek:
Proefopzetten ontwerpen voor het verzamelen van gegevens
Methoden ontwerpen om (aspecten van) gegevens te beschrijven =
beschrijvende statistiek
Methoden ontwerpen om vanuit gegevens algemenere informatie te
induceren = inductieve statistiek
Twee soorten onderzoeksplannen:
1. Experimenteel onderzoek: hierin manipuleert de onderzoeker één of
meerdere variabelen (de onafhankelijke variabelen) en gaat het effect
ervan na op één of meerdere andere variabelen (de afhankelijke
variabelen).
2. Correlationeel onderzoek: hierin gaat de onderzoeker het verband na
tussen variabelen die niet door hem gemanipuleerd werden, maar die ‘van
nature’ variëren.
Het verschil tussen beide is dus de manipulatie in de variabelen door de
onderzoeker.
Naast het verzamelen van gegevens aan de hand van onderzoeksplannen is het
ook van belang gegevens op een juiste manier te beschrijven:
Gegevensinvoer
Ordening op methodische wijze
Gegevens samenvatten
Grafische representaties zijn van groot belang
Tenslotte is het naast het verzamelen en het beschrijven van gegevens ook van
belang om de algemene informatie te induceren (af te leiden) gegevens
waarmee een onderzoeker werkt en waarover hij conclusies trekt zijn altijd
specifiek. Echter kan een onderzoeker in een aantal gevallen geïnteresseerd zijn
in algemenere conclusies. Er zijn dus twee vormen van redeneren:
1. Deduceren: algemeen specifiek
2. Induceren: specifiek algemeen
Deductieve afleidingen zijn doorgaans zeker. Bij inductie speelt
kans/waarschijnlijkheid een belangrijke rol.
3
,Verzamelingenleer
Verzameling: het geheel van objecten (entiteiten) die tot een verzameling
behoren.
‘object’ is hierbij een algemene term die kan verwijzen naar alles.
Bij elke verzameling A kan voor elk object x bepaald worden of het al dan niet
tot A behoort:
x behoort tot de verzameling A
x behoort niet tot de verzameling A
Lege verzameling: een verzameling die geen enkel element bevat ∅
Universele verzameling: men werkt met de verzameling binnen een universum
U
Een verzameling kan op twee manieren gedefinieerd worden:
1. Door opsomming van de elementen ervan: A {… , … , …}
Hierbij is de volgorde onbelangrijk.
2. Door een regel (definitie) te geven die de kenmerkende eigenschappen
van de elementen beschrijft: A [0,1]
ℕ natuurlijke getallen 0,1,2
ℤ gehele getallen -1, -2, 0, 1
ℚ rationale getallen 0,17 , ½
ℝ reële getallen π , √2
[0,1] interval
De grafische voorstelling van de verzamelingenleer is het
Venn-diagram:
Kardinaalgetal van een verzameling: het aantal elementen
van een verzameling #A = …
Alle elementen uit een verzameling ∀
∀ x = alle objecten x uit een verzameling
Deelverzameling (D) van een verzameling (A)
D A ( ∀ x : x ∈D x ∈ A)
∀ A: ∅ A en A A
Machtsverzameling: de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van A
2A
De volgorde is hierbij niet belangrijk.
#2 A = 2¿ A
4
,Voorbeeld:
A = {a,b,c}
A
2 = {∅,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}}
#A = 3 #2 A = 23 = 8
Bewerkingen op verzamelingen:
Doorsnede ∩: het gemeenschappelijke deel van de aangegeven
verzamelingen/alle elementen die tot A en B behoren.
{x | x ∈ A en x ∈ B}
Unie ∪: de verzameling bevat alle elementen die in … OF … zitten/de
elementen worden samengenomen (heet ook wel ‘vereniging).
{x | x ∈ A of x ∈ B}
5
, Verschil (\)
A \ B = {x | x ∈ A en x B}
Zie nevenstaande afbeelding:
Complement ❑C : het deel van verzameling U waar
alle betrokken verzamelingen onderdeel van zijn.
C
A =U\A
Zie onderstaande afbeelding:
Enkele eigenschappen van de
verzamelingenleer:
A∩B=B∩A A∪B=B∪A
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ ∅= ∅ A ∪ ∅= A
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪
C)
(AC)C = A
(A ∩ B)C = AC ∪ BC (A ∪ B)C = AC ∩ BC
Partitie: de opsplitsing van een verzameling in een stel niet-lege en niet-
overlappende deelverzamelingen.
Productverzameling/Cartesiaans product van verzamelingen :
verzameling van alle geordende koppels.
De volgorde is bij een productverzameling wel van belang.
A1 x A2 = {(a1 , a2) | a1 ∈ A1 en a2 ∈ A2}
6
Deel 1: beschrijvende statistiek (P. 1/P. 103)
Deel 2: inductieve statistiek (P. 104/P. 205)
Inhoud
Verzamelingenleer..............................................................................................................................4
Deel I: beschrijvende statistiek...............................................................................................................7
Beschrijvende statistiek met één variabele............................................................................................9
Kwalitatieve variabele........................................................................................................................9
Kwantitatieve variabele....................................................................................................................11
Kwantielen........................................................................................................................................13
Samenvattende maten.....................................................................................................................14
Centrale tendensmaten................................................................................................................14
Spreidingsmaten...........................................................................................................................16
Transformaties van variabelen.....................................................................................................18
Beschrijvende statistiek met twee variabelen......................................................................................20
Frequentiefuncties............................................................................................................................20
Samenvattende maten.....................................................................................................................22
Centrale tendensmaten................................................................................................................22
Spreidingsmaten...........................................................................................................................22
Samenhangs- of associatiematen.................................................................................................23
Methode van conditioneel werken...................................................................................................31
Optimale lineaire voorspelling van een criteriumvariabele..........................................................31
Deel II: Inductieve statistiek.................................................................................................................34
Conceptueel kader............................................................................................................................34
Populatie en steekproef................................................................................................................34
Toevalsexperiment (TE) en steekproeftrekking............................................................................35
Uitkomsten en uitkomstenverzameling........................................................................................36
Toevalsvariabelen.........................................................................................................................36
Gebeurtenis..................................................................................................................................37
Kans en kansrekenen....................................................................................................................37
Populatiekarakteristieken van toevalsvariabelen.............................................................................41
Populatiekarakteristieken van 1 toevalsvariabele............................................................................41
Kansmassa-, dichtheids- en cumulatieve verdelingsfunctie..........................................................41
Samenvattende maten.................................................................................................................45
, Transformaties van toevalsvariabelen..........................................................................................47
Populatiekarakteristieken van 2 toevalsvariabelen..........................................................................48
Bivariate kansmassa-, dichtheids- en cumulatieve verdelingsfunctie...........................................48
Samenvattende maten.................................................................................................................51
Somvariabelen..............................................................................................................................53
Relatie tussen steekproef- en populatiekarakteristieken van toevalsvariabelen..............................54
Inleiding
2
,Objectieven van statistiek:
Proefopzetten ontwerpen voor het verzamelen van gegevens
Methoden ontwerpen om (aspecten van) gegevens te beschrijven =
beschrijvende statistiek
Methoden ontwerpen om vanuit gegevens algemenere informatie te
induceren = inductieve statistiek
Twee soorten onderzoeksplannen:
1. Experimenteel onderzoek: hierin manipuleert de onderzoeker één of
meerdere variabelen (de onafhankelijke variabelen) en gaat het effect
ervan na op één of meerdere andere variabelen (de afhankelijke
variabelen).
2. Correlationeel onderzoek: hierin gaat de onderzoeker het verband na
tussen variabelen die niet door hem gemanipuleerd werden, maar die ‘van
nature’ variëren.
Het verschil tussen beide is dus de manipulatie in de variabelen door de
onderzoeker.
Naast het verzamelen van gegevens aan de hand van onderzoeksplannen is het
ook van belang gegevens op een juiste manier te beschrijven:
Gegevensinvoer
Ordening op methodische wijze
Gegevens samenvatten
Grafische representaties zijn van groot belang
Tenslotte is het naast het verzamelen en het beschrijven van gegevens ook van
belang om de algemene informatie te induceren (af te leiden) gegevens
waarmee een onderzoeker werkt en waarover hij conclusies trekt zijn altijd
specifiek. Echter kan een onderzoeker in een aantal gevallen geïnteresseerd zijn
in algemenere conclusies. Er zijn dus twee vormen van redeneren:
1. Deduceren: algemeen specifiek
2. Induceren: specifiek algemeen
Deductieve afleidingen zijn doorgaans zeker. Bij inductie speelt
kans/waarschijnlijkheid een belangrijke rol.
3
,Verzamelingenleer
Verzameling: het geheel van objecten (entiteiten) die tot een verzameling
behoren.
‘object’ is hierbij een algemene term die kan verwijzen naar alles.
Bij elke verzameling A kan voor elk object x bepaald worden of het al dan niet
tot A behoort:
x behoort tot de verzameling A
x behoort niet tot de verzameling A
Lege verzameling: een verzameling die geen enkel element bevat ∅
Universele verzameling: men werkt met de verzameling binnen een universum
U
Een verzameling kan op twee manieren gedefinieerd worden:
1. Door opsomming van de elementen ervan: A {… , … , …}
Hierbij is de volgorde onbelangrijk.
2. Door een regel (definitie) te geven die de kenmerkende eigenschappen
van de elementen beschrijft: A [0,1]
ℕ natuurlijke getallen 0,1,2
ℤ gehele getallen -1, -2, 0, 1
ℚ rationale getallen 0,17 , ½
ℝ reële getallen π , √2
[0,1] interval
De grafische voorstelling van de verzamelingenleer is het
Venn-diagram:
Kardinaalgetal van een verzameling: het aantal elementen
van een verzameling #A = …
Alle elementen uit een verzameling ∀
∀ x = alle objecten x uit een verzameling
Deelverzameling (D) van een verzameling (A)
D A ( ∀ x : x ∈D x ∈ A)
∀ A: ∅ A en A A
Machtsverzameling: de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van A
2A
De volgorde is hierbij niet belangrijk.
#2 A = 2¿ A
4
,Voorbeeld:
A = {a,b,c}
A
2 = {∅,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}}
#A = 3 #2 A = 23 = 8
Bewerkingen op verzamelingen:
Doorsnede ∩: het gemeenschappelijke deel van de aangegeven
verzamelingen/alle elementen die tot A en B behoren.
{x | x ∈ A en x ∈ B}
Unie ∪: de verzameling bevat alle elementen die in … OF … zitten/de
elementen worden samengenomen (heet ook wel ‘vereniging).
{x | x ∈ A of x ∈ B}
5
, Verschil (\)
A \ B = {x | x ∈ A en x B}
Zie nevenstaande afbeelding:
Complement ❑C : het deel van verzameling U waar
alle betrokken verzamelingen onderdeel van zijn.
C
A =U\A
Zie onderstaande afbeelding:
Enkele eigenschappen van de
verzamelingenleer:
A∩B=B∩A A∪B=B∪A
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ ∅= ∅ A ∪ ∅= A
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪
C)
(AC)C = A
(A ∩ B)C = AC ∪ BC (A ∪ B)C = AC ∩ BC
Partitie: de opsplitsing van een verzameling in een stel niet-lege en niet-
overlappende deelverzamelingen.
Productverzameling/Cartesiaans product van verzamelingen :
verzameling van alle geordende koppels.
De volgorde is bij een productverzameling wel van belang.
A1 x A2 = {(a1 , a2) | a1 ∈ A1 en a2 ∈ A2}
6
