Superficies de
Parametrización
Hemos visto que la ecuación cartesiana , , = 0 representa una superficie de .
De forma similar a la forma en que describimos una curva en el espacio mediante la ecuación vectorial
= , , , ≤ ≤ , donde se utiliza un solo parámetro, vamos a describir una
superficie, pero en este caso mediante la utilización de dos parámetros:
= ,
= , , ∈
= ,
Las funciones , , son funciones de dos variables: y . La superficie estará definida en un
dominio interiormente conexo del plano . Para cada par , se obtiene un punto , , de la
superficie.
El conjunto de todos los puntos , , ∈ tales que = , , = , , = , donde
, varía a través de se llama superficie paramétrica.
Cabe destacar que la parametrización de una superficie no es única, es decir una superficie puede
parametrizarse de formas diferentes, al igual que con las curvas.
La expresión
, = , , , , , , , ∈
es la ecuación vectorial de la superficie, y equivale al sistema escrito anteriormente.
Ejemplo 1
El paraboloide = + (ecuación cartesiana) puede parametrizarse:
=
= = , : , ∈ "
= +
Ecuación paramétrica
Pero también puede escribirse su ecuación vectorial:
, = , , + , , ∈
Ejemplo 2
La esfera + + = 9 puede parametrizarse:
= 3 cos ( sin +
0 ≤ ( ≤ 2.
= 3 sin ( sin + =,
0≤+≤.
= 3 cos +
Ecuación paramétrica
Su ecuación vectorial es:
0 ≤ ( ≤ 2.
(, + = 3 cos ( sin + , 3 sin ( sin + , 3 cos + , =,
0≤+≤.
, Vector normal
Sea , = , , , , , una superficie cuyas funciones componentes son continuas y
tienen derivadas parciales primeras continuas en . Para cada par , se obtiene un punto , ,
de la superficie.
Si fijamos en un punto interior /, / queda determinado en la superficie el punto
/ = /, / = /, / , /, / , /, /
Si fijamos solamente = / queda determinada sobre la superficie, la curva
= , / , , / , , /
Esta curva sólo depende del parámetro .
Análogamente, si fijamos solamente = / queda determinada sobre la
superficie, la curva
= /, , /, , /,
Esta curva sólo depende del parámetro .
Obviamente, la intersección entre ambas curvas es el punto de la superficie
/ = /, / = /, / , /, / , /, /
Un vector tangente a la curva = , / , , / , , / se obtiene
derivando la curva respecto del parámetro , lo llamaremos 1, y un vector
tangente a la curva = /, , /, , /, se obtiene
derivando la curva respecto del parámetro , lo llamaremos 2:
Parametrización
Hemos visto que la ecuación cartesiana , , = 0 representa una superficie de .
De forma similar a la forma en que describimos una curva en el espacio mediante la ecuación vectorial
= , , , ≤ ≤ , donde se utiliza un solo parámetro, vamos a describir una
superficie, pero en este caso mediante la utilización de dos parámetros:
= ,
= , , ∈
= ,
Las funciones , , son funciones de dos variables: y . La superficie estará definida en un
dominio interiormente conexo del plano . Para cada par , se obtiene un punto , , de la
superficie.
El conjunto de todos los puntos , , ∈ tales que = , , = , , = , donde
, varía a través de se llama superficie paramétrica.
Cabe destacar que la parametrización de una superficie no es única, es decir una superficie puede
parametrizarse de formas diferentes, al igual que con las curvas.
La expresión
, = , , , , , , , ∈
es la ecuación vectorial de la superficie, y equivale al sistema escrito anteriormente.
Ejemplo 1
El paraboloide = + (ecuación cartesiana) puede parametrizarse:
=
= = , : , ∈ "
= +
Ecuación paramétrica
Pero también puede escribirse su ecuación vectorial:
, = , , + , , ∈
Ejemplo 2
La esfera + + = 9 puede parametrizarse:
= 3 cos ( sin +
0 ≤ ( ≤ 2.
= 3 sin ( sin + =,
0≤+≤.
= 3 cos +
Ecuación paramétrica
Su ecuación vectorial es:
0 ≤ ( ≤ 2.
(, + = 3 cos ( sin + , 3 sin ( sin + , 3 cos + , =,
0≤+≤.
, Vector normal
Sea , = , , , , , una superficie cuyas funciones componentes son continuas y
tienen derivadas parciales primeras continuas en . Para cada par , se obtiene un punto , ,
de la superficie.
Si fijamos en un punto interior /, / queda determinado en la superficie el punto
/ = /, / = /, / , /, / , /, /
Si fijamos solamente = / queda determinada sobre la superficie, la curva
= , / , , / , , /
Esta curva sólo depende del parámetro .
Análogamente, si fijamos solamente = / queda determinada sobre la
superficie, la curva
= /, , /, , /,
Esta curva sólo depende del parámetro .
Obviamente, la intersección entre ambas curvas es el punto de la superficie
/ = /, / = /, / , /, / , /, /
Un vector tangente a la curva = , / , , / , , / se obtiene
derivando la curva respecto del parámetro , lo llamaremos 1, y un vector
tangente a la curva = /, , /, , /, se obtiene
derivando la curva respecto del parámetro , lo llamaremos 2:
