Integración sobre superficies
Integrales superficiales de funciones
En clases anteriores (capítulo III, sección 12 o bien en la clase 26) definimos las integrales curvilíneas
de funciones:
Sea , ≤ ≤ una parametrización de una curva regular de o de , y sea una función
definida y continua sobre la curva, se define a la integral de la función sobre la curva:
= ‖ ´ ‖
Ahora veremos las integrales superficiales de funciones:
Sea , , , ∈ una parametrización de una superficie regular, y sea una función
definida y continua sobre la superficie, se define a la integral de la función sobre la superficie:
= , ‖ " × $‖
Importante
La integral superficial de la función %, &, ' = 1 es igual al área de la superficie de integración
‖ " × $‖ = Á*+ +,
0 ≤ % ≤ 12
Ejemplo 1: Calcular ∬ & donde , es la superficie ' = % + & , =/
0≤&≤2
Tomando % = , & = , la superficie parametrizada se indica:
0≤ ≤ 12
, = , , + =3
0≤ ≤2
, =
" = 1, 0, 1
$ = 0, 1, 2
56 5 5
" × $ =41 0 1 4 = −1, −2 , 1
0 1 2
‖ " × $‖ = 8 −1 + −2 + 1 = 82 + 4
Entonces
, 6
, ‖ " × $‖ = 82 + 4 = 82 + 4 =
: :
1 2 1
= 1. . 2 2 + 4 >
? = @18 >
−2 >
A
8 3 : 12
Integrales superficiales de campos vectoriales
Una superficie regular = , con dominio se dice orientable si dado un punto B cualquiera
de la superficie, existe un único vector normal C B = " × $ B
Una superficie es orientable cuando tiene dos caras o
páginas, es decir la página exterior y la página interior
(opuestas entre sí). El vector normal aplicado en un punto de
la superficie C B = " × $ B apunta hacia un
determinado lado de la superficie.
Sea , , , ∈ una parametrización de una superficie regular, y sea D un campo vectorial
continuo sobre los puntos de la superficie, se define a la integral del campo D sobre la página , de
la superficie:
D ,= D , . " × $
Cuando se integra un campo sobre una superficie orientable, hay que especificar una página de
integración sobre la superficie.
Una vez fijada la parametrización de la superficie la escritura ∬ D , representa el valor de la
integral sobre la página determinada por la misma parametrización. Si se quiere integrar sobre la otra
página, habrá que escribir ∬ E D , = −∬ D ,.
La integral ∬ D , representa el flujo del campo D a través de la superficie ,. Este flujo puede
ser saliente o entrante según se integre sobre la página exterior (el vector normal apunta hacia afuera
de la superficie) o sobre la página interior (el vector normal apunta hacia adentro).
Integrales superficiales de funciones
En clases anteriores (capítulo III, sección 12 o bien en la clase 26) definimos las integrales curvilíneas
de funciones:
Sea , ≤ ≤ una parametrización de una curva regular de o de , y sea una función
definida y continua sobre la curva, se define a la integral de la función sobre la curva:
= ‖ ´ ‖
Ahora veremos las integrales superficiales de funciones:
Sea , , , ∈ una parametrización de una superficie regular, y sea una función
definida y continua sobre la superficie, se define a la integral de la función sobre la superficie:
= , ‖ " × $‖
Importante
La integral superficial de la función %, &, ' = 1 es igual al área de la superficie de integración
‖ " × $‖ = Á*+ +,
0 ≤ % ≤ 12
Ejemplo 1: Calcular ∬ & donde , es la superficie ' = % + & , =/
0≤&≤2
Tomando % = , & = , la superficie parametrizada se indica:
0≤ ≤ 12
, = , , + =3
0≤ ≤2
, =
" = 1, 0, 1
$ = 0, 1, 2
56 5 5
" × $ =41 0 1 4 = −1, −2 , 1
0 1 2
‖ " × $‖ = 8 −1 + −2 + 1 = 82 + 4
Entonces
, 6
, ‖ " × $‖ = 82 + 4 = 82 + 4 =
: :
1 2 1
= 1. . 2 2 + 4 >
? = @18 >
−2 >
A
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Integrales superficiales de campos vectoriales
Una superficie regular = , con dominio se dice orientable si dado un punto B cualquiera
de la superficie, existe un único vector normal C B = " × $ B
Una superficie es orientable cuando tiene dos caras o
páginas, es decir la página exterior y la página interior
(opuestas entre sí). El vector normal aplicado en un punto de
la superficie C B = " × $ B apunta hacia un
determinado lado de la superficie.
Sea , , , ∈ una parametrización de una superficie regular, y sea D un campo vectorial
continuo sobre los puntos de la superficie, se define a la integral del campo D sobre la página , de
la superficie:
D ,= D , . " × $
Cuando se integra un campo sobre una superficie orientable, hay que especificar una página de
integración sobre la superficie.
Una vez fijada la parametrización de la superficie la escritura ∬ D , representa el valor de la
integral sobre la página determinada por la misma parametrización. Si se quiere integrar sobre la otra
página, habrá que escribir ∬ E D , = −∬ D ,.
La integral ∬ D , representa el flujo del campo D a través de la superficie ,. Este flujo puede
ser saliente o entrante según se integre sobre la página exterior (el vector normal apunta hacia afuera
de la superficie) o sobre la página interior (el vector normal apunta hacia adentro).
