HCO2, kansrekenen
Kans, er is eigenlijk geen duidelijke definitie van ‘kans’. Er zijn een meerdere interpretaties van kans
en grofweg kunnen deze in 2 klassen opgedeeld worden:
1. Objectivist interpretations, hierbij worden kansen geassocieerd met random fysische
fenomenen. Deze interpretatie gaat er vanuit dat een kans objectief aanwezig is in de natuur.
Een bepaalde onzekerheid is dus van nature aanwezig en heeft niet te maken met een
gebrek aan kennis. Een voorbeeld is de frequentistische benadering: wat gebeurt er met de
frequentie van een bepaalde uitkomst als je eenzelfde experiment heel vaak herhaalt?
2. Subjective interpretations, hierbij wordt kans gezien als een maat van onzekerheid gegeven
bepaalde informatie. Een voorbeeld is de Bayesiaanse benadering.
Frequentistische benadering, de klassieke statistiek is gebaseerd op de frequentistische interpretatie
van kans. Whitlock & Schluter definiëren kans in hun boek dan ook als volgt: relative freqeuncy of an
event in a long series of identical and independent random experiments. Hoe vaker je de
experimenten uitvoert, hoe beter. Bijvoorbeeld, de kans is 1/6 dat je 2 gooit met een dobbelsteen.
Als je middels een reeks aan experimenten op 1/6 uit wil komen, weet je niet zeker of je met 600
beurten wel 100 keer 2 dobbelt. Als je nu oneindig vaak dobbelt, is dit probleem verholpen. Verder is
het heel belangrijk om te onthouden dat kans alleen gedefinieerd kan worden voor random
variabelen en niet voor parameters, zoals het gemiddelde (μ) van een populatie. Een parameter staat
namelijk gewoon vast en hier kan je dus geen kans aan koppelen.
Kans voorbeelden, hieronder zie je twee voorbeelden met kans (frequentistische interpretatie):
1. Als je een dobbelsteen heel vaak gooit, kan je er vanuit gaan dat de kans 1/6 is dat je 6
dobbelt. Dit kan je als volgt weergegeven Pr[𝑋 = 6] = 1/6.
2. Als je een sample hebt van 100 humane genen, kan je hun gemiddelde lengte 𝑋̅ berekenen.
Als je dit heel vaak doet, kan je de kans uitrekenen dat de gemiddelde lengte groter is dan
300. De kans dat Pr[𝑋̅ ] > 300 is dan de fractie van alle steekproeven waarvoor dit het geval
is.
Bayesiaanse interpretatie, maakt gebruik van graded degrees of belief. Je bent bijvoorbeeld 90%
zeker dat je vriend bij het hoorcollege aanwezig zal zijn. Je hebt dan dus een geloof wat je uitdrukt in
een getal tussen 0 en 1 (of 0% en 100%). Hoe hoger dit getal is, hoe groter je geloof is dat iets
daadwerkelijk zal gebeuren. Bij de Bayesiaanse interpretatie is kans dus een reflectie van je staat van
geloof. In dat geval kan je kans wel toepassen op parameters, hypotheses etc. Je kan namelijk een
bepaald geloof hebben dat het gemiddelde van een populatie rond een bepaalde waarde ligt. Het
idee bij de Bayesiaanse interpretatie is dat het niet compleet random is wat iemand denkt, maar dat
een rationeel persoon zijn geloof update wanneer nieuwe informatie ter beschikking komt. Als je
redeneert over waarheden, moet je je aan de regels van logica houden.
Definitie kans, met de betreffende informatie kunnen we nu een veilig, maar niet precies antwoord
geven op de vraag wat kans nu is:
- Probability theory is een wiskundig middel voor het maken van beslissingen in een onzekere
wereld.
- De kans op een gebeurtenis (event) ligt tussen 0 en 1.
- Kans 0 betekent dat het event onmogelijk is.
- Kans 1 betekent dat de gebeurtenis zeker is.
- Hoe groter de kans, hoe waarschijnlijker dat iets gebeurt.
Random trial, is een proces of experiment dat twee of meer mogelijke uitkomsten heeft waarvan je
niet met zekerheid kunt voorspellen welke van de mogelijke uitkomsten plaatsvindt. Denk hierbij aan
het rollen van een dobbelstenen. Dit is een voorbeeld van een kansexperiment.
Elementary outcomes, een random trial heeft elementaire uitkomsten. Dat zijn alle mogelijke
uitkomsten van een experiment. In het geval van het rollen van een dobbelsteen zijn je elementary
outcomes het dobbelen van 1, 2, 3, 4, 5, of 6.
, Event, is een subset van mogelijke elementaire uitkomsten. Een voorbeeld van een gebeurtenis is het
dobbelen van een even aantal. Elementaire uitkomsten die hierbij horen zijn het dobbelen van 2, 4 of
6. Een gebeurtenis is dus een deelverzameling van de mogelijke elementaire uitkomsten.
Kans op een gebeurtenis/event, de proportie van het aantal keren dat het event plaatsvindt als je de
random trial steeds opnieuw uitvoert, onder dezelfde omstandigheden, weerspiegelt de kans op de
gebeurtenis. Voor het dobbelen van een van even aantal is dit als volgt Pr[𝑒𝑣𝑒𝑛] = 3/6 = 1/2.
Voorbeeldvraag, als je 2 keer met een dobbelsteen dobbelt, wat is dan de kans dat je tenminste 1
keer 6 dobbelt? Simpelweg zou je misschien zeggen dat die kans 1/3 is aangezien je twee keer een
kans hebt van 1/6 om 6 te dobbelen. Dat antwoord is niet juist. Rechts zie je wat al je mogelijkheden
zijn om minimaal 1 keer 6 te dobbelen. Je kan eerst alle opties aangeven als je met de 1e dobbelsteen
6 dobbelt en vervolgens alle opties als je met de 2e 6 dobbelt. Hierbij moet
je opletten dat je 2 keer de optie opschrijft dat je met beide stenen 6
dobbelt. Deze optie mag je niet 2 keer meetellen. Verder kan je met 2 dobbelstenen in totaal 36
verschillende combinaties dobbelen (62 = 36). Hiermee kunnen we het volgende stellen:
Pr[𝑡𝑒𝑛𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡𝑒 1 𝑘𝑒𝑒𝑟 6] = 11/36 en dit is net niet 1/3. Dit had je ook kunnen berekenen zonder het
uit te schrijven. De kans dat je namelijk 1 keer 6 dobbelt kan voorkomen doordat je met de 1e steen 6
dobbelt (1/6) en dan maakt het niet uit wat je met de twee dobbelt, maar als je nu met de 1 e steen
1 5 1 11
geen 6 dobbelt (5/6), moet je wel met de andere steen 6 dobbelen (1/6) → + ∗ = .
6 6 6 36
Mutually exclusive events, zijn gebeurtenissen die elkaar uitsluiten. Rechts zie je
in een Venn diagram event A en B aangegeven. Je ziet meteen dat B niet plaats
kan vinden als A plaatsvindt, aangezien deze twee niet overlappen. In dit geval
kan event A zijn dat je een 2 dobbelt en kan event B zijn dat je een oneven getal
dobbelt. Je kan met 1 dobbelsteen niet tegelijkertijd 2 en een oneven getal
dobbelen. In ander voorbeeld is de grootte van de snavel van een vogel. Event A
is dan bijvoorbeeld 𝑋̅ ≥ 10 𝑐𝑚 en event B is dan 𝑋̅ < 10 𝑐𝑚 (eigenlijk zou de
hele Venn diagram dan gevuld moeten zijn met event A en B zonder overlap, aangezien hierbuiten
geen andere mogelijke elementaire uitkomsten zijn.)
Not mutually exclusive events, als twee gebeurtenissen elkaar niet uitsluiten,
is er minimaal 1 elementaire uitkomst die zowel in event A als event B
voorkomt. Rechts is dit in een Venn diagram te zien. Bij een voorbeeld met
dobbelstenen is event A ‘X is even’ en event B ‘X < 3’. De elementaire
uitkomst ‘2’ komt dan in beide gebeurtenissen voor. In het geval met
snavellengte kan je ook not mutually exclusive events hebben, event A: ‘𝑋̅ >
10 𝑐𝑚’ en event B: ‘𝑋̅ < 12 𝑐𝑚’.
Voorbeeldvraag, links zie je 3 voorbeeldvragen. De 1e vraag is
mutually exclusive, aangezien je niet tegelijkertijd 6 en een
oneven getal kan dobbelen. Vraag 2) is niet mutually exclusive,
want als 6 konijnen myxomatosis hebben, hebben ook 5
konijnen het. Als bij event A aangegeven stond dat je precies 5
konijnen met myxomatosis moest hebben dan zouden de twee
gebeurtenissen elkaar wel uitsluiten. De 3e vraag is ook niet
mutually exclusive, aangezien beide konijnen de ziekte kunnen
hebben.
Addition rule for mutually exclusive events, je moet weten of 2 gebeurtenissen
elkaar uitsluiten of niet om met kansen te kunnen rekenen. De optelregel voor
elkaar uitsluitende gebeurtenissen is als volgt: Pr[𝐴 𝑜𝑓 𝐵] = Pr[𝐴] + Pr[𝐵].
Enkel als gebeurtenissen A en B elkaar uitsluiten is de kans op A of B gelijk aan
de optelsom van de kansen op de individuele events. Denk bijvoorbeeld aan de
kans dat je een even of oneven getal gooit met een dobbelsteen. Deze kans is 1,
want er zijn geen andere opties, maar je kan het ook berekenen
1 1
(Pr[𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑜𝑓 𝑜𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛] = Pr[𝑒𝑣𝑒𝑛] + Pr[𝑜𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛] = 2 + 2 = 1) en dan kom je
Kans, er is eigenlijk geen duidelijke definitie van ‘kans’. Er zijn een meerdere interpretaties van kans
en grofweg kunnen deze in 2 klassen opgedeeld worden:
1. Objectivist interpretations, hierbij worden kansen geassocieerd met random fysische
fenomenen. Deze interpretatie gaat er vanuit dat een kans objectief aanwezig is in de natuur.
Een bepaalde onzekerheid is dus van nature aanwezig en heeft niet te maken met een
gebrek aan kennis. Een voorbeeld is de frequentistische benadering: wat gebeurt er met de
frequentie van een bepaalde uitkomst als je eenzelfde experiment heel vaak herhaalt?
2. Subjective interpretations, hierbij wordt kans gezien als een maat van onzekerheid gegeven
bepaalde informatie. Een voorbeeld is de Bayesiaanse benadering.
Frequentistische benadering, de klassieke statistiek is gebaseerd op de frequentistische interpretatie
van kans. Whitlock & Schluter definiëren kans in hun boek dan ook als volgt: relative freqeuncy of an
event in a long series of identical and independent random experiments. Hoe vaker je de
experimenten uitvoert, hoe beter. Bijvoorbeeld, de kans is 1/6 dat je 2 gooit met een dobbelsteen.
Als je middels een reeks aan experimenten op 1/6 uit wil komen, weet je niet zeker of je met 600
beurten wel 100 keer 2 dobbelt. Als je nu oneindig vaak dobbelt, is dit probleem verholpen. Verder is
het heel belangrijk om te onthouden dat kans alleen gedefinieerd kan worden voor random
variabelen en niet voor parameters, zoals het gemiddelde (μ) van een populatie. Een parameter staat
namelijk gewoon vast en hier kan je dus geen kans aan koppelen.
Kans voorbeelden, hieronder zie je twee voorbeelden met kans (frequentistische interpretatie):
1. Als je een dobbelsteen heel vaak gooit, kan je er vanuit gaan dat de kans 1/6 is dat je 6
dobbelt. Dit kan je als volgt weergegeven Pr[𝑋 = 6] = 1/6.
2. Als je een sample hebt van 100 humane genen, kan je hun gemiddelde lengte 𝑋̅ berekenen.
Als je dit heel vaak doet, kan je de kans uitrekenen dat de gemiddelde lengte groter is dan
300. De kans dat Pr[𝑋̅ ] > 300 is dan de fractie van alle steekproeven waarvoor dit het geval
is.
Bayesiaanse interpretatie, maakt gebruik van graded degrees of belief. Je bent bijvoorbeeld 90%
zeker dat je vriend bij het hoorcollege aanwezig zal zijn. Je hebt dan dus een geloof wat je uitdrukt in
een getal tussen 0 en 1 (of 0% en 100%). Hoe hoger dit getal is, hoe groter je geloof is dat iets
daadwerkelijk zal gebeuren. Bij de Bayesiaanse interpretatie is kans dus een reflectie van je staat van
geloof. In dat geval kan je kans wel toepassen op parameters, hypotheses etc. Je kan namelijk een
bepaald geloof hebben dat het gemiddelde van een populatie rond een bepaalde waarde ligt. Het
idee bij de Bayesiaanse interpretatie is dat het niet compleet random is wat iemand denkt, maar dat
een rationeel persoon zijn geloof update wanneer nieuwe informatie ter beschikking komt. Als je
redeneert over waarheden, moet je je aan de regels van logica houden.
Definitie kans, met de betreffende informatie kunnen we nu een veilig, maar niet precies antwoord
geven op de vraag wat kans nu is:
- Probability theory is een wiskundig middel voor het maken van beslissingen in een onzekere
wereld.
- De kans op een gebeurtenis (event) ligt tussen 0 en 1.
- Kans 0 betekent dat het event onmogelijk is.
- Kans 1 betekent dat de gebeurtenis zeker is.
- Hoe groter de kans, hoe waarschijnlijker dat iets gebeurt.
Random trial, is een proces of experiment dat twee of meer mogelijke uitkomsten heeft waarvan je
niet met zekerheid kunt voorspellen welke van de mogelijke uitkomsten plaatsvindt. Denk hierbij aan
het rollen van een dobbelstenen. Dit is een voorbeeld van een kansexperiment.
Elementary outcomes, een random trial heeft elementaire uitkomsten. Dat zijn alle mogelijke
uitkomsten van een experiment. In het geval van het rollen van een dobbelsteen zijn je elementary
outcomes het dobbelen van 1, 2, 3, 4, 5, of 6.
, Event, is een subset van mogelijke elementaire uitkomsten. Een voorbeeld van een gebeurtenis is het
dobbelen van een even aantal. Elementaire uitkomsten die hierbij horen zijn het dobbelen van 2, 4 of
6. Een gebeurtenis is dus een deelverzameling van de mogelijke elementaire uitkomsten.
Kans op een gebeurtenis/event, de proportie van het aantal keren dat het event plaatsvindt als je de
random trial steeds opnieuw uitvoert, onder dezelfde omstandigheden, weerspiegelt de kans op de
gebeurtenis. Voor het dobbelen van een van even aantal is dit als volgt Pr[𝑒𝑣𝑒𝑛] = 3/6 = 1/2.
Voorbeeldvraag, als je 2 keer met een dobbelsteen dobbelt, wat is dan de kans dat je tenminste 1
keer 6 dobbelt? Simpelweg zou je misschien zeggen dat die kans 1/3 is aangezien je twee keer een
kans hebt van 1/6 om 6 te dobbelen. Dat antwoord is niet juist. Rechts zie je wat al je mogelijkheden
zijn om minimaal 1 keer 6 te dobbelen. Je kan eerst alle opties aangeven als je met de 1e dobbelsteen
6 dobbelt en vervolgens alle opties als je met de 2e 6 dobbelt. Hierbij moet
je opletten dat je 2 keer de optie opschrijft dat je met beide stenen 6
dobbelt. Deze optie mag je niet 2 keer meetellen. Verder kan je met 2 dobbelstenen in totaal 36
verschillende combinaties dobbelen (62 = 36). Hiermee kunnen we het volgende stellen:
Pr[𝑡𝑒𝑛𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡𝑒 1 𝑘𝑒𝑒𝑟 6] = 11/36 en dit is net niet 1/3. Dit had je ook kunnen berekenen zonder het
uit te schrijven. De kans dat je namelijk 1 keer 6 dobbelt kan voorkomen doordat je met de 1e steen 6
dobbelt (1/6) en dan maakt het niet uit wat je met de twee dobbelt, maar als je nu met de 1 e steen
1 5 1 11
geen 6 dobbelt (5/6), moet je wel met de andere steen 6 dobbelen (1/6) → + ∗ = .
6 6 6 36
Mutually exclusive events, zijn gebeurtenissen die elkaar uitsluiten. Rechts zie je
in een Venn diagram event A en B aangegeven. Je ziet meteen dat B niet plaats
kan vinden als A plaatsvindt, aangezien deze twee niet overlappen. In dit geval
kan event A zijn dat je een 2 dobbelt en kan event B zijn dat je een oneven getal
dobbelt. Je kan met 1 dobbelsteen niet tegelijkertijd 2 en een oneven getal
dobbelen. In ander voorbeeld is de grootte van de snavel van een vogel. Event A
is dan bijvoorbeeld 𝑋̅ ≥ 10 𝑐𝑚 en event B is dan 𝑋̅ < 10 𝑐𝑚 (eigenlijk zou de
hele Venn diagram dan gevuld moeten zijn met event A en B zonder overlap, aangezien hierbuiten
geen andere mogelijke elementaire uitkomsten zijn.)
Not mutually exclusive events, als twee gebeurtenissen elkaar niet uitsluiten,
is er minimaal 1 elementaire uitkomst die zowel in event A als event B
voorkomt. Rechts is dit in een Venn diagram te zien. Bij een voorbeeld met
dobbelstenen is event A ‘X is even’ en event B ‘X < 3’. De elementaire
uitkomst ‘2’ komt dan in beide gebeurtenissen voor. In het geval met
snavellengte kan je ook not mutually exclusive events hebben, event A: ‘𝑋̅ >
10 𝑐𝑚’ en event B: ‘𝑋̅ < 12 𝑐𝑚’.
Voorbeeldvraag, links zie je 3 voorbeeldvragen. De 1e vraag is
mutually exclusive, aangezien je niet tegelijkertijd 6 en een
oneven getal kan dobbelen. Vraag 2) is niet mutually exclusive,
want als 6 konijnen myxomatosis hebben, hebben ook 5
konijnen het. Als bij event A aangegeven stond dat je precies 5
konijnen met myxomatosis moest hebben dan zouden de twee
gebeurtenissen elkaar wel uitsluiten. De 3e vraag is ook niet
mutually exclusive, aangezien beide konijnen de ziekte kunnen
hebben.
Addition rule for mutually exclusive events, je moet weten of 2 gebeurtenissen
elkaar uitsluiten of niet om met kansen te kunnen rekenen. De optelregel voor
elkaar uitsluitende gebeurtenissen is als volgt: Pr[𝐴 𝑜𝑓 𝐵] = Pr[𝐴] + Pr[𝐵].
Enkel als gebeurtenissen A en B elkaar uitsluiten is de kans op A of B gelijk aan
de optelsom van de kansen op de individuele events. Denk bijvoorbeeld aan de
kans dat je een even of oneven getal gooit met een dobbelsteen. Deze kans is 1,
want er zijn geen andere opties, maar je kan het ook berekenen
1 1
(Pr[𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑜𝑓 𝑜𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛] = Pr[𝑒𝑣𝑒𝑛] + Pr[𝑜𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛] = 2 + 2 = 1) en dan kom je
