Apuntes Laboratorio de Ordenadores
David Conesa Pagán
1
,Índice
1. Problema 1: Muelle 4
1.1. Método de la Segunda derivada: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Creamos los arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Función teórica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Algoritmo segunda derivada: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5. Función teórica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6. Algoritmo segunda derivada velocidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.7. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.8. Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.9. Funciones con el algoritmo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.10. Gráfica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Algoritmo de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Creamos los arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Funciones teóricas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Algoritmo de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.5. Funciones teóricas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.6. Funciones con algoritmo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.7. Gráfica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Algoritmo de Euler modificado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Creamos los arrays: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2. Algoritmo de Euler modificado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3. Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4. Algoritmo de euler modificado (energía): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5. Gráfica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Oscilador anarmónico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1. Creamos los arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2. Algoritmo de euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3. Algoritmo de euler modificado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.4. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Problema 2: Problema de los dos cuerpos 23
2.1. Algoritmo de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Creamos los arrays: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2. Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Algoritmo de Euler modificado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1. Creamos los arrays: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2. Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Periodo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Conservación del momento angular: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5. Conservación de la energía: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1. Creamos los arrays: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2. Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6. Coordenadas en el perihelio, longitud semiejes y excentricidad: . . . . . . . . . . 33
3. Extra: Péndulo 34
3.0.1. Creamos los arrays: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
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, 3.0.2. Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.0.3. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Extra: Muelle en dos dimensiones 41
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, 1. Problema 1: Muelle
Para realizar esta práctica, es obvio que partimos desde el conocimiento de la fórmula que rige
la fuerza de un muelle:
F⃗ = −k⃗x = −kx · ⃗er
Con la cual eramos capaces de describir el movimiento armónico simple de un muele (M.A.S.),
de la forma que la igualábamos con la conocida segunda ley de Newton F⃗ = m⃗a
Para este ejercicio se presenta que tenemos de incógnita x(t), la cual es una función de variable
real, es decir x(t) : R → R, pero la tendremos que hallar en función de una ecuación diferencial
al ser esta una incógnita, por tanto:
d2 x(t) d2 x(t)
ma = −kx =⇒ m = −kx(t) =⇒ m + kx(t) = 0
dt2 dt2
La cual también podemos expresar como mx′′ (t) + kx(t) = 0
Para resolver este problema tenemos que asignar los siguientes puntos: - x(t = 0) = x0 -
v(t = 0) = x′ (t = 0) = v0 = 0
Por lo que la pregunta sería: ¿∃x(t) : R → R/mx′′ (t) + kx(t) = 0 ∀t?
1.1. Método de la Segunda derivada:
Para dar la respuesta tenemos que recurrir al cálculo numérico. Lo primero es pasar de un tiempo
continuo, a un tiempo discreto, esto es una aproximación que obviamente nos llevará a error,
pero ese es el precio a seguir, concretamente:
0 = t0 < t1 < t2 < ... < ti < ... < tN = tf
Por tanto si tenemos un tiempo inicial t0 y un tiempo final tf , lo más cómodo sería dividirlo en
N pasos, es decir:
tf − t0
∆t =
N
De manera que, para un instante determinado de tiempo ti , obtenemos la expresión:
ti = t0 + i∆t
Ahora necesitamos sacar una expresión para x′′ (ti ), que para ello usaremos las series de Taylor:
Para x(ti + ∆t)
1
x(ti + ∆t) = x(ti ) + x′ (ti )∆t + x′′ (ti )∆t2 + ...
2
Para x(ti − ∆t)
1
x(ti − ∆t) = x(ti ) − x′ (ti )∆t + x′′ (ti )∆t2 − ...
2
Procedemos a sumarlas:
1
x(ti + ∆t) + x(ti − ∆t) = 2x(ti ) + 2 x′′ (ti )∆t2
2
x(ti + ∆t) + x(ti − ∆t) = 2x(ti ) + x′′ (ti )∆t2
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David Conesa Pagán
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,Índice
1. Problema 1: Muelle 4
1.1. Método de la Segunda derivada: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Creamos los arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Función teórica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Algoritmo segunda derivada: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5. Función teórica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6. Algoritmo segunda derivada velocidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.7. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.8. Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.9. Funciones con el algoritmo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.10. Gráfica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Algoritmo de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Creamos los arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Funciones teóricas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Algoritmo de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.5. Funciones teóricas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.6. Funciones con algoritmo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.7. Gráfica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Algoritmo de Euler modificado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Creamos los arrays: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2. Algoritmo de Euler modificado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3. Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4. Algoritmo de euler modificado (energía): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5. Gráfica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Oscilador anarmónico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1. Creamos los arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2. Algoritmo de euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3. Algoritmo de euler modificado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.4. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Problema 2: Problema de los dos cuerpos 23
2.1. Algoritmo de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Creamos los arrays: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2. Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Algoritmo de Euler modificado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1. Creamos los arrays: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2. Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Periodo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Conservación del momento angular: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5. Conservación de la energía: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1. Creamos los arrays: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2. Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6. Coordenadas en el perihelio, longitud semiejes y excentricidad: . . . . . . . . . . 33
3. Extra: Péndulo 34
3.0.1. Creamos los arrays: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
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, 3.0.2. Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.0.3. Gráficas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Extra: Muelle en dos dimensiones 41
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, 1. Problema 1: Muelle
Para realizar esta práctica, es obvio que partimos desde el conocimiento de la fórmula que rige
la fuerza de un muelle:
F⃗ = −k⃗x = −kx · ⃗er
Con la cual eramos capaces de describir el movimiento armónico simple de un muele (M.A.S.),
de la forma que la igualábamos con la conocida segunda ley de Newton F⃗ = m⃗a
Para este ejercicio se presenta que tenemos de incógnita x(t), la cual es una función de variable
real, es decir x(t) : R → R, pero la tendremos que hallar en función de una ecuación diferencial
al ser esta una incógnita, por tanto:
d2 x(t) d2 x(t)
ma = −kx =⇒ m = −kx(t) =⇒ m + kx(t) = 0
dt2 dt2
La cual también podemos expresar como mx′′ (t) + kx(t) = 0
Para resolver este problema tenemos que asignar los siguientes puntos: - x(t = 0) = x0 -
v(t = 0) = x′ (t = 0) = v0 = 0
Por lo que la pregunta sería: ¿∃x(t) : R → R/mx′′ (t) + kx(t) = 0 ∀t?
1.1. Método de la Segunda derivada:
Para dar la respuesta tenemos que recurrir al cálculo numérico. Lo primero es pasar de un tiempo
continuo, a un tiempo discreto, esto es una aproximación que obviamente nos llevará a error,
pero ese es el precio a seguir, concretamente:
0 = t0 < t1 < t2 < ... < ti < ... < tN = tf
Por tanto si tenemos un tiempo inicial t0 y un tiempo final tf , lo más cómodo sería dividirlo en
N pasos, es decir:
tf − t0
∆t =
N
De manera que, para un instante determinado de tiempo ti , obtenemos la expresión:
ti = t0 + i∆t
Ahora necesitamos sacar una expresión para x′′ (ti ), que para ello usaremos las series de Taylor:
Para x(ti + ∆t)
1
x(ti + ∆t) = x(ti ) + x′ (ti )∆t + x′′ (ti )∆t2 + ...
2
Para x(ti − ∆t)
1
x(ti − ∆t) = x(ti ) − x′ (ti )∆t + x′′ (ti )∆t2 − ...
2
Procedemos a sumarlas:
1
x(ti + ∆t) + x(ti − ∆t) = 2x(ti ) + 2 x′′ (ti )∆t2
2
x(ti + ∆t) + x(ti − ∆t) = 2x(ti ) + x′′ (ti )∆t2
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