INGENIERÍA DE RECURSOS MINEROS TEMA 5
TEMA 5
CÁLCULOS DE RESERVAS POR
LOS MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS
5.1 – MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS
GEOESTADÍSTICA:
El término “geoestadística” surge de la combinación de dos conceptos:
- Carácter aleatorio que tienen las variables objeto de estudio: ley, potencia, porosidad…
- Carácter geológico en donde se encuentra ubicado.
Es muy utilizada porque permite determinar el error cometido en el proceso de estimación.
APLICACIONES DE LA GEOESTADÍSTICA:
Los métodos geoestadísticos y, en concreto, el examen de los semivariogramas, pueden ser útiles pa-
ra determinar los siguientes aspectos:
- Tamaño de la muestra.
- Esquema óptimo de muestreo.
- Densidad óptima de muestreo.
- Área de influencia de cada muestra (circular, elíptica, esferoidal o elipsoidal).
- Naturaleza de la mineralización (génesis).
Otras ventajas que tiene la geoestadística pueden ser las siguientes:
- Evitar la utilización de métodos de ponderación arbitrarios como el inverso de la distancia.
- Aplicación de un estimador insesgado en el cálculo de la ley de un depósito, el mejor estimador
es el que produce la mejor precisión (menor varianza).
- Si la base de datos de partida es correcta, el método permita la determinación del mejor estima-
dor insesgado posible, lo que puede ser muy importante en explotaciones que trabajan al límite
de la economicidad.
5.2 – TEORÍA DE LAS VARIABLES REGIONALIZADAS
DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA:
La geoestadística establece que la distribución estadística de la eficiencia en el valor de una variable
(ley) entre los pares de puntos (muestras) es similar a lo largo del yacimiento. Este concepto se de-
nomina de estacionariedad y es básico en geoestadística.
La geoestadística, por lo tanto, considera no solo el valor de la variable sino su posición en el cuerpo
mineralizado y su relación con otras muestras.
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VARIABLE REGIONALIZADA:
Aquella cuyo valor en un punto dentro del yacimiento es función de su magnitud y de su soporte (vo-
lumen, forma, orientación). Variables regionalizadas típicas son la ley de un metal, espesor o poten-
cia del cuerpo mineralizado, peso específico, porosidad, densidad aparente, poder calorífico, etc.
La continuidad de la variable regionalizada a lo largo de un depósito puede variar según la dirección,
convirtiendo la variable en anisótropa.
5.3 – SEMIVARIOGRAMA EXPERIMENTAL
CÁLCULO DEL SEMIVARIOGRAMA EXPERIMENTAL:
La estadística clásica considera las muestras como aleatorias e independientes entre sí, mientras que
la geoestadística asume una correlación espacial entre ellas. La forma de representar esa correlación
es el semivariograma experimental, que define la correlación espacial entre los valores muestreados.
Se obtiene calculando para la distancia de separación entre muestras (lag) la diferencia al cuadrado
de los valores de dichas muestras en una determinada dirección.
Para cada separación “h” se calcula el valor de “γ*(h)” según lo siguiente:
N: Número de pares de datos.
γ (h) ( ) ( ) f(xi): Valor de la variable regionalizada en el punto “i”.
f(xi+h): Valor de la variable a una distancia “h” de “i”.
Los valores obtenidos de “γ*(h)” se representan en un diagrama en ordenadores frente a los valores
de “h”, obteniendo un semivariograma e perimental. La velocidad de incremento “γ*(h)” con el lag
es un índice de la velocidad a la cual el área de influencia disminuye con la distancia. La distancia a la
que “γ*(h)” se hace constante corresponde al punto en el que la covarianza, “cov(h)” entre muestras
es cero. Define, por lo tanto, el área de influencia de una muestra.
MODELOS DE SEMIVARIOGRAMAS:
El krigeaje necesita utilizar un modelo de semivariograma determinado y que debe cumplir unos re-
quisitas matemáticos. Debe ser condicionalmente definido negativo, ya que tiene que asegurar que el
sistema de “n + ” ecuaciones con “n + ” incógnitas tenga una sola solución.
El valor del semivariograma para una distancia 0 debería ser 0; sin embargo, muchas veces no es así,
teniendo un e ecto pepita “C0”. Las causas de ello son muy diversas: errores de muestreo, oscilación
de la variable a pequeña escala, etc. Los modelos a considerar se agrupan en dos categorías:
- Modelos de transición, que alcanzan una meseta:
En este modelo la curva asciende progresivamente
hasta alcanzar la meseta, siendo la distancia a la que
alcanza esta meseta el alcance o rango:
- Modelo exponencial:
En este modelo, la curva va aumentando pro-
gresivamente hasta alcanzar la meseta a un va-
lor constante, pudiendo existir dos esquemas:
C: Valor comprendido entre pepita y meseta.
- Formery → γ (h) C e +C
h: Distancia.
a: Alcance o rango.
- Gaussiano → γ (h) C e +C
C0: Efecto pepita.
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LOS MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS
5.1 – MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS
GEOESTADÍSTICA:
El término “geoestadística” surge de la combinación de dos conceptos:
- Carácter aleatorio que tienen las variables objeto de estudio: ley, potencia, porosidad…
- Carácter geológico en donde se encuentra ubicado.
Es muy utilizada porque permite determinar el error cometido en el proceso de estimación.
APLICACIONES DE LA GEOESTADÍSTICA:
Los métodos geoestadísticos y, en concreto, el examen de los semivariogramas, pueden ser útiles pa-
ra determinar los siguientes aspectos:
- Tamaño de la muestra.
- Esquema óptimo de muestreo.
- Densidad óptima de muestreo.
- Área de influencia de cada muestra (circular, elíptica, esferoidal o elipsoidal).
- Naturaleza de la mineralización (génesis).
Otras ventajas que tiene la geoestadística pueden ser las siguientes:
- Evitar la utilización de métodos de ponderación arbitrarios como el inverso de la distancia.
- Aplicación de un estimador insesgado en el cálculo de la ley de un depósito, el mejor estimador
es el que produce la mejor precisión (menor varianza).
- Si la base de datos de partida es correcta, el método permita la determinación del mejor estima-
dor insesgado posible, lo que puede ser muy importante en explotaciones que trabajan al límite
de la economicidad.
5.2 – TEORÍA DE LAS VARIABLES REGIONALIZADAS
DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA:
La geoestadística establece que la distribución estadística de la eficiencia en el valor de una variable
(ley) entre los pares de puntos (muestras) es similar a lo largo del yacimiento. Este concepto se de-
nomina de estacionariedad y es básico en geoestadística.
La geoestadística, por lo tanto, considera no solo el valor de la variable sino su posición en el cuerpo
mineralizado y su relación con otras muestras.
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VARIABLE REGIONALIZADA:
Aquella cuyo valor en un punto dentro del yacimiento es función de su magnitud y de su soporte (vo-
lumen, forma, orientación). Variables regionalizadas típicas son la ley de un metal, espesor o poten-
cia del cuerpo mineralizado, peso específico, porosidad, densidad aparente, poder calorífico, etc.
La continuidad de la variable regionalizada a lo largo de un depósito puede variar según la dirección,
convirtiendo la variable en anisótropa.
5.3 – SEMIVARIOGRAMA EXPERIMENTAL
CÁLCULO DEL SEMIVARIOGRAMA EXPERIMENTAL:
La estadística clásica considera las muestras como aleatorias e independientes entre sí, mientras que
la geoestadística asume una correlación espacial entre ellas. La forma de representar esa correlación
es el semivariograma experimental, que define la correlación espacial entre los valores muestreados.
Se obtiene calculando para la distancia de separación entre muestras (lag) la diferencia al cuadrado
de los valores de dichas muestras en una determinada dirección.
Para cada separación “h” se calcula el valor de “γ*(h)” según lo siguiente:
N: Número de pares de datos.
γ (h) ( ) ( ) f(xi): Valor de la variable regionalizada en el punto “i”.
f(xi+h): Valor de la variable a una distancia “h” de “i”.
Los valores obtenidos de “γ*(h)” se representan en un diagrama en ordenadores frente a los valores
de “h”, obteniendo un semivariograma e perimental. La velocidad de incremento “γ*(h)” con el lag
es un índice de la velocidad a la cual el área de influencia disminuye con la distancia. La distancia a la
que “γ*(h)” se hace constante corresponde al punto en el que la covarianza, “cov(h)” entre muestras
es cero. Define, por lo tanto, el área de influencia de una muestra.
MODELOS DE SEMIVARIOGRAMAS:
El krigeaje necesita utilizar un modelo de semivariograma determinado y que debe cumplir unos re-
quisitas matemáticos. Debe ser condicionalmente definido negativo, ya que tiene que asegurar que el
sistema de “n + ” ecuaciones con “n + ” incógnitas tenga una sola solución.
El valor del semivariograma para una distancia 0 debería ser 0; sin embargo, muchas veces no es así,
teniendo un e ecto pepita “C0”. Las causas de ello son muy diversas: errores de muestreo, oscilación
de la variable a pequeña escala, etc. Los modelos a considerar se agrupan en dos categorías:
- Modelos de transición, que alcanzan una meseta:
En este modelo la curva asciende progresivamente
hasta alcanzar la meseta, siendo la distancia a la que
alcanza esta meseta el alcance o rango:
- Modelo exponencial:
En este modelo, la curva va aumentando pro-
gresivamente hasta alcanzar la meseta a un va-
lor constante, pudiendo existir dos esquemas:
C: Valor comprendido entre pepita y meseta.
- Formery → γ (h) C e +C
h: Distancia.
a: Alcance o rango.
- Gaussiano → γ (h) C e +C
C0: Efecto pepita.
