ÍNDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN: .............................................................................................................. 1
CAPÍTULO 1.LAS MATEMÁTICAS EN MESOPOTAMIA. ............................................ 9
1.1.- Antecedentes: ................................................................................................................ 9
1.2.- Introducción: ................................................................................................................. 11
1.3.- Problemas: ................................................................................................................... 12
CAPÍTULO 2. El ESPLENDOR DE LAS MATEMÁTICAS GRIEGAS, LA
ARITMÉTICA DE DIOFANTO: ............................................................................................... 42
2.1.- Antecedentes: .............................................................................................................. 42
2. 2.- Introducción: ................................................................................................................ 45
1.3. - Definiciones: ................................................................................................................ 45
2. 4.- Problemas: .................................................................................................................. 47
CAPÍTULO 3. AL-KHWARIZMI Y EL KITĀB AL-MUKHTASAR FĪ HISĀB AL-JA’OR
WA’L-MUQĀBALA O KITĀB AL-JABR WA’LMUQĀBALA (LIBRO DE
RESTAURACIÓN Y OPOSICIÓN). ....................................................................................... 69
3. 1.- Antecedentes: ............................................................................................................. 69
3. 2.- Introducción: ................................................................................................................ 69
3.3.- El libro de álgebra de mohammed ben musa. contenido y problemas: .............. 72
CAPÍTULO 4. EL LIBRO DE ÁLGEBRA DE ABU KAMIL. .......................................... 91
4.1.- Antecedentes. .............................................................................................................. 91
4.2.- Problemas. ................................................................................................................... 94
CAPÍTULO 5. EPÍLOGO: EL DESPERTAR DE LA MATEMÁTICA ÁRABE EN
OCCIDENTE. .......................................................................................................................... 109
CONCLUSIONES: ......................................................................................................... 118
,INTRODUCCIÓN:
En los dominios de la historia de las matemáticas, al igual que en los de
tantas otras disciplinas, se producen polémicas o discusiones sobre los
orígenes de las diferentes ramas que integran la o las matemáticas. Uno de
estos enfrentamientos, quizá de los más ásperos, ha girado en torno de la
naturaleza del ‘álgebra geométrica’ y de cuándo fechar como ya establecido su
uso en la solución de problemas. Hasta la década de 1970 era común que los
académicos interesados en cuestiones históricas hablasen del ‘álgebra de los
griegos’, inspirados en gran medida por la publicación –que no necesariamente
implica se le leyera– en los años 30 de la obra de Jacob Klein traducida en
1968 al inglés como Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. La
tentación o inevitable acción de mirar el pasado bajo la perspectiva del
presente no era nueva. Ya Hans Georg Zeuthen, seguido por varios más, había
planteado la existencia de un ‘álgebra geométrica’ inmersa en la antigua
‘geometría teórica’ –para contrastarla con una ‘geometría práctica’ que no
requería de justificaciones más allá de su efectividad en el uso– y que se puede
resumir en dos aseveraciones: i) Los griegos poseían un sistema de
razonamiento análogo a nuestra álgebra; ii) Los griegos tenían pleno
conocimiento de métodos para resolver problemas cuadráticos (como los que
nos ofrece la tradición babilónica) y que los Libros II y VI de los Elementos
contienen proposiciones dirigidas a formalizar los fundamentos teóricos de
tales métodos.
Esta problemática pronto perdió su atractivo, básicamente por carecer
de material con el cual corroborar sus pretensiones, pues hay que recordar que
a fines del siglo XIX difícilmente se podía encontrar orientalistas con
conocimientos matemáticos. Llegada la primera mitad del siglo XX, con la
disponibilidad de miles de tablillas sin descifrar, pero contando ahora con el
interés de múltiples instituciones –museos, universidades y emprendedores
independientes–, y la devoción de algunos académicos con horizontes más
amplios y mayor refinamiento intelectual, hubo quienes, sin haber leído a
Zeuthen, de manera independiente se plantearon si sería posible remontar las
1
,raíces de esta ‘álgebra geométrica’ a etapas anteriores de la civilización griega,
y para su sorpresa resultó que desde el periodo de entreguerras había quien
había abordado esta problemática: Otto Neugebauer.
Neugebauer no pretendía, cuando inició sus estudios de la matemática
mesopotámica, establecer lazos entre esta matemática y la griega. Su objetivo
era simplemente averiguar el talante y alcance de los contenidos de carácter
matemático de las tablillas que se habían recolectado, por miles, en las
regiones arenosas donde habían florecido las más antiguas civilizaciones del
Medio Oriente. Lo que publicó en los años 30 fue espectacular: las tablillas –
depositarias de relatos, manuales y ejercicios, todos expresados en escritura
cuneiforme– decodificadas y analizadas, revelaban la existencia de técnicas
muy sofisticadas para el manejo de relaciones numéricas expresadas mediante
ideogramas y números representados en base sexagesimal.1 En particular,
Neugebauer mostró que estas técnicas podían fácilmente ser traducidas a los
planteamientos del álgebra de nuestros días, lo cual a su vez permitía suponer
que el ‘álgebra geométrica’ de los griegos era la traducción de un ‘álgebra
numérica’ babilónica.
Esta interpretación era por demás atractiva para quienes buscan lazos
de continuidad en las grandes corrientes del pensamiento. Y esto en ocasiones
nubla la capacidad crítica, aun en mentes tan preclaras como la de
Neugebauer, pues a pesar de estar consciente del cuidado que debía tener de
no sobreestimar o exagerar el carácter algebraico de las matemáticas
babilónicas, algo que sí tomó en cuenta en sus publicaciones más eruditas, no
ocurrió así en trabajos dirigidos a un público no especializado, como serían los
lectores de The Exact Sciences in Antiquity.2 En esta obra, y en otras más,
como lo señala Jens Høyrup,3 era casi “imposible distinguir una justificación a
través de una interpretación como álgebra”.
1
Neugebauer, O. 1935–1937. Mathematische Keilschrift-Texte I-III. Quellen und Studien zur Geschichte
der Mathematik, Astronomie und Physik. Reedición: Neugebauer, O. (2013). Mathematische Keilschrift-
Texte: mathematical cuneiform texts. Springer-Verlag.
2
Neugebauer, O.,1969. The exact sciences in antiquity.
3
Høyrup, J. ,1996, p. 9.
2
, Una vez borrada la línea de separación entre las dos interpretaciones
anteriores, la puerta quedaba abierta para que los lectores de Neugebauer, o
los difusores, historiadores o demás personas que ofrecían recopilaciones de
los saberes antiguos, difundieran esta visión errónea del carácter de la
matemática babilónica. Esta cuestión llegó a mayores cuando fue retomada
por matemáticos o historiadores, o aficionados a la matemática o a su historia,
que construyeron su propia versión de lo que serían las virtudes, alcances y
naturaleza de las matemáticas babilónica y griega. Un caso extremo de esta
situación la ofrece André Weil, uno de los más influyentes matemáticos de
mediados del siglo XX. Con un evidente desconocimiento sobre exactamente
qué y cómo se expresaban los textos babilónicos, Weil manifestó que no había
ninguna dificultad en aceptar la existencia de una agenda algebraica semi-
oculta en las tablillas cuneiformes, y que era trivial reconocer que
“cuando ecuaciones cuadráticas, resueltas algebraicamente en los
textos cuneiformes, vuelven a la superficie con Euclides, revestidas con ropajes
geométricos sin que para ello haya alguna motivación geométrica, los
matemáticos considerarán apropiado describir este tratamiento como ‘álgebra
geométrica’, y se verán inclinados a suponer alguna conexión con Babilonia,
aun en ausencia de evidencias “históricas” concretas. Nadie pide
documentación alguna que dé testimonio del origen común del griego, el ruso y
el sánscrito, ni levanta objeciones para referirse a ellos como lenguajes
indoeuropeos.”4
Y va por más, señalando que solo quienes poseen un conocimiento
excepcional de las matemáticas, rebasando el entendimiento usual, podrían
alcanzar una sapiencia profunda de los logros del periodo en que fueron
fechadas las tablillas, y solo quienes respondan a esta descripción podrán
alcanzar a recuperar las ideas que flotan “en el aire”, es decir, en nuestras
mentes. El ejemplo que aduce para que se entienda esto constituye la
apoteosis del pensamiento platonizante de Weil: refiriéndose a las teorías
sobre ratios y proporciones contenidas en los Elementos de Euclides, Weil
sostuvo que:
4
Weil, André, 1980, p. 435.
3
INTRODUCCIÓN: .............................................................................................................. 1
CAPÍTULO 1.LAS MATEMÁTICAS EN MESOPOTAMIA. ............................................ 9
1.1.- Antecedentes: ................................................................................................................ 9
1.2.- Introducción: ................................................................................................................. 11
1.3.- Problemas: ................................................................................................................... 12
CAPÍTULO 2. El ESPLENDOR DE LAS MATEMÁTICAS GRIEGAS, LA
ARITMÉTICA DE DIOFANTO: ............................................................................................... 42
2.1.- Antecedentes: .............................................................................................................. 42
2. 2.- Introducción: ................................................................................................................ 45
1.3. - Definiciones: ................................................................................................................ 45
2. 4.- Problemas: .................................................................................................................. 47
CAPÍTULO 3. AL-KHWARIZMI Y EL KITĀB AL-MUKHTASAR FĪ HISĀB AL-JA’OR
WA’L-MUQĀBALA O KITĀB AL-JABR WA’LMUQĀBALA (LIBRO DE
RESTAURACIÓN Y OPOSICIÓN). ....................................................................................... 69
3. 1.- Antecedentes: ............................................................................................................. 69
3. 2.- Introducción: ................................................................................................................ 69
3.3.- El libro de álgebra de mohammed ben musa. contenido y problemas: .............. 72
CAPÍTULO 4. EL LIBRO DE ÁLGEBRA DE ABU KAMIL. .......................................... 91
4.1.- Antecedentes. .............................................................................................................. 91
4.2.- Problemas. ................................................................................................................... 94
CAPÍTULO 5. EPÍLOGO: EL DESPERTAR DE LA MATEMÁTICA ÁRABE EN
OCCIDENTE. .......................................................................................................................... 109
CONCLUSIONES: ......................................................................................................... 118
,INTRODUCCIÓN:
En los dominios de la historia de las matemáticas, al igual que en los de
tantas otras disciplinas, se producen polémicas o discusiones sobre los
orígenes de las diferentes ramas que integran la o las matemáticas. Uno de
estos enfrentamientos, quizá de los más ásperos, ha girado en torno de la
naturaleza del ‘álgebra geométrica’ y de cuándo fechar como ya establecido su
uso en la solución de problemas. Hasta la década de 1970 era común que los
académicos interesados en cuestiones históricas hablasen del ‘álgebra de los
griegos’, inspirados en gran medida por la publicación –que no necesariamente
implica se le leyera– en los años 30 de la obra de Jacob Klein traducida en
1968 al inglés como Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. La
tentación o inevitable acción de mirar el pasado bajo la perspectiva del
presente no era nueva. Ya Hans Georg Zeuthen, seguido por varios más, había
planteado la existencia de un ‘álgebra geométrica’ inmersa en la antigua
‘geometría teórica’ –para contrastarla con una ‘geometría práctica’ que no
requería de justificaciones más allá de su efectividad en el uso– y que se puede
resumir en dos aseveraciones: i) Los griegos poseían un sistema de
razonamiento análogo a nuestra álgebra; ii) Los griegos tenían pleno
conocimiento de métodos para resolver problemas cuadráticos (como los que
nos ofrece la tradición babilónica) y que los Libros II y VI de los Elementos
contienen proposiciones dirigidas a formalizar los fundamentos teóricos de
tales métodos.
Esta problemática pronto perdió su atractivo, básicamente por carecer
de material con el cual corroborar sus pretensiones, pues hay que recordar que
a fines del siglo XIX difícilmente se podía encontrar orientalistas con
conocimientos matemáticos. Llegada la primera mitad del siglo XX, con la
disponibilidad de miles de tablillas sin descifrar, pero contando ahora con el
interés de múltiples instituciones –museos, universidades y emprendedores
independientes–, y la devoción de algunos académicos con horizontes más
amplios y mayor refinamiento intelectual, hubo quienes, sin haber leído a
Zeuthen, de manera independiente se plantearon si sería posible remontar las
1
,raíces de esta ‘álgebra geométrica’ a etapas anteriores de la civilización griega,
y para su sorpresa resultó que desde el periodo de entreguerras había quien
había abordado esta problemática: Otto Neugebauer.
Neugebauer no pretendía, cuando inició sus estudios de la matemática
mesopotámica, establecer lazos entre esta matemática y la griega. Su objetivo
era simplemente averiguar el talante y alcance de los contenidos de carácter
matemático de las tablillas que se habían recolectado, por miles, en las
regiones arenosas donde habían florecido las más antiguas civilizaciones del
Medio Oriente. Lo que publicó en los años 30 fue espectacular: las tablillas –
depositarias de relatos, manuales y ejercicios, todos expresados en escritura
cuneiforme– decodificadas y analizadas, revelaban la existencia de técnicas
muy sofisticadas para el manejo de relaciones numéricas expresadas mediante
ideogramas y números representados en base sexagesimal.1 En particular,
Neugebauer mostró que estas técnicas podían fácilmente ser traducidas a los
planteamientos del álgebra de nuestros días, lo cual a su vez permitía suponer
que el ‘álgebra geométrica’ de los griegos era la traducción de un ‘álgebra
numérica’ babilónica.
Esta interpretación era por demás atractiva para quienes buscan lazos
de continuidad en las grandes corrientes del pensamiento. Y esto en ocasiones
nubla la capacidad crítica, aun en mentes tan preclaras como la de
Neugebauer, pues a pesar de estar consciente del cuidado que debía tener de
no sobreestimar o exagerar el carácter algebraico de las matemáticas
babilónicas, algo que sí tomó en cuenta en sus publicaciones más eruditas, no
ocurrió así en trabajos dirigidos a un público no especializado, como serían los
lectores de The Exact Sciences in Antiquity.2 En esta obra, y en otras más,
como lo señala Jens Høyrup,3 era casi “imposible distinguir una justificación a
través de una interpretación como álgebra”.
1
Neugebauer, O. 1935–1937. Mathematische Keilschrift-Texte I-III. Quellen und Studien zur Geschichte
der Mathematik, Astronomie und Physik. Reedición: Neugebauer, O. (2013). Mathematische Keilschrift-
Texte: mathematical cuneiform texts. Springer-Verlag.
2
Neugebauer, O.,1969. The exact sciences in antiquity.
3
Høyrup, J. ,1996, p. 9.
2
, Una vez borrada la línea de separación entre las dos interpretaciones
anteriores, la puerta quedaba abierta para que los lectores de Neugebauer, o
los difusores, historiadores o demás personas que ofrecían recopilaciones de
los saberes antiguos, difundieran esta visión errónea del carácter de la
matemática babilónica. Esta cuestión llegó a mayores cuando fue retomada
por matemáticos o historiadores, o aficionados a la matemática o a su historia,
que construyeron su propia versión de lo que serían las virtudes, alcances y
naturaleza de las matemáticas babilónica y griega. Un caso extremo de esta
situación la ofrece André Weil, uno de los más influyentes matemáticos de
mediados del siglo XX. Con un evidente desconocimiento sobre exactamente
qué y cómo se expresaban los textos babilónicos, Weil manifestó que no había
ninguna dificultad en aceptar la existencia de una agenda algebraica semi-
oculta en las tablillas cuneiformes, y que era trivial reconocer que
“cuando ecuaciones cuadráticas, resueltas algebraicamente en los
textos cuneiformes, vuelven a la superficie con Euclides, revestidas con ropajes
geométricos sin que para ello haya alguna motivación geométrica, los
matemáticos considerarán apropiado describir este tratamiento como ‘álgebra
geométrica’, y se verán inclinados a suponer alguna conexión con Babilonia,
aun en ausencia de evidencias “históricas” concretas. Nadie pide
documentación alguna que dé testimonio del origen común del griego, el ruso y
el sánscrito, ni levanta objeciones para referirse a ellos como lenguajes
indoeuropeos.”4
Y va por más, señalando que solo quienes poseen un conocimiento
excepcional de las matemáticas, rebasando el entendimiento usual, podrían
alcanzar una sapiencia profunda de los logros del periodo en que fueron
fechadas las tablillas, y solo quienes respondan a esta descripción podrán
alcanzar a recuperar las ideas que flotan “en el aire”, es decir, en nuestras
mentes. El ejemplo que aduce para que se entienda esto constituye la
apoteosis del pensamiento platonizante de Weil: refiriéndose a las teorías
sobre ratios y proporciones contenidas en los Elementos de Euclides, Weil
sostuvo que:
4
Weil, André, 1980, p. 435.
3
