Índice general
Agradecimientos iii
INTRODUCCIÓN v
Capı́tulo 0. Resultados preliminares 1
1. Grupos abelianos 1
2. Invariantes cardinales del continuo 10
3. El axioma de Martin 18
Capı́tulo I. El problema de Whitehead 23
1. El problema de la extensión 23
2. Propiedades homológicas de los W-grupos 25
3. Acerca de los W-grupos numerables 27
4. Los W-grupos de orden ω1 32
5. “Todo W-grupo es libre” es consistente 34
6. “Todo W-grupo es libre” es independiente 40
Capı́tulo II. La cofinalidad del grupo simétrico infinito 47
1. Los grupos simétricos y algunas de sus propiedades 47
2. La cofinalidad del grupo simétrico infinito 51
3. Una ligera variante del cardinal cf(S ω ) y una cota superior para este último 53
4. Una cota inferior para cf(S ω ) 60
Capı́tulo III. Cocientes del grupo simétrico infinito y su espectro abeliano maximal 67
1. Los cardinales A(S ω / ) y a. 67
2. Los grupos S ω / (I) y los cardinales a(I) 75
3. Una cota inferior para el cardinal A([ω]<ω ) 82
Conclusiones 89
Bibliografı́a 91
Índice alfabético 93
i
, INTRODUCCIÓN
Es sumamente célebre el resultado comúnmente conocido como segundo teorema de incomple-
titud de Gödel, que afirma que en cualquier sistema axiomático “suficientemente fuerte”, necesa-
riamente habrá proposiciones indecidibles, es decir, proposiciones tales que ni ellas ni su negación
son demostrables dentro del sistema. En particular, dentro del sistema axiomático de la Teorı́a de
Conjuntos, ZFE, debe de haber tales proposiciones indecidibles. Sin embargo, la manera en que
Gödel demostró su resultado consistió básicamente en elaborar, dentro del sistema, una proposi-
ción que en cierto sentido afirmara de sı́ misma que no es demostrable. En virtud de ello, podrı́a
pensarse que todas las proposiciones que son indecidibles resultan ser tan “artificiales” como la
que construyó Gödel, y de hecho, comúnmente los matemáticos tienden a pensar que los proble-
mas que surgen de manera “natural” dentro de la matemática no serán afectados por el mencionado
resultado de Gödel. Sin embargo, lentamente se han ido descubriendo proposiciones matemáticas
genuinas que, pese a haber surgido de manera natural, han resultado ser indecidibles. Una de estas
proposiciones, históricamente el primer ejemplo auténtico de este fenómeno, es la hipótesis del
continuo que asegura que 2ω = ω1 .
Actualmente hay numerosos ejemplos de este tipo de problemas o de proposiciones en diversas
áreas de las matemáticas, tales como la topologı́a de conjuntos o el análisis matemático. El objetivo
de este trabajo de tesis es recopilar algunos ejemplos representativos de la aparición de este tipo de
problemas en el área del álgebra. Tres fueron los problemas elegidos. En primer lugar, se describe la
solución dada al problema de Whitehead por S. Shelah. Posteriormente, se eligieron dos problemas
concernientes a invariantes cardinales del continuo que pueden definirse en términos del grupo
simétrico infinito, es decir, el grupo de permutaciones sobre una cantidad infinita numerable de
sı́mbolos. Estos invariantes cardinales son denotados por cf(S ω ) y A([ω]<ω ), y son cardinales que
se encuentran entre ω1 y 2ω . En este trabajo se presentan buenas cotas superiores e inferiores para
ambos cardinales, ubicándolos adecuadamente en relación a los demás invariantes cardinales del
continuo.
En primer lugar, se escribió un capı́tulo 0 para que éste contuviera todo aquello que, si bien
es necesario para comprender el resto de la tesis, no representa una parte central de la misma,
por lo que convenı́a reportar ese material en un capı́tulo aparte. En la primera sección se habla un
v
,vi INTRODUCCIÓN
poco de grupos abelianos libres, material utilizado en los capı́tulos I y III. Posteriormente, en la
segunda sección, se introducen aquellos invariantes cardinales del continuo que se utilizarán en los
capı́tulos II y III, demostrando las principales desigualdades que se dan entre ellos. Finalmente,
en la tercera sección se menciona aquello en lo que consiste el axioma de Martin, ası́ como un
importante resultado acerca de preórdenes σ-centrados debido a M. Bell, que se utilizará en el
capı́tulo III.
Posteriormente, el que propiamente es el primer capı́tulo de la tesis está destinado a hablar del
problema de Whitehead, que consiste en caracterizar los grupos abelianos G tales que Ext(G, ) =
h0i (a tales grupos se les conoce como W-grupos, o grupos de Whitehead). La primera sección
es básicamente una discusión que sirve para motivar y plantear el problema de Whitehead. En la
segunda sección, se detallan algunas propiedades, que ya corresponden propiamente a la teorı́a de
grupos, acerca de los W-grupos, que en general son análogas a propiedades que poseen los grupos
abelianos libres. En la siguiente sección se demuestra que los W-grupos numerables son libres,
mientras que en la cuarta sección se generalizan los métodos empleados en la sección anterior, con
el objetivo de investigar el comportamiento y las propiedades de los W-grupos de cardinalidad ω1 .
En la quinta sección se demuestra la consistencia (utilizando el axioma de constructibilidad) de que
todo W-grupo de cardinalidad ω1 sea libre, mientras que en la sexta y última sección se demuestra
la consistencia del enunciado opuesto, es decir, de que existen W-grupos que no son libres. En esta
última prueba, se utiliza el axioma de Martin, estableciendo de esta manera que el problema de
Whitehead es indecidible dentro del sistema axiomático ZFE.
A continuación, en el segundo capı́tulo se comienza a trabajar con el grupo simétrico infinito,
es decir, el grupo S ω de biyecciones de ω en ω; y sobre todo, con el invariante cardinal cf(S ω )
definido en base a este grupo. En la primera sección se hablan los hechos básicos acerca de este
grupo, mientras que en la segunda sección se define el invariante cardinal cf(S ω ), la cofinalidad
del grupo simétrico infinito, y se comienza a demostrar las primeras propiedades básicas de este
invariante (por ejemplo, que cf(S ω ) ≥ ω1 , y que es consistente con ZFE que esta desigualdad sea
estricta). En la tercera sección se trabaja con una ligera variante de este cardinal, el cardinal cf ∗ (S ω ),
con ayuda del cual se demuestra que cf(S ω ) ≤ d, y se avanza en la investigación de las posibles
cotas inferiores de cf(S ω ). Finalmente, en la última sección se expone el resultado principal de este
capı́tulo, a saber, una demostración —debida a Brendle y Losada— dentro de ZFE de la desigualdad
cf(S ω ) ≥ g.
Por último, en el tercer capı́tulo se comienza a trabajar con ciertos cocientes del grupo S ω ,
fundamentalmente con el cociente S ω /!, en donde ! es el subgrupo (que es normal en S ω ) de
permutaciones que mueven únicamente a una cantidad finita de elementos. En la primera sección
se define lo que es el espectro abeliano maximal, A([ω]<ω ), y se demuestra que a ≥ A([ω]<ω ). En la
, INTRODUCCIÓN vii
tercera sección se demuestra que p ≤ A([ω]<ω ). A manera de intermedio, en la segunda sección se
define lo que es el espectro maximal generalizado A(I), para I un ideal sobre ω. También se define
el número casi ajeno maximal sobre un ideal I, a(I), y se subraya el hecho de que nuestro viejo
conocido a no es otra cosa que a([ω]<ω ). Ası́, se demuestra que no puede generalizarse el resultado
de la primera sección, en el sentido de que, si bien a([ω]<ω ) ≥ A([ω]<ω ), es posible construir ideales
I para los cuales es consistente con ZFE que A(I) > a(I). Esto finaliza el presente trabajo de tesis.
Dada la tasa de aparición, en varias ramas de la matemática, de problemas que requieren un
sólido conocimiento de las herramientas de la Teorı́a de Conjuntos para poder ser comprendidos
y atacados, es de esperarse que lentamente dicho conocimiento vaya tornándose cada vez más
indispensable para el matemático común y corriente. Áreas como la teorı́a de la medida, el álgebra
o la topologı́a de conjuntos se encuentran cada vez más cercanas a la teorı́a de conjuntos, y el
conocimiento de esta última cada vez resulta más indispensable para comprender adecuadamente
las primeras. El presente trabajo de tesis, centrado en el álgebra, espera poder ilustrar de una manera
clara la naturalidad con la que surgen ciertos problemas, que de pronto parecen más conjuntistas
que algebraicos, pero que en ningún momento dejan de ser auténticos problemas matemáticos, que
carecen de toda traza de “artificialidad”.
Agradecimientos iii
INTRODUCCIÓN v
Capı́tulo 0. Resultados preliminares 1
1. Grupos abelianos 1
2. Invariantes cardinales del continuo 10
3. El axioma de Martin 18
Capı́tulo I. El problema de Whitehead 23
1. El problema de la extensión 23
2. Propiedades homológicas de los W-grupos 25
3. Acerca de los W-grupos numerables 27
4. Los W-grupos de orden ω1 32
5. “Todo W-grupo es libre” es consistente 34
6. “Todo W-grupo es libre” es independiente 40
Capı́tulo II. La cofinalidad del grupo simétrico infinito 47
1. Los grupos simétricos y algunas de sus propiedades 47
2. La cofinalidad del grupo simétrico infinito 51
3. Una ligera variante del cardinal cf(S ω ) y una cota superior para este último 53
4. Una cota inferior para cf(S ω ) 60
Capı́tulo III. Cocientes del grupo simétrico infinito y su espectro abeliano maximal 67
1. Los cardinales A(S ω / ) y a. 67
2. Los grupos S ω / (I) y los cardinales a(I) 75
3. Una cota inferior para el cardinal A([ω]<ω ) 82
Conclusiones 89
Bibliografı́a 91
Índice alfabético 93
i
, INTRODUCCIÓN
Es sumamente célebre el resultado comúnmente conocido como segundo teorema de incomple-
titud de Gödel, que afirma que en cualquier sistema axiomático “suficientemente fuerte”, necesa-
riamente habrá proposiciones indecidibles, es decir, proposiciones tales que ni ellas ni su negación
son demostrables dentro del sistema. En particular, dentro del sistema axiomático de la Teorı́a de
Conjuntos, ZFE, debe de haber tales proposiciones indecidibles. Sin embargo, la manera en que
Gödel demostró su resultado consistió básicamente en elaborar, dentro del sistema, una proposi-
ción que en cierto sentido afirmara de sı́ misma que no es demostrable. En virtud de ello, podrı́a
pensarse que todas las proposiciones que son indecidibles resultan ser tan “artificiales” como la
que construyó Gödel, y de hecho, comúnmente los matemáticos tienden a pensar que los proble-
mas que surgen de manera “natural” dentro de la matemática no serán afectados por el mencionado
resultado de Gödel. Sin embargo, lentamente se han ido descubriendo proposiciones matemáticas
genuinas que, pese a haber surgido de manera natural, han resultado ser indecidibles. Una de estas
proposiciones, históricamente el primer ejemplo auténtico de este fenómeno, es la hipótesis del
continuo que asegura que 2ω = ω1 .
Actualmente hay numerosos ejemplos de este tipo de problemas o de proposiciones en diversas
áreas de las matemáticas, tales como la topologı́a de conjuntos o el análisis matemático. El objetivo
de este trabajo de tesis es recopilar algunos ejemplos representativos de la aparición de este tipo de
problemas en el área del álgebra. Tres fueron los problemas elegidos. En primer lugar, se describe la
solución dada al problema de Whitehead por S. Shelah. Posteriormente, se eligieron dos problemas
concernientes a invariantes cardinales del continuo que pueden definirse en términos del grupo
simétrico infinito, es decir, el grupo de permutaciones sobre una cantidad infinita numerable de
sı́mbolos. Estos invariantes cardinales son denotados por cf(S ω ) y A([ω]<ω ), y son cardinales que
se encuentran entre ω1 y 2ω . En este trabajo se presentan buenas cotas superiores e inferiores para
ambos cardinales, ubicándolos adecuadamente en relación a los demás invariantes cardinales del
continuo.
En primer lugar, se escribió un capı́tulo 0 para que éste contuviera todo aquello que, si bien
es necesario para comprender el resto de la tesis, no representa una parte central de la misma,
por lo que convenı́a reportar ese material en un capı́tulo aparte. En la primera sección se habla un
v
,vi INTRODUCCIÓN
poco de grupos abelianos libres, material utilizado en los capı́tulos I y III. Posteriormente, en la
segunda sección, se introducen aquellos invariantes cardinales del continuo que se utilizarán en los
capı́tulos II y III, demostrando las principales desigualdades que se dan entre ellos. Finalmente,
en la tercera sección se menciona aquello en lo que consiste el axioma de Martin, ası́ como un
importante resultado acerca de preórdenes σ-centrados debido a M. Bell, que se utilizará en el
capı́tulo III.
Posteriormente, el que propiamente es el primer capı́tulo de la tesis está destinado a hablar del
problema de Whitehead, que consiste en caracterizar los grupos abelianos G tales que Ext(G, ) =
h0i (a tales grupos se les conoce como W-grupos, o grupos de Whitehead). La primera sección
es básicamente una discusión que sirve para motivar y plantear el problema de Whitehead. En la
segunda sección, se detallan algunas propiedades, que ya corresponden propiamente a la teorı́a de
grupos, acerca de los W-grupos, que en general son análogas a propiedades que poseen los grupos
abelianos libres. En la siguiente sección se demuestra que los W-grupos numerables son libres,
mientras que en la cuarta sección se generalizan los métodos empleados en la sección anterior, con
el objetivo de investigar el comportamiento y las propiedades de los W-grupos de cardinalidad ω1 .
En la quinta sección se demuestra la consistencia (utilizando el axioma de constructibilidad) de que
todo W-grupo de cardinalidad ω1 sea libre, mientras que en la sexta y última sección se demuestra
la consistencia del enunciado opuesto, es decir, de que existen W-grupos que no son libres. En esta
última prueba, se utiliza el axioma de Martin, estableciendo de esta manera que el problema de
Whitehead es indecidible dentro del sistema axiomático ZFE.
A continuación, en el segundo capı́tulo se comienza a trabajar con el grupo simétrico infinito,
es decir, el grupo S ω de biyecciones de ω en ω; y sobre todo, con el invariante cardinal cf(S ω )
definido en base a este grupo. En la primera sección se hablan los hechos básicos acerca de este
grupo, mientras que en la segunda sección se define el invariante cardinal cf(S ω ), la cofinalidad
del grupo simétrico infinito, y se comienza a demostrar las primeras propiedades básicas de este
invariante (por ejemplo, que cf(S ω ) ≥ ω1 , y que es consistente con ZFE que esta desigualdad sea
estricta). En la tercera sección se trabaja con una ligera variante de este cardinal, el cardinal cf ∗ (S ω ),
con ayuda del cual se demuestra que cf(S ω ) ≤ d, y se avanza en la investigación de las posibles
cotas inferiores de cf(S ω ). Finalmente, en la última sección se expone el resultado principal de este
capı́tulo, a saber, una demostración —debida a Brendle y Losada— dentro de ZFE de la desigualdad
cf(S ω ) ≥ g.
Por último, en el tercer capı́tulo se comienza a trabajar con ciertos cocientes del grupo S ω ,
fundamentalmente con el cociente S ω /!, en donde ! es el subgrupo (que es normal en S ω ) de
permutaciones que mueven únicamente a una cantidad finita de elementos. En la primera sección
se define lo que es el espectro abeliano maximal, A([ω]<ω ), y se demuestra que a ≥ A([ω]<ω ). En la
, INTRODUCCIÓN vii
tercera sección se demuestra que p ≤ A([ω]<ω ). A manera de intermedio, en la segunda sección se
define lo que es el espectro maximal generalizado A(I), para I un ideal sobre ω. También se define
el número casi ajeno maximal sobre un ideal I, a(I), y se subraya el hecho de que nuestro viejo
conocido a no es otra cosa que a([ω]<ω ). Ası́, se demuestra que no puede generalizarse el resultado
de la primera sección, en el sentido de que, si bien a([ω]<ω ) ≥ A([ω]<ω ), es posible construir ideales
I para los cuales es consistente con ZFE que A(I) > a(I). Esto finaliza el presente trabajo de tesis.
Dada la tasa de aparición, en varias ramas de la matemática, de problemas que requieren un
sólido conocimiento de las herramientas de la Teorı́a de Conjuntos para poder ser comprendidos
y atacados, es de esperarse que lentamente dicho conocimiento vaya tornándose cada vez más
indispensable para el matemático común y corriente. Áreas como la teorı́a de la medida, el álgebra
o la topologı́a de conjuntos se encuentran cada vez más cercanas a la teorı́a de conjuntos, y el
conocimiento de esta última cada vez resulta más indispensable para comprender adecuadamente
las primeras. El presente trabajo de tesis, centrado en el álgebra, espera poder ilustrar de una manera
clara la naturalidad con la que surgen ciertos problemas, que de pronto parecen más conjuntistas
que algebraicos, pero que en ningún momento dejan de ser auténticos problemas matemáticos, que
carecen de toda traza de “artificialidad”.
