UPC – Departamento de Ciencias – Cálculo I
LECTURA 1.1.B
Operaciones con límites – Forma
indeterminada 0/0 – Asíntotas verticales
Introducción
El concepto de límite es fundamental en el cálculo y en muchas áreas del análisis matemático.
Permite describir el comportamiento de una función cuando su variable independiente se aproxima
a un determinado valor. Una vez comprendida la definición de límite, es importante aprender a
realizar operaciones con ellos, como sumas, restas, productos, cocientes y potencias.
Estas operaciones permiten simplificar la evaluación de límites complejos a partir de límites más
sencillos. Dominar estas propiedades no solo facilita el cálculo de límites, sino que también ayuda
a entender el comportamiento de las funciones en puntos críticos o indeterminados.
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, UPC – Departamento de Ciencias – Cálculo I
Motivación
Las propiedades de límite son herramientas clave para el desarrollo de otros temas como la
derivación y la integración. Por eso, entender cómo se operan los límites es esencial para avanzar
en el estudio del cálculo. Además, muchas expresiones matemáticas presentan formas
indeterminadas como 0/0 o ∞/∞. Las operaciones con límites nos permiten transformarlas y hallar
resultados válidos.
Saber dónde están las asíntotas ayuda a esbozar gráficos más precisos sin necesidad de muchos
puntos, lo cual es clave para entender discontinuidades. Asimismo, en modelos donde ciertas
condiciones provocan un crecimiento descontrolado (como una reacción química o una crisis
económica), las asíntotas verticales representan esos puntos de "ruptura".
Propiedades con límites
En esta sección se utilizan las propiedades de los límites siguientes, llamadas leyes de los límites,
para calcularlos.
Leyes de los límites
Suponga que 𝑐 es una constante y que los límites lim 𝑓(𝑥) y lim 𝑔(𝑥) existen. Entonces,
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
1. lim 𝑐 = 𝑐
𝑥→𝑎
2. lim 𝑥 = 𝑎
𝑥→𝑎
3. lim 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 donde 𝑛 es un entero positivo
𝑥→𝑎
𝑛 𝑛
4. lim √𝑥 = √𝑎 donde 𝑛 es un entero positivo (si 𝑛 es par, se supone que 𝑎 > 0)
𝑥→𝑎
𝑛
5. lim √𝑓(𝑥) = 𝑛√ lim 𝑓(𝑥) donde 𝑛 ∈ ℤ+ (si 𝑛 es par, se supone que lim 𝑓(𝑥) > 0)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
6. lim [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) + lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
7. lim [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
8. lim [𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
9. lim [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ⋅ lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) lim 𝑓(𝑥)
10. lim 𝑔(𝑥) = 𝑥→𝑎
lim 𝑔(𝑥)
si lim 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑛
11. lim [𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim 𝑓(𝑥)] donde 𝑛 es un entero positivo
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
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LECTURA 1.1.B
Operaciones con límites – Forma
indeterminada 0/0 – Asíntotas verticales
Introducción
El concepto de límite es fundamental en el cálculo y en muchas áreas del análisis matemático.
Permite describir el comportamiento de una función cuando su variable independiente se aproxima
a un determinado valor. Una vez comprendida la definición de límite, es importante aprender a
realizar operaciones con ellos, como sumas, restas, productos, cocientes y potencias.
Estas operaciones permiten simplificar la evaluación de límites complejos a partir de límites más
sencillos. Dominar estas propiedades no solo facilita el cálculo de límites, sino que también ayuda
a entender el comportamiento de las funciones en puntos críticos o indeterminados.
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, UPC – Departamento de Ciencias – Cálculo I
Motivación
Las propiedades de límite son herramientas clave para el desarrollo de otros temas como la
derivación y la integración. Por eso, entender cómo se operan los límites es esencial para avanzar
en el estudio del cálculo. Además, muchas expresiones matemáticas presentan formas
indeterminadas como 0/0 o ∞/∞. Las operaciones con límites nos permiten transformarlas y hallar
resultados válidos.
Saber dónde están las asíntotas ayuda a esbozar gráficos más precisos sin necesidad de muchos
puntos, lo cual es clave para entender discontinuidades. Asimismo, en modelos donde ciertas
condiciones provocan un crecimiento descontrolado (como una reacción química o una crisis
económica), las asíntotas verticales representan esos puntos de "ruptura".
Propiedades con límites
En esta sección se utilizan las propiedades de los límites siguientes, llamadas leyes de los límites,
para calcularlos.
Leyes de los límites
Suponga que 𝑐 es una constante y que los límites lim 𝑓(𝑥) y lim 𝑔(𝑥) existen. Entonces,
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
1. lim 𝑐 = 𝑐
𝑥→𝑎
2. lim 𝑥 = 𝑎
𝑥→𝑎
3. lim 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 donde 𝑛 es un entero positivo
𝑥→𝑎
𝑛 𝑛
4. lim √𝑥 = √𝑎 donde 𝑛 es un entero positivo (si 𝑛 es par, se supone que 𝑎 > 0)
𝑥→𝑎
𝑛
5. lim √𝑓(𝑥) = 𝑛√ lim 𝑓(𝑥) donde 𝑛 ∈ ℤ+ (si 𝑛 es par, se supone que lim 𝑓(𝑥) > 0)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
6. lim [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) + lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
7. lim [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
8. lim [𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
9. lim [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ⋅ lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) lim 𝑓(𝑥)
10. lim 𝑔(𝑥) = 𝑥→𝑎
lim 𝑔(𝑥)
si lim 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑛
11. lim [𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim 𝑓(𝑥)] donde 𝑛 es un entero positivo
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
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