H1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken:
- 1 op de 4 pabostudenten is een jongen;
- ¼ deel van de pabostudenten is een jongen;
- 25 % van de studenten op de pabo is een jongen;
- De verhouding van het aantal mannelijke studenten ten opzichte van het totale aantal
studenten is 1 : 4. Verhouding jongens en meisjes is 1 : 3
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Overeenkomsten tussen domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten:
- Ieder domein heeft een relatief aspect; “Relatieve getallen of waarden zijn afhankelijk van
andere absolute getallen. Anders gezegd staan ze in relatie tot deze andere absolute
getallen.”
- Kommagetallen zijn decimale breuken;
- Breuken en procenten kunnen beide een verhouding aangeven:
o Breuk: verhouding tussen deel en geheel;
o Percentage: verhouding tussen deel en geheel dat op honderd is gesteld
De domeinen kennen hun eigen gebruik en verschijningsvormen;
- Geld kommagetallen
- Korting en rente procenten
In het dagelijks leven worden verhoudingen, breuken en procenten gebruikt om getalsmatige
informatie weer te geven.
m/s x 3,6 km/h /3,6 m/s
1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute gegevens: getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen (500
mensen in deze zaal).
Relatieve gegevens: verhoudingsmatige gegevens waar jen iet direct het daadwerkelijke getal of
aantal aan kunt aflezen (1 op de 4 pabostudenten is man).
Zonder begrip van dit onderscheid tussen relatief en absoluut kun je veel informatie uit de krant en
het nieuws niet goed begrijpen ontwikkeling gecijferdheid
Om kinderen greep te laten krijgen op het onderscheid tussen absoluut en relatief, is het nodig om
absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband te
brengen strookmodel.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het verstandig de
getallen benoemd te noteren.
,1.2 Onderlinge relaties
1.2.1 Begrip
Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken
getallen, besteden methodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Om de
samenhang te kunnen doorzien, is het nodig dat kinderen leren dat de domeinen in de realiteit door
elkaar voorkomen.
Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien
(20% van iets = 1/5 van iets).
Ze kunnen zo gemakkelijker misvattingen voorkomen zoals: een vierde deel = 4%.
Overeenkomsten breuken en kommagetallen:
- Allebei gebroken getallen, maar:
o Kommagetallen lijken op hele getallen en niet op breuken
- Rationele getallen met verschillende notatiewijzen
- Beide verschijningsvormen als meetgetallen
Verschillen breuken en kommagetallen:
- Breuken komen vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid,
kommagetallen bijna nooit
Kinderen vinden het moeilijk in te zien dat 0,10 = 0,1. Om manier om hier inzichtelijk mee om te
gaan, is het gebruik van verschillende ondermaten die kinderen zelf kunnen beredeneren,
bijvoorbeeld: 0,1 m = 1 dm, 1 dm = 10 cm, en daarom mag je ook schrijven 0,10 m.
Repeterende breuk: sommige delingen hebben oneindig veel decimalen achter de komma. Soms
herhaalt een groepje decimalen (repetendum) zich achter de komma. Een getal met zulke decimalen
heet een repeterende breuk. Bijvoorbeeld 0,66666666
Van breuk naar kommagetal: hoeveel zevens in 30? 4, over 2 4,2
Van kommagetal naar breuk:
- Niet repeterende breuk: 3,152 = 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 3 19/125
- Repeterende breuk: 0,461461. Vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met 10 als het
repetendum lang is. 0,461 x 1000 = 461. Je zoekt 1 deel dus trek je er 1 weer af (1 000 – 1
= 999). Je krijgt als breuk 461/999 en die vereenvoudig je naar 2 77/461.
Een breuk kan zowel een absoluut getal zijn als een operator:
- Absoluut getal: punt op de getallenlijn.
- Operator: doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. (tussenberekening 3/5 van iets,
eerst 1/5 van iets en dan keer 3).
Bij procenten is dit anders: een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een
operator. 20% is niet altijd hetzelfde als 1/5, 20/100 en 1/5 zijn absolute getallen en 20% is een
operator. Wel is het hetzelfde als het van hetzelfde absolute getal is.
1.2.2 Weetjes
Declaratieve kennis = parate feitenkennis. Hiertoe moeten uiteindelijk de relaties toebehoren.
In de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot worden uitgebreid. Allerlei weetjes
oefen je daarom in als snel op formeel niveau, maar eerst ook nog model ondersteund.
Productief oefenen: kinderen zelf opgaven laten produceren.
, H2 Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
In het dagelijks leven ben je vaak onbewust verhoudingsgewijs aan het redeneren, omdat we alle
dingen om ons heen in verhouding tot elkaar zien. Dit helpt bij inschattingen maken.
2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen.
Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot wordt, het andere getal
ook zoveel keer zo groot wordt. Naar rato stijgen = naar verhouding stijgen.
Verhoudingen maken het mogelijk om dingen met elkaar te vergelijken.
Er zijn verschillende verschijningsvormen van verhoudingen:
- Koffie per eenheid
- Benzineverbruik
- Sterkte van koffie/ranja/mix
- Recepten
- Snelheid samengestelde grootheid
o Km/u is samengesteld uit de grootheid lengte, met de maateenheid kilometer en de
grootheid tijd, met de maat uur
- Bevolkingsdichtheid samengestelde grootheid
Een andere veelvoorkomende verhouding is schaal: geeft de verhouding aan tussen de weergave van
iets en de werkelijke grootte ervan. Bij de schaalnotatie noteren we beide getallen in dezelfde
maateenheid.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld.
Bij niet-gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn, deze zijn dan ook lastiger te
vergelijken.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te
trekken.
Kwantitatieve verhouding: de verhouding wordt uitgedrukt in één of meer getallen.
- 1 op de 3 kinderen in Azië is ondervoed
Kwalitatieve verhouding: verhoudingen uitgedrukt in woorden, geen getallen. Het is vaak een
meetkundig verband.
- Een kind is lang voor zijn leeftijd
Interne verhouding: als een verhouding één grootheid of eenheid betreft
- De spoorbomen zijn 1 op de 10 minuten dicht
Externe verhouding: als een verhouding twee verschillende grootheden betreft
- Km/h
kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken:
- 1 op de 4 pabostudenten is een jongen;
- ¼ deel van de pabostudenten is een jongen;
- 25 % van de studenten op de pabo is een jongen;
- De verhouding van het aantal mannelijke studenten ten opzichte van het totale aantal
studenten is 1 : 4. Verhouding jongens en meisjes is 1 : 3
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Overeenkomsten tussen domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten:
- Ieder domein heeft een relatief aspect; “Relatieve getallen of waarden zijn afhankelijk van
andere absolute getallen. Anders gezegd staan ze in relatie tot deze andere absolute
getallen.”
- Kommagetallen zijn decimale breuken;
- Breuken en procenten kunnen beide een verhouding aangeven:
o Breuk: verhouding tussen deel en geheel;
o Percentage: verhouding tussen deel en geheel dat op honderd is gesteld
De domeinen kennen hun eigen gebruik en verschijningsvormen;
- Geld kommagetallen
- Korting en rente procenten
In het dagelijks leven worden verhoudingen, breuken en procenten gebruikt om getalsmatige
informatie weer te geven.
m/s x 3,6 km/h /3,6 m/s
1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute gegevens: getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen (500
mensen in deze zaal).
Relatieve gegevens: verhoudingsmatige gegevens waar jen iet direct het daadwerkelijke getal of
aantal aan kunt aflezen (1 op de 4 pabostudenten is man).
Zonder begrip van dit onderscheid tussen relatief en absoluut kun je veel informatie uit de krant en
het nieuws niet goed begrijpen ontwikkeling gecijferdheid
Om kinderen greep te laten krijgen op het onderscheid tussen absoluut en relatief, is het nodig om
absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband te
brengen strookmodel.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het verstandig de
getallen benoemd te noteren.
,1.2 Onderlinge relaties
1.2.1 Begrip
Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken
getallen, besteden methodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Om de
samenhang te kunnen doorzien, is het nodig dat kinderen leren dat de domeinen in de realiteit door
elkaar voorkomen.
Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien
(20% van iets = 1/5 van iets).
Ze kunnen zo gemakkelijker misvattingen voorkomen zoals: een vierde deel = 4%.
Overeenkomsten breuken en kommagetallen:
- Allebei gebroken getallen, maar:
o Kommagetallen lijken op hele getallen en niet op breuken
- Rationele getallen met verschillende notatiewijzen
- Beide verschijningsvormen als meetgetallen
Verschillen breuken en kommagetallen:
- Breuken komen vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid,
kommagetallen bijna nooit
Kinderen vinden het moeilijk in te zien dat 0,10 = 0,1. Om manier om hier inzichtelijk mee om te
gaan, is het gebruik van verschillende ondermaten die kinderen zelf kunnen beredeneren,
bijvoorbeeld: 0,1 m = 1 dm, 1 dm = 10 cm, en daarom mag je ook schrijven 0,10 m.
Repeterende breuk: sommige delingen hebben oneindig veel decimalen achter de komma. Soms
herhaalt een groepje decimalen (repetendum) zich achter de komma. Een getal met zulke decimalen
heet een repeterende breuk. Bijvoorbeeld 0,66666666
Van breuk naar kommagetal: hoeveel zevens in 30? 4, over 2 4,2
Van kommagetal naar breuk:
- Niet repeterende breuk: 3,152 = 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 3 19/125
- Repeterende breuk: 0,461461. Vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met 10 als het
repetendum lang is. 0,461 x 1000 = 461. Je zoekt 1 deel dus trek je er 1 weer af (1 000 – 1
= 999). Je krijgt als breuk 461/999 en die vereenvoudig je naar 2 77/461.
Een breuk kan zowel een absoluut getal zijn als een operator:
- Absoluut getal: punt op de getallenlijn.
- Operator: doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. (tussenberekening 3/5 van iets,
eerst 1/5 van iets en dan keer 3).
Bij procenten is dit anders: een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een
operator. 20% is niet altijd hetzelfde als 1/5, 20/100 en 1/5 zijn absolute getallen en 20% is een
operator. Wel is het hetzelfde als het van hetzelfde absolute getal is.
1.2.2 Weetjes
Declaratieve kennis = parate feitenkennis. Hiertoe moeten uiteindelijk de relaties toebehoren.
In de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot worden uitgebreid. Allerlei weetjes
oefen je daarom in als snel op formeel niveau, maar eerst ook nog model ondersteund.
Productief oefenen: kinderen zelf opgaven laten produceren.
, H2 Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
In het dagelijks leven ben je vaak onbewust verhoudingsgewijs aan het redeneren, omdat we alle
dingen om ons heen in verhouding tot elkaar zien. Dit helpt bij inschattingen maken.
2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen.
Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot wordt, het andere getal
ook zoveel keer zo groot wordt. Naar rato stijgen = naar verhouding stijgen.
Verhoudingen maken het mogelijk om dingen met elkaar te vergelijken.
Er zijn verschillende verschijningsvormen van verhoudingen:
- Koffie per eenheid
- Benzineverbruik
- Sterkte van koffie/ranja/mix
- Recepten
- Snelheid samengestelde grootheid
o Km/u is samengesteld uit de grootheid lengte, met de maateenheid kilometer en de
grootheid tijd, met de maat uur
- Bevolkingsdichtheid samengestelde grootheid
Een andere veelvoorkomende verhouding is schaal: geeft de verhouding aan tussen de weergave van
iets en de werkelijke grootte ervan. Bij de schaalnotatie noteren we beide getallen in dezelfde
maateenheid.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld.
Bij niet-gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn, deze zijn dan ook lastiger te
vergelijken.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te
trekken.
Kwantitatieve verhouding: de verhouding wordt uitgedrukt in één of meer getallen.
- 1 op de 3 kinderen in Azië is ondervoed
Kwalitatieve verhouding: verhoudingen uitgedrukt in woorden, geen getallen. Het is vaak een
meetkundig verband.
- Een kind is lang voor zijn leeftijd
Interne verhouding: als een verhouding één grootheid of eenheid betreft
- De spoorbomen zijn 1 op de 10 minuten dicht
Externe verhouding: als een verhouding twee verschillende grootheden betreft
- Km/h
