ALLES AUS DER BOMBE:
Analysis
-
Schnittpunkt mit
y-Achse :
f(0) = )]
-
waagrechte Tangente
:
f'/ O
Monotonie :
-
f(x) > 0 :
strong monoton wachsend
f(x)0 monoton fallend
strong
-
:
Vorgehen :
-
f(x) = 0
Lösung erhalten durch : Wurzel , Ausklammern , Substitution
-
Mit VZW links und recht von
Lösung(en) schauen
-
Krümmung :
-
f(x) > 0 :
linksgekrümmt
-
f"(x) 0 :
rechtsgekrümmt
Vorgehen :
-
f"(x) = 0
Lösung erhalten durch : Wurzel , Ausklammern , Substitution
-
-
Mit VZW Links und rechts von
Lösung(en) Schauen
Hoch- und
Tiefpunkt :
-
- ist zweimal ableitbar ! -
VW von f'in x
1
anschauen
-
f'(x) = 0 -
von + nach -
: lokales Maximum
-
f" (x ... ) 0 :
Lokale Maximalstelle -
von -
nach +: lokales Minimum
-
f" (X ... / 0 : lokales Minimum -
f(x ... ) um exakten Punkt zu erhalten
-
f(x ...
) um exakten Punkt zu erhalten
, Wendestellen :
-
f ist dreimal ableitbar -VZW von f
-
f"(x) = 0 -
falls einer da : Wendestelle
-
f'"(x 1 ... ) 0 : Wendestelle existiert
-
f(x1 ...
) Um exakten Punkt zu erhalten
S
Tangenten :
-
+ :
y
=
f'(u)(x u) -
+ f(u)
-
Schnittpunkt : +1 = +c t(n :
my .
mn = - 1
Normale :
-
n :
y
=
-
fi()(x -
4 + f(u)
-
Schnittpunkt :
n, =
2
Punkt mit "2"
Steigung bestimmen
:
-
f'(x) = -
2
Ableitungsregeln
:
-
Konstanten : f(x) = 5 ; f'(x) = 0
-
Summenregel : f(x) = x -
3x3 + 7; f'(x) = 2x -
15x
-Faktorregel : F(X = 3 .; f(x = 3 .
5 .
3x
-Potenzregel : f'(x) = x ; f'(x) = GXS
-
Kettenregel : f'(x1 =
% .
(3x + 319 ; 1 F:
.
v(x1 = 3x + 3 A F : u(u)
.
= v9
8
v'(x) = 3 v(v1 =
9v
f'(x) =
3 .
9(3x 318 + .
3
xz + 3v ex
-Produktregel : f(x =
ex
.
( u = =
~ u =
2x v' = ex
f'(x) = 2x ex . + ex .
(x7 3) + = f'(x) =
ex(2x + x2+ 3)
2 u' =
-
Quotientenregel : f(x) = 1 -
X -
2x ,
v =
3
3x+ 5
-
~ Kein kürzen !
f'(x) = m .
v -
u .
v
l
-
=
2x .
(3x+ 5)83(1 - x2) =
-
6x2 -
10x - 3+ 3x3
-
-
3x2
- 10x -
3
v (3x + 5) 2
(3x 5/2+
(3x 5)2
+
Nicht auflösen !
, Binomische Formeln :
2
. Dinomische Formel
1 :
(a + b) = a2 + 2ab + b2
(a
2
. binomische Formal
2 :
-
b) = a2 -
Lab + b)
. binomische Formel
3 (a + b) (a b) -
= a2 b2 -
Binomische Formal hoch 3 :
(a b(3 + = ab + 3a7b + 3ab2 + b3
Binomische Formal hoch 3 :
(a-b3 = a 3-3ab + 3 ab 2 b3-
Übungsaufgaben :
2) (9n -
m)z = 9nz -
18 nm + m f) ( -
2b + 3a)z = 4b2 + 12 ab + 9a2 i)(2n 4m)(2n
+ -
4m) = 422 - 16m2
22 b2 h)(a+ 3)(a az
9)(2 b)(2 + -
b) =
- =
4 -
b2 -
3) = -
9j)(6a -
2b)(6a + 2b) = 35a2 - 4b2
(2a (2a b) ja
2
7) -
3b/( 2a + 3b) = 4a -
9b + =
+ ab + b2
Umgekehrt/Rückwärts
a) 16x2 + 8x y + yz =
(4x y)2 + b) 4nz + 8 nm + 4m2 =
(2n + 2m) c) 36n2 + 36nm + 9 mz =
(6n + 3 m)2
n2 2 + +
3d =
(c +
5d)2
Terma vereinfachen :
a+ b 1
a+ b
ala y x
=
1. + (x y)
=
+
a+1
(a b)2
-
+ 2ab + b2 +
y
by (atb) (a -bl (x y) + (x + y)
bla2- 2x
.
=
-
=
ab
(a + b)
(a+ b)(a b) (a+ b) 2 = (a b) + (a+ b) 2 a2 a2 + 2ab 2a2 + 2b2
2(a2
b2 b2
d) a -
b a+ b .
= -
- 2ab + + +
= + by
+ =
+ =
-
a+ b a
-
b(a b) (
(a b) (a b(a+ b) (a b) + -
- . +
a2 -
b2 a2 - b2 az - b2
a2 - b2
Länge der Strecke zwischen den
Extrempunkten :
E0
Lat =
(yt yH -
+ (x+ -
x
HP = (2 6 + (4 21
-
- =
Länge der Strecke zwischen den 2 Koordinatenachsenschnittpunkten :
Lop =
(yoryp + (x0 xyz -
=
( 10 (312 + = 125
Prozentuale Anteil von
L an Lon :
(ht
Lop
=
20 = 3 =
, Asymptoten :
Senkrechte Asymptotz (Nenner = O setzen
f(x) = 3x -
7 2x -
4 =
01 + 4 Wenn aber Nennernullstelle auch Nullstelle
des Zählers kann Bruch kürzen
2x -
4
man
2x =
41 : 2
x = 2
Waagrechte Asymptoten >
- Hier
1
&
2
D+ 3
2 2x 5x Wenn
Zählergrad Nennergrad waagrechte Asymptote
-
4x 3 -
2 4 xO
3
2 -
-
> Hier immer = 0
y
Schief Asymptoten
-3x
①
Wenn
Zählergrad genau Nennergrad + 1 ist Schief
Asymptote
x + 1
In welchem 5 min Abschnitt sinkt...
f(+ 3)+ -
f(t) =
2
Zeigen Sic , das Temperatur stets abnimmt :
Die Temperatur nimmt stets ab ,
weil f'(t) 0 für alle >0
.
Analysis
-
Schnittpunkt mit
y-Achse :
f(0) = )]
-
waagrechte Tangente
:
f'/ O
Monotonie :
-
f(x) > 0 :
strong monoton wachsend
f(x)0 monoton fallend
strong
-
:
Vorgehen :
-
f(x) = 0
Lösung erhalten durch : Wurzel , Ausklammern , Substitution
-
Mit VZW links und recht von
Lösung(en) schauen
-
Krümmung :
-
f(x) > 0 :
linksgekrümmt
-
f"(x) 0 :
rechtsgekrümmt
Vorgehen :
-
f"(x) = 0
Lösung erhalten durch : Wurzel , Ausklammern , Substitution
-
-
Mit VZW Links und rechts von
Lösung(en) Schauen
Hoch- und
Tiefpunkt :
-
- ist zweimal ableitbar ! -
VW von f'in x
1
anschauen
-
f'(x) = 0 -
von + nach -
: lokales Maximum
-
f" (x ... ) 0 :
Lokale Maximalstelle -
von -
nach +: lokales Minimum
-
f" (X ... / 0 : lokales Minimum -
f(x ... ) um exakten Punkt zu erhalten
-
f(x ...
) um exakten Punkt zu erhalten
, Wendestellen :
-
f ist dreimal ableitbar -VZW von f
-
f"(x) = 0 -
falls einer da : Wendestelle
-
f'"(x 1 ... ) 0 : Wendestelle existiert
-
f(x1 ...
) Um exakten Punkt zu erhalten
S
Tangenten :
-
+ :
y
=
f'(u)(x u) -
+ f(u)
-
Schnittpunkt : +1 = +c t(n :
my .
mn = - 1
Normale :
-
n :
y
=
-
fi()(x -
4 + f(u)
-
Schnittpunkt :
n, =
2
Punkt mit "2"
Steigung bestimmen
:
-
f'(x) = -
2
Ableitungsregeln
:
-
Konstanten : f(x) = 5 ; f'(x) = 0
-
Summenregel : f(x) = x -
3x3 + 7; f'(x) = 2x -
15x
-Faktorregel : F(X = 3 .; f(x = 3 .
5 .
3x
-Potenzregel : f'(x) = x ; f'(x) = GXS
-
Kettenregel : f'(x1 =
% .
(3x + 319 ; 1 F:
.
v(x1 = 3x + 3 A F : u(u)
.
= v9
8
v'(x) = 3 v(v1 =
9v
f'(x) =
3 .
9(3x 318 + .
3
xz + 3v ex
-Produktregel : f(x =
ex
.
( u = =
~ u =
2x v' = ex
f'(x) = 2x ex . + ex .
(x7 3) + = f'(x) =
ex(2x + x2+ 3)
2 u' =
-
Quotientenregel : f(x) = 1 -
X -
2x ,
v =
3
3x+ 5
-
~ Kein kürzen !
f'(x) = m .
v -
u .
v
l
-
=
2x .
(3x+ 5)83(1 - x2) =
-
6x2 -
10x - 3+ 3x3
-
-
3x2
- 10x -
3
v (3x + 5) 2
(3x 5/2+
(3x 5)2
+
Nicht auflösen !
, Binomische Formeln :
2
. Dinomische Formel
1 :
(a + b) = a2 + 2ab + b2
(a
2
. binomische Formal
2 :
-
b) = a2 -
Lab + b)
. binomische Formel
3 (a + b) (a b) -
= a2 b2 -
Binomische Formal hoch 3 :
(a b(3 + = ab + 3a7b + 3ab2 + b3
Binomische Formal hoch 3 :
(a-b3 = a 3-3ab + 3 ab 2 b3-
Übungsaufgaben :
2) (9n -
m)z = 9nz -
18 nm + m f) ( -
2b + 3a)z = 4b2 + 12 ab + 9a2 i)(2n 4m)(2n
+ -
4m) = 422 - 16m2
22 b2 h)(a+ 3)(a az
9)(2 b)(2 + -
b) =
- =
4 -
b2 -
3) = -
9j)(6a -
2b)(6a + 2b) = 35a2 - 4b2
(2a (2a b) ja
2
7) -
3b/( 2a + 3b) = 4a -
9b + =
+ ab + b2
Umgekehrt/Rückwärts
a) 16x2 + 8x y + yz =
(4x y)2 + b) 4nz + 8 nm + 4m2 =
(2n + 2m) c) 36n2 + 36nm + 9 mz =
(6n + 3 m)2
n2 2 + +
3d =
(c +
5d)2
Terma vereinfachen :
a+ b 1
a+ b
ala y x
=
1. + (x y)
=
+
a+1
(a b)2
-
+ 2ab + b2 +
y
by (atb) (a -bl (x y) + (x + y)
bla2- 2x
.
=
-
=
ab
(a + b)
(a+ b)(a b) (a+ b) 2 = (a b) + (a+ b) 2 a2 a2 + 2ab 2a2 + 2b2
2(a2
b2 b2
d) a -
b a+ b .
= -
- 2ab + + +
= + by
+ =
+ =
-
a+ b a
-
b(a b) (
(a b) (a b(a+ b) (a b) + -
- . +
a2 -
b2 a2 - b2 az - b2
a2 - b2
Länge der Strecke zwischen den
Extrempunkten :
E0
Lat =
(yt yH -
+ (x+ -
x
HP = (2 6 + (4 21
-
- =
Länge der Strecke zwischen den 2 Koordinatenachsenschnittpunkten :
Lop =
(yoryp + (x0 xyz -
=
( 10 (312 + = 125
Prozentuale Anteil von
L an Lon :
(ht
Lop
=
20 = 3 =
, Asymptoten :
Senkrechte Asymptotz (Nenner = O setzen
f(x) = 3x -
7 2x -
4 =
01 + 4 Wenn aber Nennernullstelle auch Nullstelle
des Zählers kann Bruch kürzen
2x -
4
man
2x =
41 : 2
x = 2
Waagrechte Asymptoten >
- Hier
1
&
2
D+ 3
2 2x 5x Wenn
Zählergrad Nennergrad waagrechte Asymptote
-
4x 3 -
2 4 xO
3
2 -
-
> Hier immer = 0
y
Schief Asymptoten
-3x
①
Wenn
Zählergrad genau Nennergrad + 1 ist Schief
Asymptote
x + 1
In welchem 5 min Abschnitt sinkt...
f(+ 3)+ -
f(t) =
2
Zeigen Sic , das Temperatur stets abnimmt :
Die Temperatur nimmt stets ab ,
weil f'(t) 0 für alle >0
.
