MAT3701 ASSIGNMENT 2 2023

MAT3701
ASSIGNMENT 2
2023

, QUESTION 1




Solution:



1.1).



T(z1 , z2 , z3 ) = (z1 + iz2 , iz2 − z3 , z1 + z3 )



Let: z = (z1 , z2 , z3 ) and w = (w1 , w2 , w3 ) then


〈z, T ∗ w〉 = 〈Tv, w〉

= 〈T(z1 , z2 , z3 ), (w1 , w2 , w3 )〉
= 〈(z1 + iz2 , iz2 − z3 , z1 + z3 ), (w1 , w2 , w3 )〉
= w1 (z1 + iz2 ) + w2 (iz2 − z3 ) + w3 (z1 + z3 )
= w1 z1 + iw1 z2 + iw2 z2 − w2 z3 + w3 z1 + w3 z3
= w1 z1 + w3 z1 + iw1 z2 + iw2 z2 − w2 z3 + w3 z3
= (w1 + w3 )z1 + (iw1 + iw2 )z2 + (−w2 + w3 )z3
= 〈(z1 , z2 , z3 ), (w1 + w3 , iw1 + iw2 , −w2 + w3 )〉
= 〈(z1 , z2 , z3 ), T ∗ (w1 , w2 , w3 )〉



Therefore



T ∗ (w1 , w2 , w3 ) = (w1 + w3 , iw1 + iw2 , −w2 + w3 )



So



T ∗ (z1 , z2 , z3 ) = (z1 + z3 , iz1 + iz2 , −z2 + z3 )

, 1.2).



Let:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z3 = p + qi



N(T) = {(z1 , z2 , z3 ): T(z1 , z2 , z3 ) = 0}



T(z1 , z2 , z3 ) = (0,0,0)
(z1 + iz2 , iz2 − z3 , z1 + z3 ) = (0,0,0)



z1 + iz2 = (a + bi) + i(c + di)
= a + bi + ci + d(i2 )
= a + bi + ci + d(−1)
= a + bi + ci − d
= (a − d) + i(b + c)



z1 + iz2 = 0
(a − d) + i(b + c) = 0 implies a − d = 0 and b + c = 0
⇒ a = d and b = −c




iz2 − z3 = i(c + di) − (p + qi)

= ci + d(i2 ) − p − qi
= ci + d(−1) − p − qi
= ci − d − p − qi
= (−d − p) + i(c − q)



iz2 − z3 = 0
(−d − p) + i(c − q) = 0 implies − d − p = 0 and c − q = 0