Webcollege 1 herhalingsstof toetsende statistiek
Toetsende statistiek wordt gebruikt om een uitspraak te doen over de populatie op basis van
beschrijvende statistieken in de steekproef.
Betrouwbaarheidsintervallen
Stel in de hoorcollegezaal zitten 120 studenten, waarvan 80 vrouwen. De proportie vrouwen is dus
80/120=0.67.
Kunnen we met deze gegevens een uitspraak doen over de proportie vrouwelijke POW studenten?
Wat zegt de proportie vrouwen in de steekproef (0.67) over de porportie vrouwen in de populatie?
De populatieparameter heeft een vaste waarde (P).
- Er is een exact aantal studenten waarvan een exact aantal vrouwelijke studenten.
- Maar die aantallen zijn onbekend dus P is onbekend.
De steekproefwaarde kan gebruikt worden als een schatting van de populatieparameter
- Deze schatting kent een bepaalde onzekerheid
Stel: er zitten nu toevallig veel vrouwelijk studenten in de zaal. Dan is de gevonden proportie groter
dan de proportie in de populatie.
Gemiddeld over alle mogelijke steekproeven zal de gemiddelde steekproef waarde gelijk zijn aan de
werkelijke waarde in de populatie.
We gebruiken de gegevens in de steekproef om een schatting te maken van de populatieparameter.
De precisie van deze schatting geven we aan met behulp van een betrouwbaarheidsinterval.
Het betrouwbaarheidsinterval geeft plausibele waarden voor de populatiemeter op basis van:
- De puntschatting (gevonden proportie, gemiddelde of verschil)
- Kritieke grenzen behorend bij de toetsingsgrootheid
- Standaardfout van de puntschatting
- Houdbaarheid van de aannamen die je doet.
De betrouwbaarheidsintervallen kan je gebruiken om te toetsen of de hypothese waar of niet waar
is.
Toetsen
Doe je middels meerdere stappen: assumpties, hypothese, toetsingsgrootheid, p-waarde en
conclusie.
Voorbeeld
In de hoorcollegezaal zitten 120
studenten, waarvan 80 vrouwen. Kan
ik aannemen dat in de populatie de
helft van de premaster studenten
vrouw is?
Is de ware proportie 0.5?
- Welke toets?
- Je bent geïnteresseerd in 1
groep namelijk de vrouwen.
, - Je wil weten wat de proportie is namelijk hoeveel vrouwen er zijn?
- Het is een dichotome variabele en geen continue.
- Je komt uit op de Z-toets voor 1 proportie.
Stap 1 de assumpties bij een proportie:
- Steekproef willekeurig: is hier nog de vraag.
- Categorische variabele: is zo we hebben mannen en vrouwen.
- Steekproef moet groot genoeg zijn. Steekproef X de P groter dan 15 en n(1-p) groter dan 15.
Stap 2 de hypothese
- Nulhypothese H0: 0.5 want je wilt weten of de ware proportie 0.5 is.
- Alternatieve hypothese Ha: p ongelijk aan 0.5 (= met een streep erdoor).
Stap 3 toetsingsgrootheid
- Waarde parameterschatting- waarde onder H0/ standaardfout.
- Dus waarde is aantal standaardfouten dat de waarde van de parameterschatting af ligt van
de waarde van de parameter onder de nul-hypothese.
- Bij proporties gebruik je hierbij de Z-score. Zie formuleboek z-score bij proportie.
Voor de Z-toets wordt gebruik gemaakt van een andere standaardfout dan voor een
betrouwbaarheidsinterval. Namelijk de Seo, de standaardfout onder de aanname dat Ho waar is.
In het voorbeeld wordt het dan 0.67-0.50/0.046= 3,66
- De gevonden steekproefwaarde ligt 3,66 Se’s af van de populatiewaarde onder de aanname
dat het aantal mannelijke en vrouwelijk studenten gelijk is.
Stap 4 p-waarde
- Wat is de kans dat we de gevonden of nog
extremere waarde zouden vinden als de
nulhypothese waar is?
- Overschrijdingskans kan de gevonden
toetsingsgrootheid in de tabel opzoeken met
behulp van de kritieke waarde.
- Stel eerst het significantie niveau. Dit is vaak 0.05
procent (alfa).
Nu moet je in de tabellen kijken of je ergens een Z-waarde
van 3,66 kan vinden. Deze kan je alleen niet vinden omdat
die te groot is.
Stap 5 conclusie
- Significant?
- Wat betekend dat?
Toetsingsgrootheid groter dan kritieke waarde=
significant.
Toetsingsgrootheid kleiner dan kritieke waarde= niet
significant.
P waarde kleiner dan alfa= significant.
P waarde groter dan alfa= niet significant
Significant= verwerp Ho
Niet significant= verwerp Ho niet.
,In het voorbeeld.
- De gevonden Z-waarde van 3.66 is groter dan de kritieke waarde van 1.96 (a= .0.5 tweezijdig)
- Zelfs groter dan de kritieke waarde van 2.58 (a= .01, 2-zijdig) waaruit volgt dat P kleiner is
dan .01
- Het resultaat is significant. We verwerpen Ho.
- Dus de proportie vrouwen onder de premasterstudenten is niet 50%
- Er zijn naar verhouding meer vrouwelijke dan mannelijke studenten.
In ons voorbeeld kan met 95% betrouwbaarheid gezegd worden dat de proportie vrouwelijke PM-
studenten groter is dan 50%.
Als je de p niet weet kan je voor p 0.5 gebruiken.
Voorbeeld 2
We meten de intelligentie van alle aanwezige studenten (n=120) met een IQ test. De gemiddelde IQ
score is 111, met een SD van 19. Wijkt dit gemiddelde af van de norm van 100?
- Welke toets?
- Weer 1 groep namelijk de studenten.
- Maar je bent nu geïnteresseerd in IQ en niet in een proportie. Dus kijk je bij het gemiddelde.
Dan wordt het een T-toets.
Stap 1 assumpties
- Steekproef is willekeurig
- Kwantitatieve variabele: interval variabele dus dat is zo.
- Normaal verdeeld.
Meestal is de variantie in de populatie bekend. Als die bekend is kan je bij een Z toets terecht en
ander niet.
Bij een gemiddelde gebruik je altijd de T-toets.
Stap 2 hypothese
- Ho: gemiddelde gelijk een gemiddelde Ho (ook wel mu, omgekeerde U omdat het om
gemiddelde gaat).
- Omdat we kijken of het gemiddelde afwijkt gaan we tweezijdig toetsen, het kan namelijk
beide kanten opvallen.
- Je Ho is 100 je Ha is mu = met streepje erdoor 100.
Stap 3 toetsingsgrootheid
- T= gemiddelde- gemiddelde Ho/ sex
- Voor standaardfout kijken in formule boek.
Hier is de Se gelijk aan de Se die gebruikt wordt voor het betrouwbaarheidsinterval.
In ons voorbeeld: de gevonden steekproefwaarde ligt 6.34 Se’s af van de populatiewaarde onder de
aanname dat het aantal mannelijke en vrouwelijke studenten gelijk is.
Stap 4 p waarde
- Wat is de kans dat we de gevonden of extremere waarde vinden als de nulhypothese waar is
- Overschrijdingskans van de gevonden toetsingsgrootheid in de tabel opzoeken, met behulp
van de kritieke waarde.
- Nu kijken we naar een T-verdeling.
- Significantie niveau is weer .05.
- Omdat het tweezijdig getoetst wordt moet je kijken bij 0.025 want je hebt totaal 0.05.
- 119 staat er niet in dus we kunnen bij 100 kijken of oneindig.
, - Dan kijk je bij de 0.025.
Stap 5 conclusie trekken
- In ons voorbeeld: een T-waarde van 6.34 is zelfs
groter dan de kritieke waarde van 3.1737 bij
alfa= 0.001 (eenzijdig) dus bij tweezijdig toetsen
P kleiner dan .002
- Het is significant.
Webcollege 2 vergelijken van 2 groepen deel 1
Hiernaast zijn nog een keer de stappen te zien
bij een hypothesetoets voor het gemiddelde.
Toets voor twee proporties
In het vorige college ging het over een toets
voor 1 proportie maar het kan ook voor 2
proporties, je gaat dan naar het verschil
kijken.
Voorbeeld:
Beta opleidingen zijn vaak
mannenopleidingen, maar worden
tegenwoordig vooral gepromoot onder
vrouwen.
- Kiezen vrouwen en mannen
tegenwoordig even vaak voor een
beta opleiding?
- Opzet: aan 2076 mannelijke en 2307
vrouwelijke leerlingen werd gevraagd
voor welke studie zij zich zullen inschrijven.
- Observatie: van de 1359 leerlingen die voor een beta-opleiding kozen waren 508 vrouw.
Je kan dan een tabel maken zoals hiernaast, dan heb je meer
informatie over je gegevens. Bèta Niet-Bèta Totaal
De proporties kunnen we nu uitrekenen: Man 851 1225 2076
- Mannen: 851/2076= .4099
- Vrouwen: 508/2307= .2202 Vrouw 508 1799 2307
- Verschil: 0.4099-0.2201= 0.2202
Totaal 1359 3024 4383
Toetsende statistiek wordt gebruikt om een uitspraak te doen over de populatie op basis van
beschrijvende statistieken in de steekproef.
Betrouwbaarheidsintervallen
Stel in de hoorcollegezaal zitten 120 studenten, waarvan 80 vrouwen. De proportie vrouwen is dus
80/120=0.67.
Kunnen we met deze gegevens een uitspraak doen over de proportie vrouwelijke POW studenten?
Wat zegt de proportie vrouwen in de steekproef (0.67) over de porportie vrouwen in de populatie?
De populatieparameter heeft een vaste waarde (P).
- Er is een exact aantal studenten waarvan een exact aantal vrouwelijke studenten.
- Maar die aantallen zijn onbekend dus P is onbekend.
De steekproefwaarde kan gebruikt worden als een schatting van de populatieparameter
- Deze schatting kent een bepaalde onzekerheid
Stel: er zitten nu toevallig veel vrouwelijk studenten in de zaal. Dan is de gevonden proportie groter
dan de proportie in de populatie.
Gemiddeld over alle mogelijke steekproeven zal de gemiddelde steekproef waarde gelijk zijn aan de
werkelijke waarde in de populatie.
We gebruiken de gegevens in de steekproef om een schatting te maken van de populatieparameter.
De precisie van deze schatting geven we aan met behulp van een betrouwbaarheidsinterval.
Het betrouwbaarheidsinterval geeft plausibele waarden voor de populatiemeter op basis van:
- De puntschatting (gevonden proportie, gemiddelde of verschil)
- Kritieke grenzen behorend bij de toetsingsgrootheid
- Standaardfout van de puntschatting
- Houdbaarheid van de aannamen die je doet.
De betrouwbaarheidsintervallen kan je gebruiken om te toetsen of de hypothese waar of niet waar
is.
Toetsen
Doe je middels meerdere stappen: assumpties, hypothese, toetsingsgrootheid, p-waarde en
conclusie.
Voorbeeld
In de hoorcollegezaal zitten 120
studenten, waarvan 80 vrouwen. Kan
ik aannemen dat in de populatie de
helft van de premaster studenten
vrouw is?
Is de ware proportie 0.5?
- Welke toets?
- Je bent geïnteresseerd in 1
groep namelijk de vrouwen.
, - Je wil weten wat de proportie is namelijk hoeveel vrouwen er zijn?
- Het is een dichotome variabele en geen continue.
- Je komt uit op de Z-toets voor 1 proportie.
Stap 1 de assumpties bij een proportie:
- Steekproef willekeurig: is hier nog de vraag.
- Categorische variabele: is zo we hebben mannen en vrouwen.
- Steekproef moet groot genoeg zijn. Steekproef X de P groter dan 15 en n(1-p) groter dan 15.
Stap 2 de hypothese
- Nulhypothese H0: 0.5 want je wilt weten of de ware proportie 0.5 is.
- Alternatieve hypothese Ha: p ongelijk aan 0.5 (= met een streep erdoor).
Stap 3 toetsingsgrootheid
- Waarde parameterschatting- waarde onder H0/ standaardfout.
- Dus waarde is aantal standaardfouten dat de waarde van de parameterschatting af ligt van
de waarde van de parameter onder de nul-hypothese.
- Bij proporties gebruik je hierbij de Z-score. Zie formuleboek z-score bij proportie.
Voor de Z-toets wordt gebruik gemaakt van een andere standaardfout dan voor een
betrouwbaarheidsinterval. Namelijk de Seo, de standaardfout onder de aanname dat Ho waar is.
In het voorbeeld wordt het dan 0.67-0.50/0.046= 3,66
- De gevonden steekproefwaarde ligt 3,66 Se’s af van de populatiewaarde onder de aanname
dat het aantal mannelijke en vrouwelijk studenten gelijk is.
Stap 4 p-waarde
- Wat is de kans dat we de gevonden of nog
extremere waarde zouden vinden als de
nulhypothese waar is?
- Overschrijdingskans kan de gevonden
toetsingsgrootheid in de tabel opzoeken met
behulp van de kritieke waarde.
- Stel eerst het significantie niveau. Dit is vaak 0.05
procent (alfa).
Nu moet je in de tabellen kijken of je ergens een Z-waarde
van 3,66 kan vinden. Deze kan je alleen niet vinden omdat
die te groot is.
Stap 5 conclusie
- Significant?
- Wat betekend dat?
Toetsingsgrootheid groter dan kritieke waarde=
significant.
Toetsingsgrootheid kleiner dan kritieke waarde= niet
significant.
P waarde kleiner dan alfa= significant.
P waarde groter dan alfa= niet significant
Significant= verwerp Ho
Niet significant= verwerp Ho niet.
,In het voorbeeld.
- De gevonden Z-waarde van 3.66 is groter dan de kritieke waarde van 1.96 (a= .0.5 tweezijdig)
- Zelfs groter dan de kritieke waarde van 2.58 (a= .01, 2-zijdig) waaruit volgt dat P kleiner is
dan .01
- Het resultaat is significant. We verwerpen Ho.
- Dus de proportie vrouwen onder de premasterstudenten is niet 50%
- Er zijn naar verhouding meer vrouwelijke dan mannelijke studenten.
In ons voorbeeld kan met 95% betrouwbaarheid gezegd worden dat de proportie vrouwelijke PM-
studenten groter is dan 50%.
Als je de p niet weet kan je voor p 0.5 gebruiken.
Voorbeeld 2
We meten de intelligentie van alle aanwezige studenten (n=120) met een IQ test. De gemiddelde IQ
score is 111, met een SD van 19. Wijkt dit gemiddelde af van de norm van 100?
- Welke toets?
- Weer 1 groep namelijk de studenten.
- Maar je bent nu geïnteresseerd in IQ en niet in een proportie. Dus kijk je bij het gemiddelde.
Dan wordt het een T-toets.
Stap 1 assumpties
- Steekproef is willekeurig
- Kwantitatieve variabele: interval variabele dus dat is zo.
- Normaal verdeeld.
Meestal is de variantie in de populatie bekend. Als die bekend is kan je bij een Z toets terecht en
ander niet.
Bij een gemiddelde gebruik je altijd de T-toets.
Stap 2 hypothese
- Ho: gemiddelde gelijk een gemiddelde Ho (ook wel mu, omgekeerde U omdat het om
gemiddelde gaat).
- Omdat we kijken of het gemiddelde afwijkt gaan we tweezijdig toetsen, het kan namelijk
beide kanten opvallen.
- Je Ho is 100 je Ha is mu = met streepje erdoor 100.
Stap 3 toetsingsgrootheid
- T= gemiddelde- gemiddelde Ho/ sex
- Voor standaardfout kijken in formule boek.
Hier is de Se gelijk aan de Se die gebruikt wordt voor het betrouwbaarheidsinterval.
In ons voorbeeld: de gevonden steekproefwaarde ligt 6.34 Se’s af van de populatiewaarde onder de
aanname dat het aantal mannelijke en vrouwelijke studenten gelijk is.
Stap 4 p waarde
- Wat is de kans dat we de gevonden of extremere waarde vinden als de nulhypothese waar is
- Overschrijdingskans van de gevonden toetsingsgrootheid in de tabel opzoeken, met behulp
van de kritieke waarde.
- Nu kijken we naar een T-verdeling.
- Significantie niveau is weer .05.
- Omdat het tweezijdig getoetst wordt moet je kijken bij 0.025 want je hebt totaal 0.05.
- 119 staat er niet in dus we kunnen bij 100 kijken of oneindig.
, - Dan kijk je bij de 0.025.
Stap 5 conclusie trekken
- In ons voorbeeld: een T-waarde van 6.34 is zelfs
groter dan de kritieke waarde van 3.1737 bij
alfa= 0.001 (eenzijdig) dus bij tweezijdig toetsen
P kleiner dan .002
- Het is significant.
Webcollege 2 vergelijken van 2 groepen deel 1
Hiernaast zijn nog een keer de stappen te zien
bij een hypothesetoets voor het gemiddelde.
Toets voor twee proporties
In het vorige college ging het over een toets
voor 1 proportie maar het kan ook voor 2
proporties, je gaat dan naar het verschil
kijken.
Voorbeeld:
Beta opleidingen zijn vaak
mannenopleidingen, maar worden
tegenwoordig vooral gepromoot onder
vrouwen.
- Kiezen vrouwen en mannen
tegenwoordig even vaak voor een
beta opleiding?
- Opzet: aan 2076 mannelijke en 2307
vrouwelijke leerlingen werd gevraagd
voor welke studie zij zich zullen inschrijven.
- Observatie: van de 1359 leerlingen die voor een beta-opleiding kozen waren 508 vrouw.
Je kan dan een tabel maken zoals hiernaast, dan heb je meer
informatie over je gegevens. Bèta Niet-Bèta Totaal
De proporties kunnen we nu uitrekenen: Man 851 1225 2076
- Mannen: 851/2076= .4099
- Vrouwen: 508/2307= .2202 Vrouw 508 1799 2307
- Verschil: 0.4099-0.2201= 0.2202
Totaal 1359 3024 4383
