Sumario Differential Equations with Boundary-Value Problems, Exercise 7.1, 1 to 6

Dennis G. Zill Differential Equations with
Boundary-Value Problems, Exercise 7.1. Form 1 to 6
Leonardo J. Perez Gomez
6 de agosto de 2022


1. Sea f (t) 
−1, 0 ≤ t < 1
f (t) =
1, t≥1
Calcule L {f (t)}
Z 1 Z ∞
L {f (t)} = e
(−1)dt +−st
e−st (1)dt
0
Z 1 Z ∞1
=− e−st dt + e−st dt
0 1
−st
e−st dt = − e s
R
Si
" #
1 ∞ 1 ∞
e−st e−st
Z Z 
−st −st
− e dt + e dt = + −
0 1 s 0 s 0 (1)
−st −s −s
e 1 e 2e 1
= − + = −
s s s s s

2. Encontrar L {f (t)} para 
4 , 0≤t<2
f (t) =
0 , t≥2
Z ∞ Z 2 Z ∞
L {f (t)} = −st
e f (t)dt = −st
e (4)dt + e−st (0)dt
0 0 2
Z 2
=4 e−st dt
0

e−st
e−st dt = − 1s e−st = −
R
a) s
# "
Z 2 −st 2
e
∴4 e−st dt = 4 −
0 s 0
 −st (2)
4e−st 4

e 1
=4 − + =− +
s s s s

1

, 3. Encontrar L {f (t)} para 
t , 0≤t<1
f (t) =
1 , t≥1
Z ∞ Z 1 Z ∞
∴ L {f (t)} = −st
e f (t)dt = −st
e tdt + e−st dt
0 0 1

te−st dt
R
a)
u=t dv = e−st dt
−st
du
du = dt dt = dt v = dv = − e s
R

e−st e−st
Z Z
−st
∴ te dt = − − − dt
s s
e−st t 1 e−st t 1
Z  −st 
−st e
=− + e dt = − + −
s s s s s
−st −st
 
e t e 1 t
=− − 2 = e−st − 2 −
s s s s
−st
e−st dt = − e s
R
b)
Z 1 Z ∞
∴ L {f (t)} = te e−st dt
−st
dt +
"0 1
# 
1 ∞
e−st
 
1 t
= e−st − 2 − + −
s s 0 s 1

1
a) e−st − s12 − t

s 0

e−s e−s
  
1
−st 1 1 1
= e − 2− + 2 =− 2 − + 2
s s s s s s
−s −s
1−e e
= 2
−
s s
−st
∞
e−s e−s
b) − e s =0+ s
= s
1

1 − e−s e−s e−s 1 − e−s
∴ L {f (t)} = − + =
s2 s s s2
4. Encontrar L {f (t)} para

2t + 1 0 ≤ t < 1
f (t) =
0 t≥1
Z ∞ Z ∞ Z 1
∴ L {f (t)} = e −st
(2t + 1)dt + e −st
(0)dt = e−st (2t + 1)dt
0 1 0




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