APM2611 ASSIGNMENT 1 2022

APM2611
ASSIGNMENT 1
2022

,Solution:


1.1).



2(𝑦 + 3)𝑑𝑥 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0
2(𝑦 + 3)𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 𝑑𝑦
2 𝑦
𝑑𝑥 = 𝑑𝑦
𝑥 𝑦+3
2 𝑦
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑦
𝑥 𝑦+3
2 𝑦+3−3
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑦
𝑥 𝑦+3
2 𝑦+3 3
∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( − ) 𝑑𝑦
𝑥 𝑦+3 𝑦+3
2 3
∫ 𝑑𝑥 = ∫ (1 − ) 𝑑𝑦
𝑥 𝑦+3
2 3
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑑𝑦 − ∫ 𝑑𝑦
𝑥 𝑦+3
2 ln(𝑥) = 𝑦 − 3 ln(𝑦 + 3) + 𝐶

, 1.2).



(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝐿𝑒𝑡: 𝑦 = 𝑢𝑥
(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0

(𝑥 2 − 𝑥(𝑢𝑥) + (𝑢𝑥)2 )𝑑𝑥 − 𝑥(𝑢𝑥) 𝑑𝑦 = 0

(𝑥 2 − 𝑥 2 𝑢 + 𝑥 2 𝑢2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑢 𝑑𝑦 = 0



∴ 𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑑𝑢
(𝑥 2 − 𝑥 2 𝑢 + 𝑥 2 𝑢2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑢 (𝑢 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑑𝑢) = 0

(𝑥 2 − 𝑥 2 𝑢 + 𝑥 2 𝑢2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑢2 𝑑𝑥 − 𝑥 3 𝑢 𝑑𝑢 = 0

(𝑥 2 − 𝑥 2 𝑢 + 𝑥 2 𝑢2 − 𝑥 2 𝑢2 )𝑑𝑥 − 𝑥 3 𝑢 𝑑𝑢 = 0

(𝑥 2 − 𝑥 2 𝑢 + 𝑥 2 𝑢2 − 𝑥 2 𝑢2 )𝑑𝑥 = 𝑥 3 𝑢 𝑑𝑢

(𝑥 2 − 𝑥 2 𝑢)𝑑𝑥 = 𝑥 3 𝑢 𝑑𝑢

𝑥 2 (1 − 𝑢)𝑑𝑥 = 𝑥 3 𝑢 𝑑𝑢
𝑥2 𝑢
𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
𝑥3 1−𝑢
1 𝑢
𝑑𝑥 = − 𝑑𝑢
𝑥 1−𝑢
1 𝑢
∫ 𝑑𝑥 = ∫ − 𝑑𝑢
𝑥 1−𝑢
1 𝑢−1+1
∫ 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑑𝑢
𝑥 1−𝑢
1 1
∫ 𝑑𝑥 = − ∫ (1 − ) 𝑑𝑢
𝑥 1−𝑢
1 1
∫ 𝑑𝑥 = − ∫ 1 𝑑𝑢 − ∫ − 𝑑𝑢
𝑥 1−𝑢
1 1
∫ 𝑑𝑥 = − ∫ 1 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑢
𝑥 1−𝑢
𝑦
ln(𝑥) = −𝑢 + ln(1 − 𝑢) + 𝐶 ∴ 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑡ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒 𝑢 =
𝑥
𝑦 𝑦
ln(𝑥) = − + ln (1 − ) + 𝐶
𝑥 𝑥
𝑦 𝑦
ln (1 − ) − ln(𝑥) = − 𝐶
𝑥 𝑥