Alles voor Analyse 1 NA (samenvatting)

Integreren

Lijst met primitieven van standaardfuncties:

I .
Sxnax =
IT ,
t c Cnt D -
7 .
Jcoshcxs -

- sinhlxs




§cost
8. ,
dx = tanks to



2.) txdx In late g.
J¥÷
-

. Incisor = xlncxs -
xtc


s . S wax -
-
II ,
te Caso ,
a # D co .
) ax : antanas to
,
= tearoom (E) to →




4 .
I sink> ax : -

costs dx l l .
J ydx = are sink) t c



S = arcos Cx) to
-



5 .
cos ↳ dx= sin ↳ de


6 .
fsinh ↳ = cosh ax




Trigonometrische integralen

} sinmlx)
"

cos (x) dx M, h C- I en Muzo

We onderscheiden twee gevallen:

1. minstens 1 van de getallen m,n is oneven

2. m,n zijn beide even


Vb .
geralt :
J sink) ✓
oh even
cos %) dx I
f cost ( I -
cost x) ) sink) dx =
-


Sub ( i - u2 ) du =
-

Hutt Just c
sink) t cos 24=1 macht UI cos ( x) =
-
I cost tty cos %) to

'


[cos G) ) -
-
-
sin Cx)
du = -

sin G) dx
'

[ sin (D) = cos G)


vb .
S sin '
(x) cos 5lb dx alle bei on even



(i ) =
)( l -


cos
'
cos 54 sin dx =
-

f( I -
u )2u5du ( u
-
- cos


(ii) sink) du
u : ,

-_cos↳ cosh Cx)
{ Pcos
'

J )
'
sink x) ( l -
sin dx = u 'll -
w du




Ub .
gevul 2 : Jsinhlxscoshlxdr =




- gebruik sin^2(x)+cos^2(x)=1 om de integraal te schrijven als een som van integralen van even machten van cos(x)
=
)( I -
cosy# cos
'
Cx) -


-
f costly -2 cos GH t cos Rx) or sinks


"

Jcos4x)dx = SI t tacos (2x) = { x t t sin ( 2x) to Scoshksdx ) : ( t tf cost dr.ftttzwsczxsttc.im
cos (2x) - Leos' ↳ -
I = I -
2 sin Cx) = text 4 since t Tf cop dx : thx ttgsinczxttftzttzcoslhxlox
cosy = It { cos (2x) = text t sin last text 's sin ( Htc

sinks =
-

I -
{ cos Las


Integratiemethoden:

Substitutiemethode: Inverse substitutie:
du - n' ↳ dx X' (a) du=d×

, Een paar standaardsubstituties:
Als in de integraal een factor
•

U2 -
x
'
Voorkomt , pro beer clan x = a cos Cu) of x
-

- a sin (us




• ¥2 → x- ucoshcus
,
I -
u2 : a sinh ( u)

x -

-
a Sec ( us
,
E -
a
>
= atanlu

want Tanya) ti : Sedler)
• Eta → * usinhcu) ,
Etah = a cosh ( us

E- utuncu ,
Itu = useccu)




Partieel integreren:

SF 'HgHdx :
FLASH -

Spurs g '
Cx) dy




Rationele functies integreren:
Breuksplitslemma
PLA
grand (Psc graced ( Q)
-



—> dan kan je breuksplitsen (zie vb. p10 notities h5 of hw5)
Qlxs


6.4: Methode van onbepaalde coëfficiënten Werft niet voor alle soon ten Funches
-




Vb .




J x
'
e' ×
ax = ( axztbxt c) e
"
t E :( 5×2 -


Txt Idek to
:( 3×2 t 2x)
' ''
[x' e
't
] e




x' e" = ( Jux't 3bar t 3C t 2u× tb) e
"



Ju : I a :} ,
b= -


} .
⇐ 37
Tbt 2u= 0 → Ib : -
}

It b - O 3C :
}

Ub .


J e
"
cos thx) dx
;
e
"
( ucoslzx) t b sin (2x) ) t c

Ansatz

( e" cosh xD
'
= e3×( 3 cos GD -
25in (2x))

3 at 2b al
-
a
-
- E
→
↳ →
e. cost 2x> = e) * ( 3u cost 2x) t 2b sinus -
Zu sin ( 2x) t 2b cos Cls) Jb - 2u= O b -

-
}
i