Inhoudsopgave
1. Kansrekening......................................................................................................................................1
1.1 Inleiding........................................................................................................................................2
1.2 Begripsvorming.............................................................................................................................2
1.2.1 Kans experiment, uitkomsten en uitkomstenruimte.................................................................2
1.2.2 Gebeurtenissen en kans............................................................................................................3
1.2.3. Kans en getal.............................................................................................................................4
1.3 Enkelvoudige kansexperimenten..................................................................................................6
1.4 Meervoudige kansexperimenten..................................................................................................6
2. Soorten kansen...................................................................................................................................7
2.1. Inleiding.......................................................................................................................................7
2.1 Experimentele kans......................................................................................................................7
2.2 Empirische kansen........................................................................................................................9
3. Rekenregels voor kansen....................................................................................................................9
3.1 EN-regel........................................................................................................................................9
3.2 OF-regel......................................................................................................................................10
3.3 Hoe los je een kansprobleem op.................................................................................................12
3.4 Complementregel.......................................................................................................................13
4. Onafhankelijk en afhankelijke gebeurtenissen.................................................................................14
4.1 Voorwaardelijke kans.................................................................................................................14
4.2 (On)afhankelijke gebeurtenissen................................................................................................14
5. Een eerst kijk op: kansverdelingen en stochasten............................................................................15
5.1 Wat is een kansverdeling? Wat is een stochast?........................................................................15
6. De verwachtingswaarde van een stochast........................................................................................16
6.1 Rekenkundig gemiddelde...........................................................................................................17
6.1 Stochastisch gemiddelde of verwachtingswaarde......................................................................17
7. De standaarddeviatie van een stochast............................................................................................18
7.1 Statistische standaarddeviatie....................................................................................................18
1. Kansrekening
,1.1 Inleiding
Als we het hebben over de kans dat iets gebeurt, dan hebben we allemaal wel
een bepaald idee wat begrip betekent. Als we een muntstuk gooien dan weten
1
we dat de kans op “kop” gelijk is aan . Zo is de kans op een 4 bij het eenmaal
2
1
gooien van een dobbelsteen gelijk aan .
6
1.2 Begripsvorming
1.2.1 Kans experiment, uitkomsten en uitkomstenruimte
We gooien eenmaal met een dobbelsteen. We zijn geïnteresseerd in het aantal
ogen dat bovenkomt. Omdat de uitkomst van dit experiment niet te voorspellen
is, noemen we dit ook wel een kansexperiment. De mogelijke uitkomsten zijn 1,
2, 3, 4, 5 en 6. De verzameling van alle mogelijke uitkomsten noemen we de
uitkomstenruimte of de uitkomstenverzameling. We duiden dit aan met de
Griekse letter Omega: Ω . We noteren dit als Ω={1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Voorbeeld 1:
We gooien eenmaal met een geldstuk. Er zijn twee mogelijke uitkomsten,
Kop (K) en Munt (M). Er geldt: Ω={K,M }
Voorbeeld 2:
We trekken blindelings een kaart uit een volledig spel kaarten (52
kaarten). Indien we slechts letten op de kleur dan geldt:
Ω ={Harten, Klaveren, Ruiten, Schoppen\} .
Een kansexperiment is een experiment waarbij de uitkomst niet zeker en/of
niet te voorspellen is.
De uitkomstenruimte van een kansexperiment is de verzameling van alle
mogelijke uitkomsten. We duiden deze verzameling aan met de Griekse letter
Omega: Ω
, 1.2.2 Gebeurtenissen en kans
Bij kansrekening zijn we geïnteresseerd in de kans dat een gebeurtenis optreedt.
Een gebeurtenis kan bestaan uit een enkele uitkomst of een combinatie van
uitkomsten. Je kan bijvoorbeeld een kans hebben op “een 2” of “een even getal”.
De eerste gebeurtenis bestaat uit de uitkomst 2. De laatste gebeurtenis
correspondeert met de drie uitkomsten 2, 4 en 6.
Een gebeurtenis geven we aan met een hoofdletter, de gebeurtenis zelf plaatsten
we tevens tussen accolades {}.
Voorbeeld:
We gooien eenmaal met een dobbelsteen en bekijken welk aantal ogen
bovenkomt.
- De gebeurtenis A = {we gooien een 2} correspondeert met A=\{2\}
- De gebeurtenis A = {we gooien een even getal} correspondeert met
A=\{2, 4, 6\}
Een gebeurtenis is eigenlijk niet anders dan een gedeelte van de
uitkomstenruimte. We noemen dit officieel ook een deelverzameling.
Deelverzamelingen geven we aan met ovalen binnen de uitkomstenruimte Ω :
Kans wordt aangegeven met een
getal. Dat getal geeft aan hoe zeker of onzeker een gebeurtenis optreedt. Is de
kans 0 dan treedt het nooit op. Is deze kans 1 dan is het zeker! Hoe dichter bij de
1 des te zeker het geheel is.
In plaats van de getallen 0 en 1 wordt ook gewerkt met procenten (0% - 100%).
De kans op een gebeurtenis A noteren we als P(A) . P staat voor Probability.
Er geldt dus: 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 voor alle gebeurtenissen A .
Indien A gelijk is aan de gehele uitkomstenruimte Ω dan geldt: P(Ω)=1 .
In de verzamelingenleer bestaat ook de “lege verzameling”. We noteren deze
als ⊘. Dit is de verzameling die geen enkel element bevat. Er geldt: P(⊘)=0
1. Kansrekening......................................................................................................................................1
1.1 Inleiding........................................................................................................................................2
1.2 Begripsvorming.............................................................................................................................2
1.2.1 Kans experiment, uitkomsten en uitkomstenruimte.................................................................2
1.2.2 Gebeurtenissen en kans............................................................................................................3
1.2.3. Kans en getal.............................................................................................................................4
1.3 Enkelvoudige kansexperimenten..................................................................................................6
1.4 Meervoudige kansexperimenten..................................................................................................6
2. Soorten kansen...................................................................................................................................7
2.1. Inleiding.......................................................................................................................................7
2.1 Experimentele kans......................................................................................................................7
2.2 Empirische kansen........................................................................................................................9
3. Rekenregels voor kansen....................................................................................................................9
3.1 EN-regel........................................................................................................................................9
3.2 OF-regel......................................................................................................................................10
3.3 Hoe los je een kansprobleem op.................................................................................................12
3.4 Complementregel.......................................................................................................................13
4. Onafhankelijk en afhankelijke gebeurtenissen.................................................................................14
4.1 Voorwaardelijke kans.................................................................................................................14
4.2 (On)afhankelijke gebeurtenissen................................................................................................14
5. Een eerst kijk op: kansverdelingen en stochasten............................................................................15
5.1 Wat is een kansverdeling? Wat is een stochast?........................................................................15
6. De verwachtingswaarde van een stochast........................................................................................16
6.1 Rekenkundig gemiddelde...........................................................................................................17
6.1 Stochastisch gemiddelde of verwachtingswaarde......................................................................17
7. De standaarddeviatie van een stochast............................................................................................18
7.1 Statistische standaarddeviatie....................................................................................................18
1. Kansrekening
,1.1 Inleiding
Als we het hebben over de kans dat iets gebeurt, dan hebben we allemaal wel
een bepaald idee wat begrip betekent. Als we een muntstuk gooien dan weten
1
we dat de kans op “kop” gelijk is aan . Zo is de kans op een 4 bij het eenmaal
2
1
gooien van een dobbelsteen gelijk aan .
6
1.2 Begripsvorming
1.2.1 Kans experiment, uitkomsten en uitkomstenruimte
We gooien eenmaal met een dobbelsteen. We zijn geïnteresseerd in het aantal
ogen dat bovenkomt. Omdat de uitkomst van dit experiment niet te voorspellen
is, noemen we dit ook wel een kansexperiment. De mogelijke uitkomsten zijn 1,
2, 3, 4, 5 en 6. De verzameling van alle mogelijke uitkomsten noemen we de
uitkomstenruimte of de uitkomstenverzameling. We duiden dit aan met de
Griekse letter Omega: Ω . We noteren dit als Ω={1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Voorbeeld 1:
We gooien eenmaal met een geldstuk. Er zijn twee mogelijke uitkomsten,
Kop (K) en Munt (M). Er geldt: Ω={K,M }
Voorbeeld 2:
We trekken blindelings een kaart uit een volledig spel kaarten (52
kaarten). Indien we slechts letten op de kleur dan geldt:
Ω ={Harten, Klaveren, Ruiten, Schoppen\} .
Een kansexperiment is een experiment waarbij de uitkomst niet zeker en/of
niet te voorspellen is.
De uitkomstenruimte van een kansexperiment is de verzameling van alle
mogelijke uitkomsten. We duiden deze verzameling aan met de Griekse letter
Omega: Ω
, 1.2.2 Gebeurtenissen en kans
Bij kansrekening zijn we geïnteresseerd in de kans dat een gebeurtenis optreedt.
Een gebeurtenis kan bestaan uit een enkele uitkomst of een combinatie van
uitkomsten. Je kan bijvoorbeeld een kans hebben op “een 2” of “een even getal”.
De eerste gebeurtenis bestaat uit de uitkomst 2. De laatste gebeurtenis
correspondeert met de drie uitkomsten 2, 4 en 6.
Een gebeurtenis geven we aan met een hoofdletter, de gebeurtenis zelf plaatsten
we tevens tussen accolades {}.
Voorbeeld:
We gooien eenmaal met een dobbelsteen en bekijken welk aantal ogen
bovenkomt.
- De gebeurtenis A = {we gooien een 2} correspondeert met A=\{2\}
- De gebeurtenis A = {we gooien een even getal} correspondeert met
A=\{2, 4, 6\}
Een gebeurtenis is eigenlijk niet anders dan een gedeelte van de
uitkomstenruimte. We noemen dit officieel ook een deelverzameling.
Deelverzamelingen geven we aan met ovalen binnen de uitkomstenruimte Ω :
Kans wordt aangegeven met een
getal. Dat getal geeft aan hoe zeker of onzeker een gebeurtenis optreedt. Is de
kans 0 dan treedt het nooit op. Is deze kans 1 dan is het zeker! Hoe dichter bij de
1 des te zeker het geheel is.
In plaats van de getallen 0 en 1 wordt ook gewerkt met procenten (0% - 100%).
De kans op een gebeurtenis A noteren we als P(A) . P staat voor Probability.
Er geldt dus: 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 voor alle gebeurtenissen A .
Indien A gelijk is aan de gehele uitkomstenruimte Ω dan geldt: P(Ω)=1 .
In de verzamelingenleer bestaat ook de “lege verzameling”. We noteren deze
als ⊘. Dit is de verzameling die geen enkel element bevat. Er geldt: P(⊘)=0
