Modelleren
Deel 1: Beweging van een voorwerp
Deel 2: Afkoeling van een voorwerp
Deel 3: Radioactief verval
Deel 1: Beweging van een voorwerp
Inleiding
In de natuurkunde kennen we de volgende formules:
∆v ∆s
agem = en v gem =
∆t ∆t
Deze formules kunnen we herschrijven tot:
∆v = agem ⋅ ∆t en ∆s = v gem ⋅ ∆t
Als de tijdstapjes (∆t) heel erg klein zijn, zullen de versnelling en de snelheid binnen
elk tijdstapje maar weinig veranderen. We kunnen agem dan vervangen door a en vgem
door v. Als we bovendien het deltasymbool door een simpele d vervangen, krijgen
wij:
dv = a ⋅ dt en ds = v ⋅ dt
Hierin stellen dv en ds de toename van de snelheid en van de afgelegde afstand
binnen een tijdstapje voor.
In het volgende gebruiken we het programma Coach om onze natuurkundige
problemen numeriek op te lossen. Het programma noemt dit ‘modelleren’.
Voorbeeld 1: vallen zonder luchtwrijving
Als je een voorwerp boven de grond loslaat, valt het met de valversnelling naar
beneden. In Coach kun je dit als volgt modelleren.
Modelregels Startwaarden
v = v + a * dt a = 9,81 ‘m/s^2
s = s + v*dt dt = 0,01 ‘s
t = t + dt v = 0 ‘m/s
als t > tmax dan stop eindals s = 0 ‘m
t = 0 ‘s
tmax = 5 ‘s
De kolom met startwaarden wordt als eerste eenmalig ingelezen. Alles na de
apostrof (‘) wordt niet gelezen en dient alleen als commentaar. Daarna worden de
modelregels vele keren van boven naar beneden afgewerkt. Het programma stopt
pas als aan de voorwaarde in de laatste modelregel is voldaan.
1
Modelleren, www.roelhendriks.eu
, Over de modelregels kunnen we het volgende opmerken.
• De modelregel v = v + a*dt moet je als volgt opvatten. De snelheid aan het
eind van het tijdstapje wordt gelijk aan de snelheid aan het begin van het
tijdstapje plus de toename van de snelheid (= a*dt).
• De modelregel s = s + v*dt moet je als volgt opvatten. De afgelegde afstand
aan het eind van het tijdstapje wordt gelijk aan de afgelegde afstand aan het
begin van het tijdstapje plus de toename van de afgelegde afstand (= v*dt).
• De modelregel die begint met v staat boven de modelregel die begint met s.
Dit is logisch, want de nieuwe v moet bekend zijn bij de berekening van de
nieuwe s.
• Het programma stopt als de tijd groter wordt dan een vooraf ingestelde tijd
tmax.
In de modelregels komen alleen maar letters voor. Dit vergroot de leesbaarheid van
het model: je herkent namelijk meteen de formules. Als je bijvoorbeeld een andere
planeet (deze bepaalt a) of een andere tijdstap (dt) neemt, hoef je alleen maar
startwaarden te veranderen. Overigens is de keuze van de tijdstap dt belangrijk. Een
te grote tijdstap leidt tot onnauwkeurige resultaten. Een te kleine tijdstap leidt tot
onnodig veel rekenwerk voor de computer.
Opdracht 1
Voer het bovenstaande model van het vallende voorwerp zonder luchtwrijving in.
Maak twee grafieken: een v-t-grafiek en een s-t-grafiek. Ga na dat je iets soortgelijks
krijgt als de controlefiguur van deze opdracht (zie achteraan).
In de controlefiguur is het toepassingsvenster (met de blauwachtige achtergrond) in
één van de vier vakken ondergebracht. Dit is mogelijk door dit venster naar het vak te
slepen en gelijktijdig de shift-toets ingedrukt te houden.
2
Modelleren, www.roelhendriks.eu
Deel 1: Beweging van een voorwerp
Deel 2: Afkoeling van een voorwerp
Deel 3: Radioactief verval
Deel 1: Beweging van een voorwerp
Inleiding
In de natuurkunde kennen we de volgende formules:
∆v ∆s
agem = en v gem =
∆t ∆t
Deze formules kunnen we herschrijven tot:
∆v = agem ⋅ ∆t en ∆s = v gem ⋅ ∆t
Als de tijdstapjes (∆t) heel erg klein zijn, zullen de versnelling en de snelheid binnen
elk tijdstapje maar weinig veranderen. We kunnen agem dan vervangen door a en vgem
door v. Als we bovendien het deltasymbool door een simpele d vervangen, krijgen
wij:
dv = a ⋅ dt en ds = v ⋅ dt
Hierin stellen dv en ds de toename van de snelheid en van de afgelegde afstand
binnen een tijdstapje voor.
In het volgende gebruiken we het programma Coach om onze natuurkundige
problemen numeriek op te lossen. Het programma noemt dit ‘modelleren’.
Voorbeeld 1: vallen zonder luchtwrijving
Als je een voorwerp boven de grond loslaat, valt het met de valversnelling naar
beneden. In Coach kun je dit als volgt modelleren.
Modelregels Startwaarden
v = v + a * dt a = 9,81 ‘m/s^2
s = s + v*dt dt = 0,01 ‘s
t = t + dt v = 0 ‘m/s
als t > tmax dan stop eindals s = 0 ‘m
t = 0 ‘s
tmax = 5 ‘s
De kolom met startwaarden wordt als eerste eenmalig ingelezen. Alles na de
apostrof (‘) wordt niet gelezen en dient alleen als commentaar. Daarna worden de
modelregels vele keren van boven naar beneden afgewerkt. Het programma stopt
pas als aan de voorwaarde in de laatste modelregel is voldaan.
1
Modelleren, www.roelhendriks.eu
, Over de modelregels kunnen we het volgende opmerken.
• De modelregel v = v + a*dt moet je als volgt opvatten. De snelheid aan het
eind van het tijdstapje wordt gelijk aan de snelheid aan het begin van het
tijdstapje plus de toename van de snelheid (= a*dt).
• De modelregel s = s + v*dt moet je als volgt opvatten. De afgelegde afstand
aan het eind van het tijdstapje wordt gelijk aan de afgelegde afstand aan het
begin van het tijdstapje plus de toename van de afgelegde afstand (= v*dt).
• De modelregel die begint met v staat boven de modelregel die begint met s.
Dit is logisch, want de nieuwe v moet bekend zijn bij de berekening van de
nieuwe s.
• Het programma stopt als de tijd groter wordt dan een vooraf ingestelde tijd
tmax.
In de modelregels komen alleen maar letters voor. Dit vergroot de leesbaarheid van
het model: je herkent namelijk meteen de formules. Als je bijvoorbeeld een andere
planeet (deze bepaalt a) of een andere tijdstap (dt) neemt, hoef je alleen maar
startwaarden te veranderen. Overigens is de keuze van de tijdstap dt belangrijk. Een
te grote tijdstap leidt tot onnauwkeurige resultaten. Een te kleine tijdstap leidt tot
onnodig veel rekenwerk voor de computer.
Opdracht 1
Voer het bovenstaande model van het vallende voorwerp zonder luchtwrijving in.
Maak twee grafieken: een v-t-grafiek en een s-t-grafiek. Ga na dat je iets soortgelijks
krijgt als de controlefiguur van deze opdracht (zie achteraan).
In de controlefiguur is het toepassingsvenster (met de blauwachtige achtergrond) in
één van de vier vakken ondergebracht. Dit is mogelijk door dit venster naar het vak te
slepen en gelijktijdig de shift-toets ingedrukt te houden.
2
Modelleren, www.roelhendriks.eu
