Samenvatting Wiskunde 2

Samenvatting Wiskunde 2
Meetkunde

Artikel ‘Ontwikkeling meetkundige inzichten Piaget en Donaldson’ (onderzoek)
Piaget: Coördinatie van perspectieven

Opzet

 Op een karton van 1 m2 zien de kinderen 3 bergen van 12 tot 30 cm hoogte




 3 kinderen, elk kijkt vanuit ander standpunt

 Vanuit A ziet kind rechts een groene berg met op de top een huisje. Link een bruine berg die
hoger is, met een kruis op. Achter beide bergen staat de hoogste berg, grijs van kleur met
sneeuw op de top.
 Vanuit C: Slingerend pad op de groene berg
 Vanuit B: Klein beekje op de bruine berg

Experiment/onderzoek

 De kinderen krijgen serie van 10 prenten te zien  bergen vanuit verschillende
gezichtspunten, met relevante detail
 Kinderen krijgen 3 gekleurde kartons, elk staat voor 1 berg
 Er verschijnt een popje op verschillende posities
 Kinderen proberen met de drie kartonnen te weergeven hoe een foto gemaakt uit punt
A/B/C eruit zal zien
 Vervolgens: kinderen zetten zich op standpunt B C D en proberen met de kartonnen aan te
geven welke foto van daaruit genomen kan worden
 Tweede deel onderzoek: kinderen krijgen foto’s te zien en zoeken eentje uit die het meest
past bij de positie die het popje op dat moment inneemt

Doelpubliek : 4 – 13

Vaststellingen

 Kinderen van 4-5 jaar snappen gewoonweg niet wat er gevraagd wordt
 Kinderen van 5-7 jaar maken vrijwel geen onderscheid tussen eigen gezichtspunt en dat van
de andere observatoren
 Vb ‘Zan’ krijgt de vraag ‘Zou jou foto er zo uitzien als je daar (bij B) zat?’  antwoord: ‘Ik weet
het niet, want ik heb dat nog nooit gedaan’

,   Conclusie: De cognitieve ontwikkeling van kinderen wordt wel degelijk door de
ervaring beïnvloed
 Kinderen als Zan hebben moeite met het innemen van perspectief  Dit wordt veroorzaakt
door het feit dat hij moeite/ geen ervaring heeft met reversibel denken
 Als kinderen tot 7/8 jaar gevraagd worden één prent uit te kiezen (ongeacht positie popje),
kiezen ze steeds voor de prent vanuit de eigen positie
 VANAF 7/8 jaar: in toenemende mate in staat meerdere perspectieven te coördineren
 Vanaf 9/10 jaar: écht inzicht in coördinatie van gezichtspunten!

Donaldson: Het replicatieonderzoek van Donaldson

Opzet

 Onderzoek van Piaget herhaald, maar de context veranderd zodat kinderen zich makkelijker
kunnen inleven in de situatie: Je verbergen voor een politieagent
 De kinderen zien 2 muren die samen een kruis vormen
 Er worden 2 poppen gebruikt: een politiepop en een jongen
 De vraag: ‘Kan de politieman de jongen zien?’ wordt meermaals gesteld (terwijl de jongen
zich verplaats, van A B C D)




 Dan: Politieagent en jongen worden schuin naast elkaar gezet  opnieuw wordt vraag aan
kind gesteld
 Kinderen moeten de jongen nu ZELF verstoppen voor de politieagent
 Meeste kinderen ondervinden niet veel moeite
 Tweede deel onderzoek: er komt een 2de politieagent  vraag: ‘Kan je de jongen voor beide
agenten verstoppen?’
 Om dit op te lossen: twee gezichtspunten in de gaten houden én kunnen coördineren

Vaststellingen

 90% van de kinderen (tussen 3,5 en 5 jaar) hadden GEEN moeite met deze problemen
 Zelfs als de kinderen worden geconfronteerd met 5/6 gebieden en een 3 de agent wordt
toegevoegd, lossen 4-jarigen het probleem goed op

Conclusie/verklaring

 Het verschil in taken:
 De kinderen weten zich geen raad met bergenprobleem, omdat ze niet begrijpen wat
er van hen wordt gevraagd  = te abstract, roept bij kinderen geen herkenning op
 Het agentenprobleem is een ‘functionele situatie’  begrijpen ze wel
 Kanttekening: we weten niets over kwaliteit van interactie tussen proefleider en kinderen



Les 1 - MEETKUNDE - Evolutie in het meetkundige denken

,1ste theorie - Fasen van meetkundig denken (Mayberry)

Mayberry onderscheidt vier niveaus in het meetkundig denken:

Basisniveau: Globaal herkennen van figuren

 Kinderen leren meetkundige figuren waarnemen, herkennen en benoemen
 Kleuterklas en 1ste graad LO
 Vb. LK laat de lln naar de vloertegels kijken en zegt dat een tegel een vierkant is  kinderen
zullen in staat zijn om in de klas voorbeelden van vierkanten te vinden

Niveau 1: Analyse van de eigenschappen

 Eigenschappen worden afzonderlijk geleerd, zonder verbanden te leggen
 2de graad LO
 Vb: Lln onderzoeken eigenschappen van een vierkant en komen tot de conclusie dat een
vierkant 4 gelijke zijden en 4 gelijke hoeken heeft. Daarna wordt de rechthoek onderzocht.
Zonder hulp gaan de kinderen NIET inzien dat een vierkant ook een rechthoek is…

Niveau 2: Relatie tussen figuren

 Verbanden leggen tussen meetkundige figuren + classificeren obv eigenschappen
 3de graad LO + SO

Niveau 3: Deductieve redeneringen

 Abstract redeneren + bewijzen opbouwen (deductie)
 Vb; Congruente driehoeken, …
 Secundair onderwijs

2de theorie - Evolutie in meetkundig denken (Gravemeijer en Kraemer)

 Bij verkenning ruimte: belangrijk om dit te doen vanuit eigen leefwereld
 = Ervaringsmeetkunde
 Beschrijven de evolutie in meetkundig denken, vertrekkende vanuit ruimtelijke oriëntatie
kleuters

Fase 1 – Direct en indirect waarnemen

 Intuïtieve meetkundige begrippen (ver, dichtbij, recht, schuin…)
 Voorwerpen in de verte lijken veel kleiner, ze zijn echter niet zo klein
 Direct waarnemen = waarnemen van de werkelijkheid
 Indirect waarnemen: Warnemen via foto’s of afbeeldingen
 ‘Ga op je stoel staal, onder je bank zitten…’
 Vb: De lln moeten aanduiden bij welke foto de fotograaf het verste stond

Fase 2 – (Mentaal) innemen van een standpunt

 In realiteit, maquette, plattegrond, kaart…
 Vaardigheden die nodig zijn bij het bedenken wat je vanuit ander standpunt ziet, worden
ontwikkeld
 ALTIJD hulpmiddelen gebruiken
 Vb: Bij spelen van verstoppertje, verplaatsen de kinderen zich in het standpunt van diegene die
zoekt (heb ik een goede verstopplaats gevonden?)

Fase 3 – Beschrijven van een object

,  Beschrijven van een object wordt steeds preciezer en formeler
 Beschrijven van de plaats van een object (links, recht, boven…)
 Vb: aanzichten van een bouwsel bepalen // Het afleiden van een plattegrond met
hoogtegetallen van een bouwsel

Fase 4 – Een mentaal beeld volgen

 Ons een mentaal beeld vormen van hetgeen dat omschreven wordt
 Hulpmiddel wordt weggenomen
 Vb Wegbeschrijving zonder kaart, geen hulpmiddel
 Wegbeschrijving ipv aanduiden op kaart
 Foto van blokkenbouwsel ipv écht bouwsel Ruimtelijk inzic
Fase 5 – Handelen aan een mentale voorstelling

 Fase 4 en 5 vaak samen aan bod: beroep doen op ruimtelijk voorstellingsvermogen
 In gedachten worden ruimtelijk objecten gemanipuleerd
 Ontvouwingen…



3de theorie – Ontwikkeling meetkundig inzicht  Piaget en Donaldson

Onderzoek Piaget: Houten constructie met ‘kwartjes’  ‘Kan de politieagent het poppetje zien?’

Zie artikel!
 ‘Leg het poppetje ergens waar de politie het poppetje niet kan zien?’  Inleven in standpunt
poppetje, inschatting maken
 Speelt ‘verstoppertje’  Leefwereld kinderen, ze kunnen zelf ‘meedoen’

Concreet

 Realistische context belangrijk – leefwereld kinderen
 In turnzaal, speelplaats, werken met poppetjes…

Schematisch

 Nadruk overgang concreet  tekenen

Abstract

 Verplaatsen <-> Niet verplaatsen
 Op plaats van het poppetje gaan kijken  Vanaf je bank naar het poppetje kijken

Didactische aanbevelingen

Bij opstellen leerlijn meetkunde: rekening houden met ontwikkelingsniveau leerlingen

 Rekening houden met ontwikkelingsniveau leerling
 Systematiek wiskundig systeem op tweede plaats
 Voorzie voldoende activiteiten voor elke ontwikkelingsfase
 Kans geven om terug te keren naar vorige denkfase
 Handelen belangrijker dan tekenen

Les 1 - MEETKUNDE - Ruimtelijke oriëntatie
Begrippen aanbrengen