Natuurkunde samenvatting Keuzekatern D: Relativiteit
§D.1 Tijdrek en lengtekrimp
Referentiestelsel:
Wanneer een trein jou passeert, zeg je dat de trein beweegt ten opzichte van jou. Jij ziet alle
bewegingen in een stelsel waarvan jij het middelpunt bent, een referentiestelsel.
Voor een passagier in de trein beweeg jij ten opzichte van de trein. In het referentiestelsel van de
passagier ben jij degene die een bepaalde afstand in een bepaalde tijd aflegt.
Speciale relativiteitstheorie:
Als twee waarnemers ten opzichte van elkaar bewegen, nemen ze voor hetzelfde proces een
verschillende tijd en afstand waar. De enige waarneming die overeenkomt is de snelheid van het
licht. Deze heeft voor elke waarnemer overal in de ruimte dezelfde waarde: c = 2,9979… ∙ 108 m/s.
De ruimte en de tijd zijn aan elkaar gekoppeld en vormen samen de ruimtetijd.
Muonen ontstaan bovenin de atmosfeer door botsingen van deeltjes uit de ruimte met moleculen in
de atmosfeer. Een muon heeft een gemiddelde levensduur van 2,2 microseconden en beweegt bijna
met de lichtsnelheid. Een muon kan dus maximaal een afstand afleggen van s = v ∙ t = 3,0 ∙ 108 ∙ 2,2
∙ 10-6 = 660 meter. Muonen zouden dus niet waargenomen kunnen worden op het oppervlak van de
aarde.
Einsteins speciale relativiteitstheorie verklaart het waarnemen van de muonen. Einstein stelt dat de
afstanden in het referentiestelsel van de muonen zijn gekrompen ten opzichte van die in het
referentiestelsel van de waarnemer op aarde. Tegelijkertijd is de tijd gerekt in het referentiestelsel
van de waarnemer op aarde ten opzichte van de in het referentiestelsel van de muonen.
De afstanden en tijden in de referentiestelsels van de muonen en de waarnemer op aarde komen
niet meer overeen.
Tijdrek:
Licht kun je opgebouwd denken uit deeltjes die bewegen met de lichtsnelheid. Deze deeltjes noem je
fotonen. Een lichtklok bestaat uit twee spiegels waartussen een foton heen en weer beweegt. De tijd
die een foton nodig heeft om van de ene spiegel naar de andere en weer terug te bewegen, is de
periode T.
Anita zit in en trein naast de lichtklok, terwijl de trein Bruce voorbij rijdt. Anita ziet gedurende een
periode de lichtklok zoals figuur D.3. Bruce ziet de lichtklok dan zoals in figuur D.4. Voor Anita en
Bruce beweegt het foton met dezelfde snelheid: de lichtsnelheid.
Volgens Anita legt het foton gedurende één periode de afstand 2D af. Volgens Bruce is deze afstand
groter dan 2D. Dit betekent ook dat de periode van Bruce groter is dan de periode van Anita. Een
1
, proces in een stelsel dat beweegt ten opzichte van jou, duurt voor jou langer dan voor een
waarnemer in dat stelsel zelf. Dit noem je tijdrek.
Het referentiestelsel van de lichtklok noem je het ruststelsel. Anita bevindt zich dus in het ruststelsel,
omdat zij in rust is ten opzichte van de klok. De tijd in het referentiestelsel van Bruce is gerekt. Je
kunt de tijdrek bereken met:
∆tb = γ ∙ ∆te
- ∆tb is de tijd van een proces in seconden, die een waarnemer meet als hij beweegt ten opzichte
van het ruststelsel van het proces.
- ∆te is de eigentijd van een proces in seconden, die een waarnemer meet als hij zich in het
ruststelsel van het proces bevindt.
- γ is de relativistische factor en heeft geen eenheid.
De relativistische factor ( γ ) is altijd groter of gelijk aan 1. Er geldt:
1
γ= v2
√ 1−
c2
- v is de snelheid in m/s
- c is de lichtsnelheid in m/s
Dat je muonen waarneemt op het aardoppervlak, terwijl ze maar 2,2 microseconde leven in hun
ruststelsel, is een gevolg van tijdrek. De relativistische factor van een muon dat met een snelheid van
99,9% van de lichtsnelheid beweegt is:
1 1
γ= v = 2
(0,999 c)2 = 22,4
√ 1− 2
c
1−
√ c2
In ons stelsel leeft het muon dan:
∆tb = γ ∙ ∆te = 22,4 ∙ 2,2 ∙ 10-6 = 4,9 ∙ 10-5 s
In die tijd verplaatst het muon zich over een afstand van:
s = v ∙ t = 0,999c ∙ 4,9 ∙ 10-5 = 15 km
De muonen kunnen dus de atmosfeer met een dikte van 10 km doorkomen.
Lengtekrimp:
Ook afstanden in de bewegingsrichting
hangen af van het referentiestelsel van de
waarnemer.
In figuur D.5a zie je een laptop als die stil
staat ten opzichte van jou. In figuur D.5b zie
je de laptop overdreven weergegeven als die
ten opzichte van jou naar links of rechts
beweegt. Een voorwerp dat ten opzichte van
jou beweegt, neem je smaller waar. Dit heet
lengtekrimp.
Deze lengtekrimp geldt alleen voor de richting waarin het voorwerp beweegt, daarom is de breedte
kleiner maar de hoogte niet.
De lengte van het bewegende stelsel bereken je met:
le
lb =
γ
- lb is de lengte in meter, die een waarnemer meet als hij beweegt ten opzichte van het ruststelsel
van het voorwerp.
2
§D.1 Tijdrek en lengtekrimp
Referentiestelsel:
Wanneer een trein jou passeert, zeg je dat de trein beweegt ten opzichte van jou. Jij ziet alle
bewegingen in een stelsel waarvan jij het middelpunt bent, een referentiestelsel.
Voor een passagier in de trein beweeg jij ten opzichte van de trein. In het referentiestelsel van de
passagier ben jij degene die een bepaalde afstand in een bepaalde tijd aflegt.
Speciale relativiteitstheorie:
Als twee waarnemers ten opzichte van elkaar bewegen, nemen ze voor hetzelfde proces een
verschillende tijd en afstand waar. De enige waarneming die overeenkomt is de snelheid van het
licht. Deze heeft voor elke waarnemer overal in de ruimte dezelfde waarde: c = 2,9979… ∙ 108 m/s.
De ruimte en de tijd zijn aan elkaar gekoppeld en vormen samen de ruimtetijd.
Muonen ontstaan bovenin de atmosfeer door botsingen van deeltjes uit de ruimte met moleculen in
de atmosfeer. Een muon heeft een gemiddelde levensduur van 2,2 microseconden en beweegt bijna
met de lichtsnelheid. Een muon kan dus maximaal een afstand afleggen van s = v ∙ t = 3,0 ∙ 108 ∙ 2,2
∙ 10-6 = 660 meter. Muonen zouden dus niet waargenomen kunnen worden op het oppervlak van de
aarde.
Einsteins speciale relativiteitstheorie verklaart het waarnemen van de muonen. Einstein stelt dat de
afstanden in het referentiestelsel van de muonen zijn gekrompen ten opzichte van die in het
referentiestelsel van de waarnemer op aarde. Tegelijkertijd is de tijd gerekt in het referentiestelsel
van de waarnemer op aarde ten opzichte van de in het referentiestelsel van de muonen.
De afstanden en tijden in de referentiestelsels van de muonen en de waarnemer op aarde komen
niet meer overeen.
Tijdrek:
Licht kun je opgebouwd denken uit deeltjes die bewegen met de lichtsnelheid. Deze deeltjes noem je
fotonen. Een lichtklok bestaat uit twee spiegels waartussen een foton heen en weer beweegt. De tijd
die een foton nodig heeft om van de ene spiegel naar de andere en weer terug te bewegen, is de
periode T.
Anita zit in en trein naast de lichtklok, terwijl de trein Bruce voorbij rijdt. Anita ziet gedurende een
periode de lichtklok zoals figuur D.3. Bruce ziet de lichtklok dan zoals in figuur D.4. Voor Anita en
Bruce beweegt het foton met dezelfde snelheid: de lichtsnelheid.
Volgens Anita legt het foton gedurende één periode de afstand 2D af. Volgens Bruce is deze afstand
groter dan 2D. Dit betekent ook dat de periode van Bruce groter is dan de periode van Anita. Een
1
, proces in een stelsel dat beweegt ten opzichte van jou, duurt voor jou langer dan voor een
waarnemer in dat stelsel zelf. Dit noem je tijdrek.
Het referentiestelsel van de lichtklok noem je het ruststelsel. Anita bevindt zich dus in het ruststelsel,
omdat zij in rust is ten opzichte van de klok. De tijd in het referentiestelsel van Bruce is gerekt. Je
kunt de tijdrek bereken met:
∆tb = γ ∙ ∆te
- ∆tb is de tijd van een proces in seconden, die een waarnemer meet als hij beweegt ten opzichte
van het ruststelsel van het proces.
- ∆te is de eigentijd van een proces in seconden, die een waarnemer meet als hij zich in het
ruststelsel van het proces bevindt.
- γ is de relativistische factor en heeft geen eenheid.
De relativistische factor ( γ ) is altijd groter of gelijk aan 1. Er geldt:
1
γ= v2
√ 1−
c2
- v is de snelheid in m/s
- c is de lichtsnelheid in m/s
Dat je muonen waarneemt op het aardoppervlak, terwijl ze maar 2,2 microseconde leven in hun
ruststelsel, is een gevolg van tijdrek. De relativistische factor van een muon dat met een snelheid van
99,9% van de lichtsnelheid beweegt is:
1 1
γ= v = 2
(0,999 c)2 = 22,4
√ 1− 2
c
1−
√ c2
In ons stelsel leeft het muon dan:
∆tb = γ ∙ ∆te = 22,4 ∙ 2,2 ∙ 10-6 = 4,9 ∙ 10-5 s
In die tijd verplaatst het muon zich over een afstand van:
s = v ∙ t = 0,999c ∙ 4,9 ∙ 10-5 = 15 km
De muonen kunnen dus de atmosfeer met een dikte van 10 km doorkomen.
Lengtekrimp:
Ook afstanden in de bewegingsrichting
hangen af van het referentiestelsel van de
waarnemer.
In figuur D.5a zie je een laptop als die stil
staat ten opzichte van jou. In figuur D.5b zie
je de laptop overdreven weergegeven als die
ten opzichte van jou naar links of rechts
beweegt. Een voorwerp dat ten opzichte van
jou beweegt, neem je smaller waar. Dit heet
lengtekrimp.
Deze lengtekrimp geldt alleen voor de richting waarin het voorwerp beweegt, daarom is de breedte
kleiner maar de hoogte niet.
De lengte van het bewegende stelsel bereken je met:
le
lb =
γ
- lb is de lengte in meter, die een waarnemer meet als hij beweegt ten opzichte van het ruststelsel
van het voorwerp.
2
