Samenvatting Wiskunde voor bedrijfskundigen I Bewijzen

.




Wiskunde voor bedrijfskundigen I
Bewijzen




Handelswetenschappen
Academiejaar 2018-2019

,Bewijzen
b D
1. Kwadratische functie: y = ax 2 + bx + c; Bewijs topformule: ( − 2a , − 2a ).....................................1

2. Grondtalveranderingseigenschap: logaritmen. loga x = loga b ∙ logb x ...................................................1

3. Verband tussen expa en exp1/a en loga en log1/a ..............................................................................................2

π
4. Ongelijkheid sinus-tangens: ∀x ∈ ] 0, 2 [ ∶ sin x < x < tan x ....................................................................3

sin x
5. cos x < x
< 1 ..................................................................................................................................................................3

sin x
6. Toepassing knijpstelling: lim x
= 1 ...................................................................................................................4
x→0

f′(x)
7. Stelling: ( ln |f(x)| )′ = f(x)
als f(x) ≠ 0 ..................................................................................................................4

8. Continuïteit: lim f(x) = f(x0 ). ....................................................................................................................................5
x→x0

f′(x0)
9. Basisformule elasticiteit: εf (x0 ) = f(x0 )
∙ x0 ........................................................................................................5

10. Grafische betekenis van εf (x0 ) / “Marshall criterium “ /

Vergelijk raaklijn R door het punt (x0 , f(x0 )) .....................................................................................................6

11. Verband tussen O′(p) en prijselasticiteit van de vraag: O = p ∙ V(p) ....................................................7

12. Elasticiteit: εg (x) = p ∙ εf (x).........................................................................................................................................7

13. Machtsfunctie elasticiteit: Als f(x) = ax b (a, b ∈ ℝ en a ≠ 0), dan εf = b ........................................8

14. Exponentiële functie elasticiteit: als f(x) = aebx (a, b ∈ ℝ en a ≠ 0), dan εf = bx.........................8

15. Productregel elasticiteit: εf∙g = εf + εg ...................................................................................................................9

16. Quotiëntregel elasticiteit: εf/g = εf − εg ................................................................................................................9

17. Kettingregel elasticiteit: als h(x) = g(u) met u = f(x), dan εh (x) = εg (u) ∙ εf (x) ........................10

f(x)
18. Bewijs van a = lim x
............................................................................................................................................10
x→+∞

19. Bewijs van b = lim (f(x) − ax) ...........................................................................................................................11
x→+∞

, 𝑏 D
❖ Kwadratische functie: 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, Bewijs topformule: ( − 2𝑎 , − 2𝑎 )

Herschrijf gedaante 2 als gedaante 1: zoek 𝑝 en 𝑞 zodat de gelijkheid
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 opgaat voor alle 𝑥 ∈ ℝ.

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 rechterlid uitwerken
= 𝑎(𝑥 2 − 2𝑝𝑥 + 𝑝2 ) + 𝑞
= 𝑎𝑥 2 − 2𝑎𝑝𝑥 + 𝑎𝑝2 + 𝑞


𝑎𝑥 2 = 𝑎𝑥 2 𝑏𝑥 = −2𝑎𝑝𝑥 𝑐 = 𝑎𝑝2 + 𝑞
𝑏 = −2𝑎𝑝 𝑞 = 𝑐 − 𝑎𝑝2
𝑏 𝑏
𝑝 = − 2𝑎 𝑞 = 𝑐 − 𝑎(− 2𝑎)2
𝑏2
𝑞 = 𝑐 − 𝑎 ∙ 4𝑎 2
4𝑎𝑐−𝑏 2
𝑞 =
4𝑎

𝐷
𝑞 = −
4𝑎



❖ Grondtalveranderingseigenschap logaritmen. loga x = loga b ∙ logb x

In de plaats van rechtstreeks van 𝑎
∀𝑥 ∈ ℝ+
0 ∶ log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑏 ∙ log𝑏 𝑥 naar 𝑥 te gaan, doen we dit met een
tussen stap, namelijk 𝑏
log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑏 ∙ log𝑏 𝑥 = 𝒚


Te bewijzen: 𝒂𝒚 = 𝒙 (via definitie 𝐥𝐨𝐠 𝒂 )

log𝑏 𝑥 Toepassen eigenschap
𝑎𝑦 = 𝑎( log𝑎 𝑏 ∙ log𝑏 𝑥 ) = (𝑎log𝑎 𝑏 ) log 𝑥
→ 𝑎 𝑎 =𝑥
= 𝑏log𝑏 𝑥

= 𝑥


Herschrijven log𝑎 𝑥
log𝑏 𝑥 =
log𝑎 𝑏




1