35. Vl Ana1LinA Vektoräume mit Skalarprodukt 1

Bsp im IR k!
xk=
q
x21 + x22
Länge Norm
f Standardnorm des K
s

Typische Eigenschaften 1 1171120 VIII O E Ö
einer Norm
2 HIN IHNEN

3 1 Fry IE III DEN Dreiecksnagleichung




Definition Norm

Sei V ein 1k Vektorraum
Eine Norm ist eine Abbildung I II U R mit den Eigenschaften
Höll20 VIII OH F Ö positive Definitkeit

HAITI Al Hill Homogenität

MIT'll Ellüllt 11yd Dreieckungleichung



1k Höll
III VK.tt.it
Bsp 1 Standardnorm HEIL



2 1k p Norm Höll Ix t hat EE Ix

3 1k Maximumsnorm III max Ital Ist Ital

4 V
f f ab R fstetig

HE E HIHI

, Skalarprodukt

Definition Skalarprodukt

Sei Vein Ik Vektorraum Eine Abbildung V V Ik

V
manchmal ü E
heißtSkalarprodukt auf wenn
gilt
linear im 1 Argument Etv Es ü ü ü ü
Lü EI E E E E ü

AE ACE

symmetrisch E E E Es in IR

out in


positive Definitheit E E 20 üü o t ö
Isblondere
LEE ER

Ein R Vektorraum mitSkalarprodukt heißt Euklidischer Vektorraum

Ein G Vektorraum mitSkalarprodukt heißt knitärer Vektorraum


Für IR Vektorräume ist das Skalarprodukt auchim zweiten Argumentlinear

E ü ä T ä E

LE AT A Lü

Für 4 Vektorräume
gilt
CE Es E E ü ü

ü JE I ü ü