Gewone differentiaalvergelijkingen
Lineaire differentiaalvergelijkingen
1. De algemene oplossing van een nde orde lineaire gereduceerde differentiaalvergelijking heeft
steeds n lineair onafhankelijke basisoplossingen.
2. Een lineaire complete differentiaalvergelijking heeft steeds een speciale structuur van
oplossingsverzameling: Ze heeft steeds 2 oplossingen waarbij er steeds eentje een particulier
oplossing wordt genoemd, de andere is steeds de som van de particuliere oplossing plus een
lineaire combinatie van de oplossingen van de gereduceerde DV.
3. Gereduceerde met constante coëfficiënten zowel dubbele wortel als imaginaire
4. Gereduceerde van de eerste graad➔standaardvorm
5. Gereduceerde van Euler ➔standaardvorm
6. Wronskiaanse determinant
7. Complete met de “pen en papier-methode”
a. G(x)= aebx dan is vooropgestelde y(x) = Cebx
b. G(x)= axn dan is vooropgestelde y(x) = C0+C1x+C2x2…Cnxn
c. G(x)= acos(bx) of asin(bx) dan is vooropgestelde y(x) = C 1cos(bx)+C2sin(bx)
d. G(x)= G1(x)*G2(x) dan is vooropgestelde y(x) = y1 (x)*y2 (x)
e. G(x)= G1(x)+G2(x) dan is vooropgestelde y(x) = y1 (x)+y2 (x)
8. Complete met Lagrange
9. Existentie en uniciteitstelling voor lineaire differentiaalvergelijkingen
10. Bernouilli en de 2 bijhorende handigheidjes van de Wronskiaanse determinant opgelet enkel
toepasbaar bij een 2DE orde DV vergeet ook de formule zeker niet y
𝑦1
Vergeet niet om alles in standaardvorm te zetten
11. EUS van lineaire differentiaalvergelijking in eigen woorden:
Als en slechts als de coëfficiënten van de standaardvorm en g(x) ,dus het rechterlid van de
differentiaalvergelijking, continu zijn op het interval ]a,b[ en er bovendien n
beginvoorwaarden zijn waarvoor geldt dat t0 uit y(t0) binnen het interval ]a,b[ ligt dan
weten we zeker dat we een unieke oplossing kunnen vinden.
Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen
1. Existentie en uniciteitstelling (enige expliciete stukje theorie over niet-lineaire
differentiaalvergelijkingen)
2. Scheiding der machten
3. Substitutie van de oorspronkelijke standaardvorm
1
, Rijen en reeksen
Numerieke rijen en reeksen
1. Harmonische reeks ➔ divergent
2. Nodige voorwaarde ➔ algemene term van de reeks moet naar 0 gaan
3. Als je een reekssom hebt die stijgend is en naar boven begrens dan is deze reekssom
convergent naar zijn kleinst mogelijke bovengrens
4. Als je een reekssom hebt die dalend is en naar onder begrensd dan is deze reekssom
convergent naar de grootst mogelijke ondergrens
5. Daarentegen als een functie dalend/ stijgend is en respectievelijk niet naar onder / boven
begrensd dan is deze reekssom sowieso convergent
6. Stelling van Leibniz: Als je een reeks hebt die wisselt van teken en waarvoor de algemene
term naar 0 gaat en de absolute waarde van de algemene term een dalende rij is dan is deze
reeks mat zekerheid convergent.
7. Als de reeks van de absolute waarde van de algemene term convergeert, convergeert de
reeks sowieso ook we noemen dit absoluut convergent. Wanneer de absolute waarde van
die reeks niet convergeert en de reeks zelf wel (bv: harmonische wisselreeks) dan noemen
we dit betrekkelijk convergent
8. Vergelijkingstest: wanneer de algemene term van een reeds onderzocht convergente reeks
groter is dan de algemene term van de nieuwe reeks weten we met zekerheid dat ook die
reeks zal convergeren hetzelfde geldt voor divergentie maar dan in de omgekeerde
ongelijkheid
9. Integratietest van Cauchy:
als en slechts als f continu is op [1,+infinity[ f<0
op [1,+infinity[
f monotoon dalend op [1,+infinity[
dan zal de reekssom waarvan de algemene term overeenstemt met f(m) convergeren als de
integraal van Cauchy convergeert
10. Convergentietest van D’Alembert: zie cursus:
eigenschap: randpunten van D’Alembert ➔checken op convergentie, kan zowel absoluut als
betrekkelijk convergent zijn binnen in gebied sowieso convergent.
11. Worteltest (alternatief voor D’Alembert) ➔ We beschouwen volgende reeks: 𝑎𝑛
1
Als vanaf een zekere rang N geldt dat |a | ≤ r <1 dan weten we met zekerheid dat de reeks
n
n
𝑎𝑛 absoluut convergeert. In eigen woorden komt het erop neer dat je vanaf een
bepaalde nde term de nde machtswotel moet nemen en deze moet strikt kleiner zijn dan 1 a n
moet met andere woorden zelf strikt kleiner zijn dan 1 ook.
1
We kunnen deze stelling ook uitbreiden want als vanaf een bepaalde n geldt dat |a |n >1 Dan
n
kunnen we met zekerheid zeggen dat de reeks divergeert
12. Nog extra toevoeging: vergelijkingstest:
2
Lineaire differentiaalvergelijkingen
1. De algemene oplossing van een nde orde lineaire gereduceerde differentiaalvergelijking heeft
steeds n lineair onafhankelijke basisoplossingen.
2. Een lineaire complete differentiaalvergelijking heeft steeds een speciale structuur van
oplossingsverzameling: Ze heeft steeds 2 oplossingen waarbij er steeds eentje een particulier
oplossing wordt genoemd, de andere is steeds de som van de particuliere oplossing plus een
lineaire combinatie van de oplossingen van de gereduceerde DV.
3. Gereduceerde met constante coëfficiënten zowel dubbele wortel als imaginaire
4. Gereduceerde van de eerste graad➔standaardvorm
5. Gereduceerde van Euler ➔standaardvorm
6. Wronskiaanse determinant
7. Complete met de “pen en papier-methode”
a. G(x)= aebx dan is vooropgestelde y(x) = Cebx
b. G(x)= axn dan is vooropgestelde y(x) = C0+C1x+C2x2…Cnxn
c. G(x)= acos(bx) of asin(bx) dan is vooropgestelde y(x) = C 1cos(bx)+C2sin(bx)
d. G(x)= G1(x)*G2(x) dan is vooropgestelde y(x) = y1 (x)*y2 (x)
e. G(x)= G1(x)+G2(x) dan is vooropgestelde y(x) = y1 (x)+y2 (x)
8. Complete met Lagrange
9. Existentie en uniciteitstelling voor lineaire differentiaalvergelijkingen
10. Bernouilli en de 2 bijhorende handigheidjes van de Wronskiaanse determinant opgelet enkel
toepasbaar bij een 2DE orde DV vergeet ook de formule zeker niet y
𝑦1
Vergeet niet om alles in standaardvorm te zetten
11. EUS van lineaire differentiaalvergelijking in eigen woorden:
Als en slechts als de coëfficiënten van de standaardvorm en g(x) ,dus het rechterlid van de
differentiaalvergelijking, continu zijn op het interval ]a,b[ en er bovendien n
beginvoorwaarden zijn waarvoor geldt dat t0 uit y(t0) binnen het interval ]a,b[ ligt dan
weten we zeker dat we een unieke oplossing kunnen vinden.
Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen
1. Existentie en uniciteitstelling (enige expliciete stukje theorie over niet-lineaire
differentiaalvergelijkingen)
2. Scheiding der machten
3. Substitutie van de oorspronkelijke standaardvorm
1
, Rijen en reeksen
Numerieke rijen en reeksen
1. Harmonische reeks ➔ divergent
2. Nodige voorwaarde ➔ algemene term van de reeks moet naar 0 gaan
3. Als je een reekssom hebt die stijgend is en naar boven begrens dan is deze reekssom
convergent naar zijn kleinst mogelijke bovengrens
4. Als je een reekssom hebt die dalend is en naar onder begrensd dan is deze reekssom
convergent naar de grootst mogelijke ondergrens
5. Daarentegen als een functie dalend/ stijgend is en respectievelijk niet naar onder / boven
begrensd dan is deze reekssom sowieso convergent
6. Stelling van Leibniz: Als je een reeks hebt die wisselt van teken en waarvoor de algemene
term naar 0 gaat en de absolute waarde van de algemene term een dalende rij is dan is deze
reeks mat zekerheid convergent.
7. Als de reeks van de absolute waarde van de algemene term convergeert, convergeert de
reeks sowieso ook we noemen dit absoluut convergent. Wanneer de absolute waarde van
die reeks niet convergeert en de reeks zelf wel (bv: harmonische wisselreeks) dan noemen
we dit betrekkelijk convergent
8. Vergelijkingstest: wanneer de algemene term van een reeds onderzocht convergente reeks
groter is dan de algemene term van de nieuwe reeks weten we met zekerheid dat ook die
reeks zal convergeren hetzelfde geldt voor divergentie maar dan in de omgekeerde
ongelijkheid
9. Integratietest van Cauchy:
als en slechts als f continu is op [1,+infinity[ f<0
op [1,+infinity[
f monotoon dalend op [1,+infinity[
dan zal de reekssom waarvan de algemene term overeenstemt met f(m) convergeren als de
integraal van Cauchy convergeert
10. Convergentietest van D’Alembert: zie cursus:
eigenschap: randpunten van D’Alembert ➔checken op convergentie, kan zowel absoluut als
betrekkelijk convergent zijn binnen in gebied sowieso convergent.
11. Worteltest (alternatief voor D’Alembert) ➔ We beschouwen volgende reeks: 𝑎𝑛
1
Als vanaf een zekere rang N geldt dat |a | ≤ r <1 dan weten we met zekerheid dat de reeks
n
n
𝑎𝑛 absoluut convergeert. In eigen woorden komt het erop neer dat je vanaf een
bepaalde nde term de nde machtswotel moet nemen en deze moet strikt kleiner zijn dan 1 a n
moet met andere woorden zelf strikt kleiner zijn dan 1 ook.
1
We kunnen deze stelling ook uitbreiden want als vanaf een bepaalde n geldt dat |a |n >1 Dan
n
kunnen we met zekerheid zeggen dat de reeks divergeert
12. Nog extra toevoeging: vergelijkingstest:
2
