Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Reken-wiskundedidactiek
Hoofdstuk 1; samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Relatief aspect
- Kommagetallen: decimale breuken
- Breuken / procenten: geven verhouding aan
10 km/u = 2,7 m/s → M 10000 (10 km = 10000 m) 2.7
S 3600 (1 u = 3600 sec.) 1
Absoluut en relatief
- Breuk: zowel absoluut als relatief
- Procenten: altijd relatief = altijd de operator
Hoofdstuk 2: Verhoudingen
Naar rato = naar verhouding
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld
Niet gestandaardiseerde verhoudingen zoals 2op de 7 op 1 op de miljoen zijn lastiger te vergelijken.
Wanverhoudingen: worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of aandacht te trekken.
Kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen
Kwalitatieve verhoudingen:er komt geen getal aan te pas (schoenendoos= naar verhouding te groot)
Interne verhouding: als een verhouding één grootheid of eenheid betreft (bijv. de spoorbomen zijn 1
op de 10 minuten dicht; 1 op de 4 pabostudenten is een jongen; 1 op de 3 kinderen heeft huisdier).
Externe verhouding: betreft twee verschillende grootheden; bijv. de afgelegde afstand in een
bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Verhoudingsdeling: bijv. je hebt 12 snoepjes: hoeveel groepjes van 4 snoepjes kan ik maken? Bij
verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde (12 (snoepjes) : 4 (snoepjes). Het gaat
om (interne) verhouding.
Verdelingsdeling: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes: hoeveel snoepjes krijgt elk kind? Bij de
verdelingsdeling representeren deeltal en deler elk iets anders: 12 (snoepjes) : 3 (kinderen)= … Het is
een externe verhouding (= aantal snoepjes per kind)
Lineair verband. Wanneer de grafiek door de oorsprong gaat, dan is het verband een evenredig
verband ofwel een verhouding. Wanneer er een startbedrag is (dus grafiek gaat niet door oorsprong)
dan is er wél sprake van een lineair verband, maar geen sprake van een verhouding.
Additief = meer (3 keer meer); Multiplicatief = keer (vier keer zo veel)
Irrationaal getal = phi en pi → Dit betekent dat er geen groepje decimalen is dat zichzelf repeteert
, Leerlijn verhoudingen
1. Informeel handelen en redeneren: gr 1/2 , 3
Bijv. vergelijken en ordenen van dingen op grootte. Het gaat om kwalitatieve: zichtbare
verschillen in grootte, afstand, etc. In de loop van de tijd worden verhoudingen
gekwantificeerd: bijv. de reus is vijf keer groter dan de dwerg.
2. Modelondersteunend redeneren en rekenen in contextsituaties
Bijv. als drie kinderen zes snoepjes krijgen, hoeveel zijn er dan nodig voor vier kinderen.
Eerlijke verdeelsituaties ; vermenigvuldigen.
3. Modelondersteunend en formeel redeneren en rekenen
bijv. werken met een schaal; samengestelde grootheden; rekenen met analogieën
Modellen bij verhoudingen: dubbele getallenlijn, de verhoudingstabel en de schaallijn (strookmodel
bij procenten)
- Dubbele getallenlijn is een denkmodel; verhouding tussen twee grootheden zichtbaar
- Verhoudingstabel; abstracter dan dubbele getallenlijn; fungeert ook als denkmodel
Gestandaardiseerde verhoudingen: procenten
Afstand aarde-zon = 150 miljoen km (= 1AE)
Hoofdstuk 3 - procenten
Procenten zijn onmisbaar om getalsmatige informatie te interpreteren, omdat ze relatieve gegevens
zijn. 100% is het geheel of totaal waar je van uitgaat.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: geeft aan hoe iets zich tot de 100 verhoudt.
Procentpunt. Bij een daling van de rente van 4% naar 2% wordt soms geschreven dat de rente met
2% is gedaald; dit moet echter 2 procentpunt zijn! De daling uitgedrukt in procenten is 50%!
Promille = per duizend
Leerlijn procenten (gr. 7 + 8)
- Informele noties en betekenis van procenten
- Verschijningen van procenten
- Relatieve aspect van procenten
- Model ondersteunend redeneren en rekenen
- relatie met breuken
- Model ondersteunend en formeel redeneren en rekenen
- vraagstukken met toename en afname
- procenten op de rekenmachine
Voorkennis: breuken, kommagetallen, hoofdrekenvaardigheden
Hoofdrekenen met het hoofd: een deel op papier noteren
Hoofdrekenen uit het hoofd: compleet uit het hoofd; alle stappen.
Een standaardprocedure is een oplossingswijze volgens een vast stappenplan (bijv. rekenen via 1%).
Procentenassymmetrie: als ergens een bepaald percentage bij komt, er een ander percentage vanaf
moet om weer op de uitgangssituatie te komen.
Reken-wiskundedidactiek
Hoofdstuk 1; samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Relatief aspect
- Kommagetallen: decimale breuken
- Breuken / procenten: geven verhouding aan
10 km/u = 2,7 m/s → M 10000 (10 km = 10000 m) 2.7
S 3600 (1 u = 3600 sec.) 1
Absoluut en relatief
- Breuk: zowel absoluut als relatief
- Procenten: altijd relatief = altijd de operator
Hoofdstuk 2: Verhoudingen
Naar rato = naar verhouding
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld
Niet gestandaardiseerde verhoudingen zoals 2op de 7 op 1 op de miljoen zijn lastiger te vergelijken.
Wanverhoudingen: worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of aandacht te trekken.
Kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen
Kwalitatieve verhoudingen:er komt geen getal aan te pas (schoenendoos= naar verhouding te groot)
Interne verhouding: als een verhouding één grootheid of eenheid betreft (bijv. de spoorbomen zijn 1
op de 10 minuten dicht; 1 op de 4 pabostudenten is een jongen; 1 op de 3 kinderen heeft huisdier).
Externe verhouding: betreft twee verschillende grootheden; bijv. de afgelegde afstand in een
bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Verhoudingsdeling: bijv. je hebt 12 snoepjes: hoeveel groepjes van 4 snoepjes kan ik maken? Bij
verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde (12 (snoepjes) : 4 (snoepjes). Het gaat
om (interne) verhouding.
Verdelingsdeling: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes: hoeveel snoepjes krijgt elk kind? Bij de
verdelingsdeling representeren deeltal en deler elk iets anders: 12 (snoepjes) : 3 (kinderen)= … Het is
een externe verhouding (= aantal snoepjes per kind)
Lineair verband. Wanneer de grafiek door de oorsprong gaat, dan is het verband een evenredig
verband ofwel een verhouding. Wanneer er een startbedrag is (dus grafiek gaat niet door oorsprong)
dan is er wél sprake van een lineair verband, maar geen sprake van een verhouding.
Additief = meer (3 keer meer); Multiplicatief = keer (vier keer zo veel)
Irrationaal getal = phi en pi → Dit betekent dat er geen groepje decimalen is dat zichzelf repeteert
, Leerlijn verhoudingen
1. Informeel handelen en redeneren: gr 1/2 , 3
Bijv. vergelijken en ordenen van dingen op grootte. Het gaat om kwalitatieve: zichtbare
verschillen in grootte, afstand, etc. In de loop van de tijd worden verhoudingen
gekwantificeerd: bijv. de reus is vijf keer groter dan de dwerg.
2. Modelondersteunend redeneren en rekenen in contextsituaties
Bijv. als drie kinderen zes snoepjes krijgen, hoeveel zijn er dan nodig voor vier kinderen.
Eerlijke verdeelsituaties ; vermenigvuldigen.
3. Modelondersteunend en formeel redeneren en rekenen
bijv. werken met een schaal; samengestelde grootheden; rekenen met analogieën
Modellen bij verhoudingen: dubbele getallenlijn, de verhoudingstabel en de schaallijn (strookmodel
bij procenten)
- Dubbele getallenlijn is een denkmodel; verhouding tussen twee grootheden zichtbaar
- Verhoudingstabel; abstracter dan dubbele getallenlijn; fungeert ook als denkmodel
Gestandaardiseerde verhoudingen: procenten
Afstand aarde-zon = 150 miljoen km (= 1AE)
Hoofdstuk 3 - procenten
Procenten zijn onmisbaar om getalsmatige informatie te interpreteren, omdat ze relatieve gegevens
zijn. 100% is het geheel of totaal waar je van uitgaat.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: geeft aan hoe iets zich tot de 100 verhoudt.
Procentpunt. Bij een daling van de rente van 4% naar 2% wordt soms geschreven dat de rente met
2% is gedaald; dit moet echter 2 procentpunt zijn! De daling uitgedrukt in procenten is 50%!
Promille = per duizend
Leerlijn procenten (gr. 7 + 8)
- Informele noties en betekenis van procenten
- Verschijningen van procenten
- Relatieve aspect van procenten
- Model ondersteunend redeneren en rekenen
- relatie met breuken
- Model ondersteunend en formeel redeneren en rekenen
- vraagstukken met toename en afname
- procenten op de rekenmachine
Voorkennis: breuken, kommagetallen, hoofdrekenvaardigheden
Hoofdrekenen met het hoofd: een deel op papier noteren
Hoofdrekenen uit het hoofd: compleet uit het hoofd; alle stappen.
Een standaardprocedure is een oplossingswijze volgens een vast stappenplan (bijv. rekenen via 1%).
Procentenassymmetrie: als ergens een bepaald percentage bij komt, er een ander percentage vanaf
moet om weer op de uitgangssituatie te komen.
