Samenvatting Rekenen hoofdstuk 1, 2 en 3
Domeinen:
- Breuken
- Procenten -> ze worden gebruikt om getalsmatige informatie
- Kommagetallen weer te geven.
- Verhoudingen
Bij de domeinen procenten en verhoudingen, kun je bij ieder domein een relatief aspect
onderscheiden. Kommagetallen zijn decimale breuken en kunnen breuken en procenten
allebei een verhouding aangeven. Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en
een geheel. Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel dat op
honderd is gesteld. Hierdoor kun je hetzelfde op verschillende manieren zeggen of schrijven.
Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruik en verschijningsvorm in de
realiteit:
- geldbedragen gebruiken we kommagetallen en geen breuken.
- procenten kom je tegen bij kortingen en rente.
Relatienetwerk
tussendoel: Leerlingen ontwikkelen een netwerk van getalrelaties tussen de deelgebieden
en kunnen dit inzetten voor flexibel en globaal rekenen.
0,25 = ¼ deel = 1 van de 4 = 25%
● Ongestandaardiseerd
Gestandaardiseerd
Gestandaardiseerd = er is 1 schrijfwijze voor een getal of waarde mogelijk.
Breuken en kommagetallen kennen overeenkomsten en verschillen:
● Het zijn allebei gebroken getallen en rationale getallen
● De notatie verschilt
● Breuken en kommagetallen kom je tegen als meetgetallen
● Breuken komen vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid,
kommagetallen bijna nooit.
● Alle breuken kunnen worden genoteerd als kommagetallen.
, Kinderen denken ⅕ is hetzelfde als 0,5 bij onvoldoende begrip. Om kinderen dit soort
relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel, gebruik maken van de
verschijningsvorm meetgetal. Bijvoorbeeld met behulp van geld.
1,- = 1/1 0,50 = ½ en ½ 0.20 = ⅕ ⅕ ⅕ ⅕ ⅕ ⅕
Een moeilijkheid hierbij is gegeven dat het rekengetal 0,10 = 0,1. Met alleen de mededeling
dat je nullen mag toevoegen, maak je het voor kinderen niet makkelijker. Want als ze niet
begrijpen waarom dit mag, kan dit fouten veroorzaken als 0,1 = 0,01. En op die manier
nullen toevoegen, mag juist niet.
Een manier om hier inzichtelijk mee om te gaan, is het gebruik van verschillende
ondermaten die kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld 0,1 meter is 1 decimeter.
Van breuk naar kommagetal
Als je de uitkomst niet via je rekenmachine maar hoofdrekenend bepaalt, is die ontdekking
heel gemakkelijk te doen. Hoeveel zevens gaan er 1? 0 -> noteer een 0 en een komma
hoeveel zevens in 10 -> 1, over 3
hoeveel zevens in 30 -> 4. over 2
hoeveel zevens in 20 -> 2, over 6
hoeveel zevens in 60 -> 8, over 4
hoeveel zevens in 40 -> 5, over 5
hoeveel zevens in 50 -> 7, over 1
hoeveel zevens in 10 -> vanaf hier gaat het liedje zich herhalen
= 0,0142857142857… 1/7 = repeterende breuk en de sliert 142857 = repetendum.
Van kommagetal naar breuk
● Als de breuk niet repeteert, is het eenvoudig.
3,152 = 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 3 19/125.
● Bij een repeterende breuk. Vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met 10 als
het repetendum lang is. Trek van deze uitkomst de gezocht breuk af, dan verdwijnen
alle decimalen. Wat overblijft, zet je aan de onderkant van de breuk, bovenkant is
sliert als heel getal.
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal
kun je weergeven als een punt op de getallenlijn. Een operator doet iets met een getal,
hoeveelheid of prijs. De breuk geeft een relatief gegeven aan.
Een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een operator. Je moet
voorzichtig zijn met het plaatsen van percentages op de getallenlijn tussen 0 en 1, alsof het
gebroken getallen zijn. De strook is geschikter om percentages te plaatsen en te ordenen,
omdat je daarop zo nodig ook de absolute gegevens kunt plaatsen.
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Dit is
parate feitenkennis zoals ½ = 5/10 = 0,5. Dit soort ‘weetjes’ moet snel beschikbaar zijn,
zodat kinderen flexibel kunnen toepassen bij het redeneren en rekenen met breuken,
verhoudingen, procenten en kommagetallen. In de bovenbouw moet die kennis van
Domeinen:
- Breuken
- Procenten -> ze worden gebruikt om getalsmatige informatie
- Kommagetallen weer te geven.
- Verhoudingen
Bij de domeinen procenten en verhoudingen, kun je bij ieder domein een relatief aspect
onderscheiden. Kommagetallen zijn decimale breuken en kunnen breuken en procenten
allebei een verhouding aangeven. Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en
een geheel. Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel dat op
honderd is gesteld. Hierdoor kun je hetzelfde op verschillende manieren zeggen of schrijven.
Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruik en verschijningsvorm in de
realiteit:
- geldbedragen gebruiken we kommagetallen en geen breuken.
- procenten kom je tegen bij kortingen en rente.
Relatienetwerk
tussendoel: Leerlingen ontwikkelen een netwerk van getalrelaties tussen de deelgebieden
en kunnen dit inzetten voor flexibel en globaal rekenen.
0,25 = ¼ deel = 1 van de 4 = 25%
● Ongestandaardiseerd
Gestandaardiseerd
Gestandaardiseerd = er is 1 schrijfwijze voor een getal of waarde mogelijk.
Breuken en kommagetallen kennen overeenkomsten en verschillen:
● Het zijn allebei gebroken getallen en rationale getallen
● De notatie verschilt
● Breuken en kommagetallen kom je tegen als meetgetallen
● Breuken komen vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid,
kommagetallen bijna nooit.
● Alle breuken kunnen worden genoteerd als kommagetallen.
, Kinderen denken ⅕ is hetzelfde als 0,5 bij onvoldoende begrip. Om kinderen dit soort
relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel, gebruik maken van de
verschijningsvorm meetgetal. Bijvoorbeeld met behulp van geld.
1,- = 1/1 0,50 = ½ en ½ 0.20 = ⅕ ⅕ ⅕ ⅕ ⅕ ⅕
Een moeilijkheid hierbij is gegeven dat het rekengetal 0,10 = 0,1. Met alleen de mededeling
dat je nullen mag toevoegen, maak je het voor kinderen niet makkelijker. Want als ze niet
begrijpen waarom dit mag, kan dit fouten veroorzaken als 0,1 = 0,01. En op die manier
nullen toevoegen, mag juist niet.
Een manier om hier inzichtelijk mee om te gaan, is het gebruik van verschillende
ondermaten die kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld 0,1 meter is 1 decimeter.
Van breuk naar kommagetal
Als je de uitkomst niet via je rekenmachine maar hoofdrekenend bepaalt, is die ontdekking
heel gemakkelijk te doen. Hoeveel zevens gaan er 1? 0 -> noteer een 0 en een komma
hoeveel zevens in 10 -> 1, over 3
hoeveel zevens in 30 -> 4. over 2
hoeveel zevens in 20 -> 2, over 6
hoeveel zevens in 60 -> 8, over 4
hoeveel zevens in 40 -> 5, over 5
hoeveel zevens in 50 -> 7, over 1
hoeveel zevens in 10 -> vanaf hier gaat het liedje zich herhalen
= 0,0142857142857… 1/7 = repeterende breuk en de sliert 142857 = repetendum.
Van kommagetal naar breuk
● Als de breuk niet repeteert, is het eenvoudig.
3,152 = 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 3 19/125.
● Bij een repeterende breuk. Vermenigvuldig het gezochte getal net zo vaak met 10 als
het repetendum lang is. Trek van deze uitkomst de gezocht breuk af, dan verdwijnen
alle decimalen. Wat overblijft, zet je aan de onderkant van de breuk, bovenkant is
sliert als heel getal.
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal
kun je weergeven als een punt op de getallenlijn. Een operator doet iets met een getal,
hoeveelheid of prijs. De breuk geeft een relatief gegeven aan.
Een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een operator. Je moet
voorzichtig zijn met het plaatsen van percentages op de getallenlijn tussen 0 en 1, alsof het
gebroken getallen zijn. De strook is geschikter om percentages te plaatsen en te ordenen,
omdat je daarop zo nodig ook de absolute gegevens kunt plaatsen.
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Dit is
parate feitenkennis zoals ½ = 5/10 = 0,5. Dit soort ‘weetjes’ moet snel beschikbaar zijn,
zodat kinderen flexibel kunnen toepassen bij het redeneren en rekenen met breuken,
verhoudingen, procenten en kommagetallen. In de bovenbouw moet die kennis van
