Hoorcollege 3
,Hoorcollege 3 - 28 februari ‘25
Eerst 2 hoorcolleges=inleiding (onnodig)
Quiz:
Voorbeeld 1: Een urne bevat k zwarte ballen en 1 rode, degene die de rode bal trekt wint
tussen 2 personen.
-> In functie van k, wat is de kans dat je gaat winnen als je als eerste begint vs als tweede.
Voorbeeld 2: Er zijn 2 spelers, ze winnen op een ander manier, ze moeten een dobbelsteen
gooien en de eerste die twee keer 1 bekomt wint en de tweede speler die 1 gooit moet direct
erna een 2 bekomen.
-> Vraag: wie gaat het minste aantal pogingen nodig hebben om zijn resultaat te bereiken?
- De eerste speler moet sowieso opnieuw 2x gooien als ze geen 1-1 combinatie
krijgen.
- De tweede speler die 1 gooit heeft een korter pad naar winst, stel dat die weer 1
gooit hoeft die niet meer opnieuw 1 gooien maar mag dan gelijk 2 gooien.
Voorbeeld 3: Een urne bevat 3 rode en 3 zwarte ballen, we nemen een random bal eruit en
verwijderen het, en dan moet je gokken welke bal er verwijderd is, je mag een aantal keren
trekken en observeren. Speler 1 trekt 6 keer een rode bal en speler 2 trekt 303 keer een
rode en 297 keer een zwarte bal.
-> Wie heeft het sterkste bewijs van welke kleur er verwijderd is?
- Het maakt niet uit.
Grondleggers:
Er werd vroeger gegokt met geld en het spel werd telkens onderbroken en dus moest het
winst verdeeld worden op basis van hetgeen dat er al gespeeld was.
Vb. een dobbelspelletje en er wordt geld op tafel gelegd en degene die de eerste 10
spelletjes wint krijgt de pond.
-> Vraag: als je het vroegtijdig beëindigt, hoe moest het verdeeld worden? En welke speler
wint als eerst 10 spelletjes?
Kansrekening of kanstheorie:
2 soorten processen
1. Deterministisch proces: waar alles vast ligt (gaan we niet bestuderen).
2. Stochastisch of probabilistische processen: processen waarvan de uitkomst niet
gekend is en waarvan we eigenlijk proberen getallen (kansen) proberen toe te
kennen. (vb. opgooien van dobbelsteen of al dan niet slagen voor een examen)
We gaan uitspraken doen over de waarschijnlijkheid over bepaalde uitkomsten.
Kansexperiment E:
Uitkomstenruimte Ω = verzameling van alle mogelijke uitkomsten
vb. we gooien een dobbelsteel, de uitkomstenruimte is 1 tot 6 of opgooien muntstuk (kop,
munt).
- E1: opgooien muntstuk -> Ω1 = kop, munt
- E2: opgooien dobbelsteen -> Ω2 = (1,2,3,4,5,6)
, - E3: aantal keer kijk dat je een dobbelsteen moet opgooien voor dat je een 6 gooit ->
Ω3= (1,2,3,..) het kan alle natuurlijke getallen zijn want je weet niet hoelang het duurt
voor dat je een eerste 6 gooit.
- E4: bedieningstijd van een klant aan bankloket -> Ω4 = (t : t > 0)
- Het is niet altijd discrete antwoorden ruimte, we kijken ook naar problemen
van time to event -> tijd totdat er iets gebeurd vb. de bedieningstijd van een
klant in een winkel.
Gebeurtenis G:
= Een verzameling van mogelijke uitkomsten. Binnen de uitkomstenruimte kan je
deelverzamelingen maken en dat zijn dan de gebeurtenissen en gaan we kansen
toekennen.
- E1: opgooien munstukt -> G1 = (kop)
- E2: opgooien dobbelsteen -> G2 = (2,4,6)
- E3: aantal keer dat dobbelsteen opgegooid moet worden voor een 6 -> G3 = (1,2,3)
- E4: bedieningstijd van een klant aan bankloket -> G4 = binnen de 2 tot 5 minuten.
Enkele begrippen:
- Elementaire gebeurtenis: bevat slechts een uitkomst, dus als we een
deelverzameling definiëren met 1 uitkomst.
- Een gebeurtenis doet zich voor wanneer de uitkomst van het kansexperiment een
element is van G.
- Twee gebeurtenissen G1 en G2 doen zich samen voor als de uitkomst zowel G1 als
G2 behoort m.a.w. tot de doorsnede van G1 en G2.
- Mekaar uitsluitende gebeurtenissen zijn gebeurtenissen die niet samen kunnen
voorkomen zoals vb. oneven en even.
- Gebeurtenis G1 of G2 doet zich voor dat de uitkomst tot G1 of tot G2 behoort, dus
dat de uitkomst tot de unie van G1 en G2 behoort
- Complement Gc: een verzameling van alle mogelijke uitkomsten die niet in G zitten
vb. wat is de kans op min. 1 ongeval op een bepaalde dag dan is dat de kans op 1
ongeval + de kans op 2 + … , dan kan je overgaan op complement, wat is de kans
op geen enkel ongeval en dan wordt dat veel sneller opgelost. Dus als je hoogtens of
minstens ziet is het best om dat te gebruiken.
Verzamelingenleer:
- Unie of vereniging wordt gebruikt in het geval dat we spreken over; een gebeurtenis
doet zich voor of een andere.
- Een doorsnede gebruiken we in het geval dat we willen kijken of een gebeurtenis
samen voor doet.
- Verschil G= G1/G2
- Complement = alle uitkomsten - de gebeurtenis
- Partitie = een opdeling van een verzameling dat aan een bepaalde voorwaarde moet
voldoen, je mag geen lege deelverzamelingen nemen en je moet er voor zorgen dat
alle deelverzamelingen samen de volledige verzameling maken en dat alle
onderlinge doorsnedes leeg zijn.
- Vb. Ω = (1,2,3,4,5,6)
- 1. G1= (1,3,5) en G2= (2,4,6) vormen een partitie want samen hebben
we de volledige verzameling, de onderlinge doorsnede is leeg.
, Definitie van kans:
= drukt waarschijnlijkheid of onwaarschijnlijkheid uit van een bepaalde gebeurtenis.
- Functie P(G) die met G een reëel getal associeert.
Empirische of frequentie definitie (minder handig, gaan we niet meewerken):
Herhaal een experiment een groot aantal keer (n), noteer de frequentie dat gebeurtenis G
zich voordoet: fn(G)
- Vb. opschrijven hoeveel keer je kop of munt hebt als je telkens opnieuw gooit, het is
niet handig want dan moet je het heel vaak uitvoeren.
Klassieke definitie van Laplace (gaan we ook niet meewerken:
Er zijn elementaire gebeurtenissen en veronderstelt dat het gekend is, en even waarschijnlijk
is (gemakshalve).
Axiomatische definitie
Een axioma is niet iets dat je kan bewijzen, bv. in meetkunde een punt door een rechte, je
veronderstelt dat het zo is.
De kans is een functie en we zeggen dat de functie nooit negatief mag zijn, de kans van een
gebeurtenis is altijd groter dan 0. De kans op een totale uitkomstenruimte is altijd tussen 0
en 1. Indien we spreken over mekaar uitsluitende gebeurtenissen dan is het zo dat de kans
op de unie van de gebeurtenissen gelijk is aan de som van de kansen.
Rekenregels:
De kans op een lege verzameling is 0 en alle kansen liggen tussen 0 en 1.
Als G1 een deelverzameling is van G2 dan is de kans van gebeurtenis 1 ook altijd kleiner of
gelijk aan de kans van gebeurtenis 2.
De kans op een gebeurtenis + de kans op de complement is 1 vb. de kans op een even
getal gooien + een oneven is altijd 1.
- Kijk voorbeelden slide 20.
Voorwaardelijke kans:
- Een kans waarbij dat je altijd een extra stukje informatie krijgt, je kan de kans
bereken op geslaagd zijn gegeven het feit dat je hard gewerkt hebt of niets gedaan
hebt.
- Vb. wat is de kans dat je met een dobbelsteen een getal gooit dat kleiner is dan of
gelijk aan 3, gegeven het feit dat je weet dat het een even getal is (noteren met een
verticale lijn)
- Zie vb. slide 27
2 soorten informatie:
De kans op geslaagd zijn gegeven dat je gestudeerd heeft is hopelijk hoger dan als je niks
hebt gedaan -> positieve informatie, als je niks hebt gedaan dan is dat negatieve informatie.
De kans dat je geslaagd bent gegeven dat je witte schoenen aan hebt dan is de kans dat je
geslaagd bent gewoon -> onafhankelijke gebeurtenis.
- Zie vb. slide 29
,Hoorcollege 3 - 28 februari ‘25
Eerst 2 hoorcolleges=inleiding (onnodig)
Quiz:
Voorbeeld 1: Een urne bevat k zwarte ballen en 1 rode, degene die de rode bal trekt wint
tussen 2 personen.
-> In functie van k, wat is de kans dat je gaat winnen als je als eerste begint vs als tweede.
Voorbeeld 2: Er zijn 2 spelers, ze winnen op een ander manier, ze moeten een dobbelsteen
gooien en de eerste die twee keer 1 bekomt wint en de tweede speler die 1 gooit moet direct
erna een 2 bekomen.
-> Vraag: wie gaat het minste aantal pogingen nodig hebben om zijn resultaat te bereiken?
- De eerste speler moet sowieso opnieuw 2x gooien als ze geen 1-1 combinatie
krijgen.
- De tweede speler die 1 gooit heeft een korter pad naar winst, stel dat die weer 1
gooit hoeft die niet meer opnieuw 1 gooien maar mag dan gelijk 2 gooien.
Voorbeeld 3: Een urne bevat 3 rode en 3 zwarte ballen, we nemen een random bal eruit en
verwijderen het, en dan moet je gokken welke bal er verwijderd is, je mag een aantal keren
trekken en observeren. Speler 1 trekt 6 keer een rode bal en speler 2 trekt 303 keer een
rode en 297 keer een zwarte bal.
-> Wie heeft het sterkste bewijs van welke kleur er verwijderd is?
- Het maakt niet uit.
Grondleggers:
Er werd vroeger gegokt met geld en het spel werd telkens onderbroken en dus moest het
winst verdeeld worden op basis van hetgeen dat er al gespeeld was.
Vb. een dobbelspelletje en er wordt geld op tafel gelegd en degene die de eerste 10
spelletjes wint krijgt de pond.
-> Vraag: als je het vroegtijdig beëindigt, hoe moest het verdeeld worden? En welke speler
wint als eerst 10 spelletjes?
Kansrekening of kanstheorie:
2 soorten processen
1. Deterministisch proces: waar alles vast ligt (gaan we niet bestuderen).
2. Stochastisch of probabilistische processen: processen waarvan de uitkomst niet
gekend is en waarvan we eigenlijk proberen getallen (kansen) proberen toe te
kennen. (vb. opgooien van dobbelsteen of al dan niet slagen voor een examen)
We gaan uitspraken doen over de waarschijnlijkheid over bepaalde uitkomsten.
Kansexperiment E:
Uitkomstenruimte Ω = verzameling van alle mogelijke uitkomsten
vb. we gooien een dobbelsteel, de uitkomstenruimte is 1 tot 6 of opgooien muntstuk (kop,
munt).
- E1: opgooien muntstuk -> Ω1 = kop, munt
- E2: opgooien dobbelsteen -> Ω2 = (1,2,3,4,5,6)
, - E3: aantal keer kijk dat je een dobbelsteen moet opgooien voor dat je een 6 gooit ->
Ω3= (1,2,3,..) het kan alle natuurlijke getallen zijn want je weet niet hoelang het duurt
voor dat je een eerste 6 gooit.
- E4: bedieningstijd van een klant aan bankloket -> Ω4 = (t : t > 0)
- Het is niet altijd discrete antwoorden ruimte, we kijken ook naar problemen
van time to event -> tijd totdat er iets gebeurd vb. de bedieningstijd van een
klant in een winkel.
Gebeurtenis G:
= Een verzameling van mogelijke uitkomsten. Binnen de uitkomstenruimte kan je
deelverzamelingen maken en dat zijn dan de gebeurtenissen en gaan we kansen
toekennen.
- E1: opgooien munstukt -> G1 = (kop)
- E2: opgooien dobbelsteen -> G2 = (2,4,6)
- E3: aantal keer dat dobbelsteen opgegooid moet worden voor een 6 -> G3 = (1,2,3)
- E4: bedieningstijd van een klant aan bankloket -> G4 = binnen de 2 tot 5 minuten.
Enkele begrippen:
- Elementaire gebeurtenis: bevat slechts een uitkomst, dus als we een
deelverzameling definiëren met 1 uitkomst.
- Een gebeurtenis doet zich voor wanneer de uitkomst van het kansexperiment een
element is van G.
- Twee gebeurtenissen G1 en G2 doen zich samen voor als de uitkomst zowel G1 als
G2 behoort m.a.w. tot de doorsnede van G1 en G2.
- Mekaar uitsluitende gebeurtenissen zijn gebeurtenissen die niet samen kunnen
voorkomen zoals vb. oneven en even.
- Gebeurtenis G1 of G2 doet zich voor dat de uitkomst tot G1 of tot G2 behoort, dus
dat de uitkomst tot de unie van G1 en G2 behoort
- Complement Gc: een verzameling van alle mogelijke uitkomsten die niet in G zitten
vb. wat is de kans op min. 1 ongeval op een bepaalde dag dan is dat de kans op 1
ongeval + de kans op 2 + … , dan kan je overgaan op complement, wat is de kans
op geen enkel ongeval en dan wordt dat veel sneller opgelost. Dus als je hoogtens of
minstens ziet is het best om dat te gebruiken.
Verzamelingenleer:
- Unie of vereniging wordt gebruikt in het geval dat we spreken over; een gebeurtenis
doet zich voor of een andere.
- Een doorsnede gebruiken we in het geval dat we willen kijken of een gebeurtenis
samen voor doet.
- Verschil G= G1/G2
- Complement = alle uitkomsten - de gebeurtenis
- Partitie = een opdeling van een verzameling dat aan een bepaalde voorwaarde moet
voldoen, je mag geen lege deelverzamelingen nemen en je moet er voor zorgen dat
alle deelverzamelingen samen de volledige verzameling maken en dat alle
onderlinge doorsnedes leeg zijn.
- Vb. Ω = (1,2,3,4,5,6)
- 1. G1= (1,3,5) en G2= (2,4,6) vormen een partitie want samen hebben
we de volledige verzameling, de onderlinge doorsnede is leeg.
, Definitie van kans:
= drukt waarschijnlijkheid of onwaarschijnlijkheid uit van een bepaalde gebeurtenis.
- Functie P(G) die met G een reëel getal associeert.
Empirische of frequentie definitie (minder handig, gaan we niet meewerken):
Herhaal een experiment een groot aantal keer (n), noteer de frequentie dat gebeurtenis G
zich voordoet: fn(G)
- Vb. opschrijven hoeveel keer je kop of munt hebt als je telkens opnieuw gooit, het is
niet handig want dan moet je het heel vaak uitvoeren.
Klassieke definitie van Laplace (gaan we ook niet meewerken:
Er zijn elementaire gebeurtenissen en veronderstelt dat het gekend is, en even waarschijnlijk
is (gemakshalve).
Axiomatische definitie
Een axioma is niet iets dat je kan bewijzen, bv. in meetkunde een punt door een rechte, je
veronderstelt dat het zo is.
De kans is een functie en we zeggen dat de functie nooit negatief mag zijn, de kans van een
gebeurtenis is altijd groter dan 0. De kans op een totale uitkomstenruimte is altijd tussen 0
en 1. Indien we spreken over mekaar uitsluitende gebeurtenissen dan is het zo dat de kans
op de unie van de gebeurtenissen gelijk is aan de som van de kansen.
Rekenregels:
De kans op een lege verzameling is 0 en alle kansen liggen tussen 0 en 1.
Als G1 een deelverzameling is van G2 dan is de kans van gebeurtenis 1 ook altijd kleiner of
gelijk aan de kans van gebeurtenis 2.
De kans op een gebeurtenis + de kans op de complement is 1 vb. de kans op een even
getal gooien + een oneven is altijd 1.
- Kijk voorbeelden slide 20.
Voorwaardelijke kans:
- Een kans waarbij dat je altijd een extra stukje informatie krijgt, je kan de kans
bereken op geslaagd zijn gegeven het feit dat je hard gewerkt hebt of niets gedaan
hebt.
- Vb. wat is de kans dat je met een dobbelsteen een getal gooit dat kleiner is dan of
gelijk aan 3, gegeven het feit dat je weet dat het een even getal is (noteren met een
verticale lijn)
- Zie vb. slide 27
2 soorten informatie:
De kans op geslaagd zijn gegeven dat je gestudeerd heeft is hopelijk hoger dan als je niks
hebt gedaan -> positieve informatie, als je niks hebt gedaan dan is dat negatieve informatie.
De kans dat je geslaagd bent gegeven dat je witte schoenen aan hebt dan is de kans dat je
geslaagd bent gewoon -> onafhankelijke gebeurtenis.
- Zie vb. slide 29
