DIDACTIEK WISKUNDE
DEEL 1: ALGEMENE BASISPRINCIPES EN MODELLEN
HOOFDSTUK I : WISKUNDIG DENKEN IN HET BASISONDERWIJS
1 EINDTERMEN EN ONTWIKKELINGSDOELEN
In de kleuterklas komen al heel wat wiskundige activiteiten aan bod. In de lagere school gaat men
dan dieper in op de ontwikkeling van het wiskundig denken. Het wiskundeonderwijs omvat een
aantal belangrijke uitgangspunten. Op basis van de uitgangspunten werden de eindtermen van
wiskunde bepaald.
Eindtermen zijn minimumdoelen op het vlak van kennis, inzicht, vaardigheden en attitudes die de
onderwijsoverheid als noodzakelijk en bereikbaar acht voor een bepaalde leerling populatie.
2 KERNGEDACHTES VAN DE EINDTERMEN
De eindtermen wiskunde geven aan welke minimumdoelstellingen voor de kinderen haalbaar en
noodzakelijk zijn. De haalbaarheid kan worden afgeleid uit wat we weten over de mogelijkheden en
de psychische ontwikkeling van de kinderen. Wat noodzakelijk is, wordt mede bepaald door
behoeften van de kinderen zelf en van de maatschappij.
2.1 WISKUNDE EN DE ONTWIKKELING VAN KINDEREN – HAALBAARHEID
Basisonderwijs dat voor alle kinderen een zorgbreedte nastreeft, mag niet overladen zijn. Ook voor
wiskunde: een te grote hoeveelheid vakjargon of regels, formules die kinderen niet inzichtelijk
begrijpen kan de kinderen overbelasten.
Bij wiskundeonderwijs:
• Moeten de basisvaardigheden voldoende aan bod kunnen komen
• Genoeg aandacht en tijd overblijven voor diFerentiëren en remediëren
• Moet er een duidelijke relatie zijn met de eigen leefwereld van de kinderen
• Mag er niet te snel naar het abstracte overgegaan worden, dit kan leiden tot voor- en nazeggen
Als we kinderen de tijd geven om via eigen wiskundig activiteit tot inzicht te komen, zullen ze
automatisch meer plezier beleven aan wiskunde.
2.2 MAATSCHAPPELIJKE EVOLUTIE – NOODZAKELIJK
De school functioneert in een maatschappij die steeds ingewikkelder wordt. De nadruk ligt dan ook
op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen van (nieuwe) problemen in
sociale context.
3 EIGENHEID VAN WISKUNDE
Er zijn dus 2 belangrijke accenten die de visie op het wiskundeonderwijs bepalen: de wiskundige
activiteit en de band met de werkelijkheid.
3.1 DE WISKUNDIGE ACTIVITEIT
Kinderen verwerven, ontdekken en bouwen voor een deel zelf wiskundige kennis op ⇢ zelf
ontdekkend/opbouwend leren. Wiskunde is dus NIET het passief beheersen van begrippen en
procedures.
3.2 DE BAND MET DE WERKELIJKHEID
Wiskunde moet in de eerste plaats binnen de wereld van wiskunde zelf plaatsvinden, maar het moet
ook functioneren in de leefwereld van kinderen en de maatschappij waarop ze worden voorbereid.
Wiskundige activiteiten moeten starten vanuit realistische contexten. Bijgevolg zullen de kinderen de
band tussen de reële wereld en de wiskundige wereld moeten leren ontdekken.
1
, Er zijn dan ook 3 categorieën in de eindtermen opgenomen:
• Doelstellingen die fungeren binnen de wiskundewereld
• Doelstellingen die betrekking hebben op denkactiviteiten die de band vormen tussen wiskunde
en realiteit
• Doelstellingen die betrekking hebben op het toepassen van geleerde begrippen, inzichten en
procedures in betekenisvolle situaties.
4 DE DOMEINEN BINNEN WISKUNDE
Wiskunde wordt opgedeeld volgens de eindtermen in 5 domeinen:
• Getallen
Kennis en inzicht in het begrip hoeveelheid en het verwerken van getallen
• Meten
Meten is een activiteit met fysische objecten (heel concreet dus).
• Meetkunde
Begripsvorming van oriëntatie en lokalisatie
• Strategieën en probleemoplossende vaardigheden
Het toepassen van geleerde inzichten en begrippen
• Attitudes
Kritisch staan tegenover cijfermateriaal en vragen stellen over het probleemoplossingsproces (reflectie)
De laatste 2 domeinen overkoepelen de drie inhoudelijke domeinen.
HOOFDSTUK II : VISIE OP WISKUNDEONDERWIJS
Het wiskundeonderwijs heeft al veel ingrijpende veranderingen voltrokken. Deze veranderingen waren beïnvloed
door specialisten (wiskundigen) die tot andere opvattingen kwamen over hun vak. Dat veranderde denken heeft de
vernieuwing van het wiskundeonderwijs in hoge mate gestimuleerd. Zo groeiden er verschillende visies op in het
wiskundeonderwijs:
1 MECHANISTISCHE STROMING of traditioneel rekenonderwijs.
De nadruk in deze stroming ligt op individueel oefenen en herhalen.
o Veel principes uit de behavioristische leertheorie
o Geen plaats voor samenwerking tussen leerlingen.
De leraar vervult een sterke, centrale rol.
o Hij/zij werkt met vastliggende standaardprocedures via kleine leerstapjes
o De ‘hoe’-vraag staat centraal: hoe voer je de procedure uit?.
o Er is geen samenhang tussen de verschillende onderdelen
o Er is geen plaats voor eigen vondsten van kinderen
Er komen dan ook niet veel contexten voor bij de start van een nieuw onderdeel.
o Oog voor toepassing na het inoefenen via kale oefeningen
o De leerlingen werken individueel (geen plaats vrijgemaakt voor samenwerking of interactie)
2 STRUCTURALISTISCHE STROMING of ‘moderne/vernieuwde wiskunde’
Kenmerkend voor deze stroming is dat er niet wordt gedacht vanuit de kinderen of vanuit contexten
die kinderen aanspreken, maar vanuit gegeven wiskundige structuren.
Er is sprake van beperkt contextgebruik en ook eigen constructies (= vondsten van de leerling).
o Gericht op logische structuren en abstracte begrippen
o Beperkt in functie van toepassingen (geen centrale gedachte)
o Contextuele niet sterk aanwezig
De instructie en belang van de leraar worden echter sterk beklemtoond.
o Leerstof overdragen op een inzichtelijke en speelse wijze
2
, o Alles moet op het niveau van de leerlingen vertaald worden om ‘abstracte’ begrippen en
structuren te kunnen verteren.
o Er is interactie maar die is sterk gericht op wiskundige modellen
KRITIEK : reeds aanwezige kennis werd niet gebruikt, vaardigheden bleken achteruit te gaan, het
toepasbare karakter van wiskunde kwam niet tot uiting, …
3 REALISTISCHE STROMING
Een goed reken-wiskundeonderwijs moet worden opgevat als het creëren van een onderwijs-
leersituatie waarin leerlingen worden gestimuleerd tot en geholpen worden bij het zelf
(her)ontdekken en (re)construeren van hun wiskundige kennis en vaardigheden. De huidige visie is
gebaseerd op die realistische stroming waaruit volgende vakdidactische principes voortvloeien:
Vakdidactische principes:
1 Realistische contexten
Het leren van regels en formules moeten niet het startpunt vormen van onderwijs maar het
werken met realistische contexten (= een situatie die kinderen aanspreekt, die herkenbaar en
reëel is, waardoor het leren als zinvolle bezigheid wordt ervaart). Realistische contexten worden
opgeroepen door rekenverhalen te koppelen aan thema’s die leven bij de kinderen.
Ze spelen een cruciale rol als verkenning van nieuwe begrippen en procedures, maar ook bij de
verwerking als toepassingssituaties.
2 Krachtige hulpmiddelen en schematische voorstellingen
Het houdt in dat reken-wiskundeonderwijs de leerlingen krachtige hulpmiddelen of constructie-
instrumenten aanreikt in de vorm van materialen uit de realiteit, didactisch materiaal en
schematische voorstellingen die het hen mogelijk moeten maken een brug te slaan tussen
verschillende niveaus van opereren.
3 Eigen constructie, productie en reflectie
Deze principe gaat over de aandacht voor de eigen wiskundige constructies en daarbij horend de
reflectie. Het aspect reflectie kan in de verankeringsfase van de les aan bod komen. Het is een
absolute vereiste om tot een verhoging van het niveau te komen.
Leerlingen moeten de kans krijgen om nieuwe kennis en vaardigheden zelf te verwerven,
ontwikkelen en opbouwen, vertrekkend van eerder verworden kennis, inzicht en vaardigheden.
4 Interactie
Realistisch rekenwiskundeonderwijs is niet alleen constructief, maar ook interactief. Ook moeten
ze natuurlijk de gelegenheid krijgen zelfstandig te werken.
Het is de bedoeling dat er uitwisseling van gedachten plaatsvindt tussen leraar en leerling en
leerlingen onderling. Leerlingeninteractie bekom je door een doordachte keuze van werk- en
groeperingsvormen. Leerkracht-leerling interactie verloopt via onderwijsleergesprekken.
5 Samenhang en vervlechting
Er moet zoveel mogelijk samenhang en vervlechting gelegd worden tussen de onderdelen van de
verschillende leergebieden.
3
, HOOFDSTUK III : VAKDIDACTISCHE MODELLEN
Een les wiskunde bouw je niet zomaar op. Naast de randvoorwaarden van de eindtermen, drukt ook de
handelingspsychologie zijn stempel op de huidige didactiek wiskunde binnen de lagere school.
Galperin ontwikkelde een theorie die ook de trapsgewijze ontwikkeling van mentale handelingen wordt
genoemd. “Denken is handelen” is dan ook de basisgedachte van de handelingspsychologie. Hij werkte
een vijfstappenplan uit dat uit 5 fasen bestaat om een handeling inzichtelijk en bewust te kunnen
verwerken. Alleen door deze opbouw kan een nieuwe handeling worden gevormd.
1 Oriëntatie
In deze fase staat de leerling stil bij het nut en het doel van deze handeling. Hij verkent de
voorwerpen waarmee hij gaat werken en staat stil bij wat hij juist moet doen en welke strategie hij
hierbij gaat hanteren.
2 Uitvoeren van de handeling in materiële deelstappen
In deze fase voert de leerling de handeling uit met gebruik van materiaal.
3 Materiële deelstappen en de hele handeling verbaal ondersteunen
In deze stap hanteert het kind bij de handeling het materiaal en zegt hardop wat het doet.
4 Het uitvoeren van de handeling zonder objecten met onhoorbare innerlijke spraak
In deze fase voert de leerling de handeling uit door enkel naar het materiaal te kijken zonder hardop
te spreken. Ook schema’s kunnen een visuele ondersteuning bieden.
5 De handeling verinnerlijkt
De innerlijk verbale ondersteuning vindt plaats in de vorm van een mentale handeling. Met andere
woorden de oefening wordt steeds meer ‘uit het hoofd’ opgelost.
Via het stappenplan wordt een werkwijze nagestreefd die geleidelijk aan van zeer concreet naar
abstract verloopt. Via bovenstaande stappen wordt de handeling verinnerlijkt. Hierop volgen de
volgende stappen:
o Verkorting van de handeling
Deelstappen worden niet meer afzonderlijk uitgevoerd en overgeslagen.
o Beheersing van de handeling
Er wordt niet meer nagedacht, op basis van inzicht wordt de handeling geautomatiseerd.
o Transfer
De handeling wordt toegepast in nieuwe situaties, bv. 13 + 4 wordt 3 + 4
Uit deze trapsgewijze ontwikkeling van mentale handelingen vloeien 3 didactische modellen voort:
1 CSA-MODEL
Het CSA-model: Concreet – Schematisch – Abstract, vormt voor de meerderheid van de wiskundige
lessen het fundament om nieuwe leerinhouden aan te brengen.
Concrete fase
In de concrete fase worden oefeningen aangeboden vanuit een rekenverhaal met motiverende en
weloverwogen realia.
Je zal stelselmatig de realia inruilen voor meer didactisch manipuleerbare materialen zoals blokjes,
MAB-materiaal, schijfjes, een rekenrek, ….
4
DEEL 1: ALGEMENE BASISPRINCIPES EN MODELLEN
HOOFDSTUK I : WISKUNDIG DENKEN IN HET BASISONDERWIJS
1 EINDTERMEN EN ONTWIKKELINGSDOELEN
In de kleuterklas komen al heel wat wiskundige activiteiten aan bod. In de lagere school gaat men
dan dieper in op de ontwikkeling van het wiskundig denken. Het wiskundeonderwijs omvat een
aantal belangrijke uitgangspunten. Op basis van de uitgangspunten werden de eindtermen van
wiskunde bepaald.
Eindtermen zijn minimumdoelen op het vlak van kennis, inzicht, vaardigheden en attitudes die de
onderwijsoverheid als noodzakelijk en bereikbaar acht voor een bepaalde leerling populatie.
2 KERNGEDACHTES VAN DE EINDTERMEN
De eindtermen wiskunde geven aan welke minimumdoelstellingen voor de kinderen haalbaar en
noodzakelijk zijn. De haalbaarheid kan worden afgeleid uit wat we weten over de mogelijkheden en
de psychische ontwikkeling van de kinderen. Wat noodzakelijk is, wordt mede bepaald door
behoeften van de kinderen zelf en van de maatschappij.
2.1 WISKUNDE EN DE ONTWIKKELING VAN KINDEREN – HAALBAARHEID
Basisonderwijs dat voor alle kinderen een zorgbreedte nastreeft, mag niet overladen zijn. Ook voor
wiskunde: een te grote hoeveelheid vakjargon of regels, formules die kinderen niet inzichtelijk
begrijpen kan de kinderen overbelasten.
Bij wiskundeonderwijs:
• Moeten de basisvaardigheden voldoende aan bod kunnen komen
• Genoeg aandacht en tijd overblijven voor diFerentiëren en remediëren
• Moet er een duidelijke relatie zijn met de eigen leefwereld van de kinderen
• Mag er niet te snel naar het abstracte overgegaan worden, dit kan leiden tot voor- en nazeggen
Als we kinderen de tijd geven om via eigen wiskundig activiteit tot inzicht te komen, zullen ze
automatisch meer plezier beleven aan wiskunde.
2.2 MAATSCHAPPELIJKE EVOLUTIE – NOODZAKELIJK
De school functioneert in een maatschappij die steeds ingewikkelder wordt. De nadruk ligt dan ook
op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen van (nieuwe) problemen in
sociale context.
3 EIGENHEID VAN WISKUNDE
Er zijn dus 2 belangrijke accenten die de visie op het wiskundeonderwijs bepalen: de wiskundige
activiteit en de band met de werkelijkheid.
3.1 DE WISKUNDIGE ACTIVITEIT
Kinderen verwerven, ontdekken en bouwen voor een deel zelf wiskundige kennis op ⇢ zelf
ontdekkend/opbouwend leren. Wiskunde is dus NIET het passief beheersen van begrippen en
procedures.
3.2 DE BAND MET DE WERKELIJKHEID
Wiskunde moet in de eerste plaats binnen de wereld van wiskunde zelf plaatsvinden, maar het moet
ook functioneren in de leefwereld van kinderen en de maatschappij waarop ze worden voorbereid.
Wiskundige activiteiten moeten starten vanuit realistische contexten. Bijgevolg zullen de kinderen de
band tussen de reële wereld en de wiskundige wereld moeten leren ontdekken.
1
, Er zijn dan ook 3 categorieën in de eindtermen opgenomen:
• Doelstellingen die fungeren binnen de wiskundewereld
• Doelstellingen die betrekking hebben op denkactiviteiten die de band vormen tussen wiskunde
en realiteit
• Doelstellingen die betrekking hebben op het toepassen van geleerde begrippen, inzichten en
procedures in betekenisvolle situaties.
4 DE DOMEINEN BINNEN WISKUNDE
Wiskunde wordt opgedeeld volgens de eindtermen in 5 domeinen:
• Getallen
Kennis en inzicht in het begrip hoeveelheid en het verwerken van getallen
• Meten
Meten is een activiteit met fysische objecten (heel concreet dus).
• Meetkunde
Begripsvorming van oriëntatie en lokalisatie
• Strategieën en probleemoplossende vaardigheden
Het toepassen van geleerde inzichten en begrippen
• Attitudes
Kritisch staan tegenover cijfermateriaal en vragen stellen over het probleemoplossingsproces (reflectie)
De laatste 2 domeinen overkoepelen de drie inhoudelijke domeinen.
HOOFDSTUK II : VISIE OP WISKUNDEONDERWIJS
Het wiskundeonderwijs heeft al veel ingrijpende veranderingen voltrokken. Deze veranderingen waren beïnvloed
door specialisten (wiskundigen) die tot andere opvattingen kwamen over hun vak. Dat veranderde denken heeft de
vernieuwing van het wiskundeonderwijs in hoge mate gestimuleerd. Zo groeiden er verschillende visies op in het
wiskundeonderwijs:
1 MECHANISTISCHE STROMING of traditioneel rekenonderwijs.
De nadruk in deze stroming ligt op individueel oefenen en herhalen.
o Veel principes uit de behavioristische leertheorie
o Geen plaats voor samenwerking tussen leerlingen.
De leraar vervult een sterke, centrale rol.
o Hij/zij werkt met vastliggende standaardprocedures via kleine leerstapjes
o De ‘hoe’-vraag staat centraal: hoe voer je de procedure uit?.
o Er is geen samenhang tussen de verschillende onderdelen
o Er is geen plaats voor eigen vondsten van kinderen
Er komen dan ook niet veel contexten voor bij de start van een nieuw onderdeel.
o Oog voor toepassing na het inoefenen via kale oefeningen
o De leerlingen werken individueel (geen plaats vrijgemaakt voor samenwerking of interactie)
2 STRUCTURALISTISCHE STROMING of ‘moderne/vernieuwde wiskunde’
Kenmerkend voor deze stroming is dat er niet wordt gedacht vanuit de kinderen of vanuit contexten
die kinderen aanspreken, maar vanuit gegeven wiskundige structuren.
Er is sprake van beperkt contextgebruik en ook eigen constructies (= vondsten van de leerling).
o Gericht op logische structuren en abstracte begrippen
o Beperkt in functie van toepassingen (geen centrale gedachte)
o Contextuele niet sterk aanwezig
De instructie en belang van de leraar worden echter sterk beklemtoond.
o Leerstof overdragen op een inzichtelijke en speelse wijze
2
, o Alles moet op het niveau van de leerlingen vertaald worden om ‘abstracte’ begrippen en
structuren te kunnen verteren.
o Er is interactie maar die is sterk gericht op wiskundige modellen
KRITIEK : reeds aanwezige kennis werd niet gebruikt, vaardigheden bleken achteruit te gaan, het
toepasbare karakter van wiskunde kwam niet tot uiting, …
3 REALISTISCHE STROMING
Een goed reken-wiskundeonderwijs moet worden opgevat als het creëren van een onderwijs-
leersituatie waarin leerlingen worden gestimuleerd tot en geholpen worden bij het zelf
(her)ontdekken en (re)construeren van hun wiskundige kennis en vaardigheden. De huidige visie is
gebaseerd op die realistische stroming waaruit volgende vakdidactische principes voortvloeien:
Vakdidactische principes:
1 Realistische contexten
Het leren van regels en formules moeten niet het startpunt vormen van onderwijs maar het
werken met realistische contexten (= een situatie die kinderen aanspreekt, die herkenbaar en
reëel is, waardoor het leren als zinvolle bezigheid wordt ervaart). Realistische contexten worden
opgeroepen door rekenverhalen te koppelen aan thema’s die leven bij de kinderen.
Ze spelen een cruciale rol als verkenning van nieuwe begrippen en procedures, maar ook bij de
verwerking als toepassingssituaties.
2 Krachtige hulpmiddelen en schematische voorstellingen
Het houdt in dat reken-wiskundeonderwijs de leerlingen krachtige hulpmiddelen of constructie-
instrumenten aanreikt in de vorm van materialen uit de realiteit, didactisch materiaal en
schematische voorstellingen die het hen mogelijk moeten maken een brug te slaan tussen
verschillende niveaus van opereren.
3 Eigen constructie, productie en reflectie
Deze principe gaat over de aandacht voor de eigen wiskundige constructies en daarbij horend de
reflectie. Het aspect reflectie kan in de verankeringsfase van de les aan bod komen. Het is een
absolute vereiste om tot een verhoging van het niveau te komen.
Leerlingen moeten de kans krijgen om nieuwe kennis en vaardigheden zelf te verwerven,
ontwikkelen en opbouwen, vertrekkend van eerder verworden kennis, inzicht en vaardigheden.
4 Interactie
Realistisch rekenwiskundeonderwijs is niet alleen constructief, maar ook interactief. Ook moeten
ze natuurlijk de gelegenheid krijgen zelfstandig te werken.
Het is de bedoeling dat er uitwisseling van gedachten plaatsvindt tussen leraar en leerling en
leerlingen onderling. Leerlingeninteractie bekom je door een doordachte keuze van werk- en
groeperingsvormen. Leerkracht-leerling interactie verloopt via onderwijsleergesprekken.
5 Samenhang en vervlechting
Er moet zoveel mogelijk samenhang en vervlechting gelegd worden tussen de onderdelen van de
verschillende leergebieden.
3
, HOOFDSTUK III : VAKDIDACTISCHE MODELLEN
Een les wiskunde bouw je niet zomaar op. Naast de randvoorwaarden van de eindtermen, drukt ook de
handelingspsychologie zijn stempel op de huidige didactiek wiskunde binnen de lagere school.
Galperin ontwikkelde een theorie die ook de trapsgewijze ontwikkeling van mentale handelingen wordt
genoemd. “Denken is handelen” is dan ook de basisgedachte van de handelingspsychologie. Hij werkte
een vijfstappenplan uit dat uit 5 fasen bestaat om een handeling inzichtelijk en bewust te kunnen
verwerken. Alleen door deze opbouw kan een nieuwe handeling worden gevormd.
1 Oriëntatie
In deze fase staat de leerling stil bij het nut en het doel van deze handeling. Hij verkent de
voorwerpen waarmee hij gaat werken en staat stil bij wat hij juist moet doen en welke strategie hij
hierbij gaat hanteren.
2 Uitvoeren van de handeling in materiële deelstappen
In deze fase voert de leerling de handeling uit met gebruik van materiaal.
3 Materiële deelstappen en de hele handeling verbaal ondersteunen
In deze stap hanteert het kind bij de handeling het materiaal en zegt hardop wat het doet.
4 Het uitvoeren van de handeling zonder objecten met onhoorbare innerlijke spraak
In deze fase voert de leerling de handeling uit door enkel naar het materiaal te kijken zonder hardop
te spreken. Ook schema’s kunnen een visuele ondersteuning bieden.
5 De handeling verinnerlijkt
De innerlijk verbale ondersteuning vindt plaats in de vorm van een mentale handeling. Met andere
woorden de oefening wordt steeds meer ‘uit het hoofd’ opgelost.
Via het stappenplan wordt een werkwijze nagestreefd die geleidelijk aan van zeer concreet naar
abstract verloopt. Via bovenstaande stappen wordt de handeling verinnerlijkt. Hierop volgen de
volgende stappen:
o Verkorting van de handeling
Deelstappen worden niet meer afzonderlijk uitgevoerd en overgeslagen.
o Beheersing van de handeling
Er wordt niet meer nagedacht, op basis van inzicht wordt de handeling geautomatiseerd.
o Transfer
De handeling wordt toegepast in nieuwe situaties, bv. 13 + 4 wordt 3 + 4
Uit deze trapsgewijze ontwikkeling van mentale handelingen vloeien 3 didactische modellen voort:
1 CSA-MODEL
Het CSA-model: Concreet – Schematisch – Abstract, vormt voor de meerderheid van de wiskundige
lessen het fundament om nieuwe leerinhouden aan te brengen.
Concrete fase
In de concrete fase worden oefeningen aangeboden vanuit een rekenverhaal met motiverende en
weloverwogen realia.
Je zal stelselmatig de realia inruilen voor meer didactisch manipuleerbare materialen zoals blokjes,
MAB-materiaal, schijfjes, een rekenrek, ….
4
