Hele getallen - samenvatting

Hoofdstuk 1: Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Getallen komen in
het dagelijks leven in veel verschillende situaties en betekenissen voor.
De betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of functie van het getal.
Getallen gebruik je bijvoorbeeld om te nummeren, te tellen en om aantallen aan te geven.
Je hebt verschillende soorten getallen:
 Een telgetal of ordinaal getal: geeft de rangorde aan in de telrij (1, 2, 3, 4, etc.), maar ook een
nummer (eerste, tweede, derde, etc.);
 Een hoeveelheidsgetal of kardinaal getal: geeft een bepaalde hoeveelheid aan (5 appels);
 Een naamgetal: het getal geeft vooral een naam (buslijn 4);
 Een meetgetal: het getal geeft een maat aan (Luuk is vier jaar, de muur is vier meter hoog,
het is vier graden buiten);
 Een formeel getal: het getal is een kaal rekengetal zoals bijvoorbeeld in een rekensom (2 +
2 = 4)
1.1.1 Getallen
Met de getallen waarmee we tellen (natuurlijke getallen genoemd) kun je ook rekenen, bijvoorbeeld
optellen en aftrekken. De uitkomsten zijn dan opnieuw natuurlijke getallen, behalve als er een
negatief getal uitkomt.
Het concept 'negatieve getallen' kunnen kinderen vaak al op de basisschool begrijpen doordat ze
negatieve getallen kennen als meetgetal (denk aan de temperatuur die onder nul kan komen). De
hele of gehele getallen bestaan uit alle natuurlijke getallen en de negatieve hele getallen.

1.2 Ons getalsysteem
Getallen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven. Zo heb je bijvoorbeeld Arabische
en Romeinse cijfers. Het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven, noemen we talstelsel,
getallenstelsel of getalsysteem.
1.2.1 Eigenschappen van het getalsysteem
Het Arabische getalsysteem kent een decimale (tientallige) structuur. Het bestaat uit de cijfers of
cijfersymbolen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. hiermee kunnen alle getallen geschreven worden door
gebruik te maken van de plaats van een cijfer in een getal. Een getal bestaat uit één of meer
cijfersymbolen. De plaats of positie van een cijfer in het getal bepaalt de waarde van het cijfer. Dit
noem je plaatswaarde of positiewaarde. Deze manier van hoeveelheden noteren (positionele
notatie) is kenmerkend voor een positioneel getalsysteem.
In ons getalsysteem neemt het cijfer nul een belangrijke plaats in. De 0 zorgt in een getal voor een
correcte positie van de cijfers.
1.2.2 Uit de geschiedenis van de getalsystemen
In het dagelijks leven zie je ook nog sporen terug van het Romeinse getalsysteem.




Dit is een voorbeeld van een additief systeem waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald
wordt door het totaal van de symbolen.
Bij de Romeinen ontbrak een symbool voor 0; in hun systeem was hiervoor geen symbool nodig. Bij
het weergeven van een getal in het Romeinse getalsysteem is de volgorde van de symbolen niet
willekeurig.

,In het nieuw-Romeinse getalsysteem, dat nooit echt ingeburgerd is geraakt, werd ook gebruik
gemaakt van het substractief principe: als een symbool met een kleinere waarde voor een symbool
met een hogere waarde staat, wordt de kleine waarde van de grote waarde afgetrokken. Dat gold
alleen voor de volgende combinaties I voor V, V voor X, X voor L of voor C, en C voor D of voor M.
Een andere afspraak was dat de cijfers V, L en D maar één keer voorkomen in een getal.
In het zogenoemde modern-Romeins, dat verschillende varianten kent uit de laatste eeuwen, kom je
wel notaties van getallen als MIM en IC.
1.2.3 Andere talstelsels
Er zijn verschillende talstelsels:
 Decimaal (tientallig)
 Binair (tweetallig)
 Hexadecimaal (zestientallig)
 Sexagesimaal of Babylonisch (zestigtallig)
 Octaal (achttallig)
Tijdens de Franse revolutie werd het metriek stelsel ingevoerd. Elke eenheid wordt in stappen van
tien groter of kleiner. Tijdens dit stelsel werden dagen verdeeld in tien uur, uren verdeeld in honderd
minuten en minuten verdeeld in honderd seconden. Dit moest het zestigtallig stelsel vervangen.
Echter was deze verandering wereldwijd niet populair en niet lang in gebruik geweest.

1.3 Eigenschappen van getallen
Hele getallen hebben verschillende bijzondere eigenschappen.
1.3.1 Deelbaarheid
Splitsen en ontbinden zijn belangrijke vaardigheden bij het rekenen met hele getallen. Bij ontbinden
kun je handig gebruikmaken van de deelbaarheid van getallen.
Een getal is deelbaar door een ander getal als de rest bij de deling gelijk is aan 0.
1.3.2 Priemgetallen
Een priemgetal is een getal dat alleen zichzelf en het getal 1 als deler heeft. Zo'n getal wordt ook wel
een strookgetal genoemd.
Getallen kun je ontbinden in factoren. Ontbinden is het zoeken naar getallen die met elkaar
vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal opleveren. Je rekent dan uit door welke
priemgetallen je het getal kunt delen.
GGD en KGV
GGD staat voor grootste gemene deler. Het gaat om het grootste getal dat deler is van twee of meer
hele getallen. Bij het zoeken naar de grootste gemene deler kun je gebruikmaken van de ontbinding
in priemfactoren.
KGV staat voor kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat veelvoud is van twee of
meer getallen.
1.3.3 Volmaakte getallen
Een volmaakt getal is een positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf.
1.3.4 Figurale getallen
Figurale getallen zijn getallen die je in een stippenpatroon kunt leggen, zoals een driehoek, een
rechthoek of een vierkant. Zo heb je dus driehoeksgetallen, rechthoeksgetallen en vierkantsgetallen
(ook wel kwadraten genoemd). Een vierkantsgetal is een bijzonder rechthoeksgetal: namelijk als
beide zijden van de rechthoek gelijk zijn. Ook kun je aan een driedimensionaal bouwsel denken, zoals
een kubus (kubusgetallen) of een piramide (piramidegetallen).



1.4 Basisbewerkingen
1.4.1 Betekenissen van bewerkingen
Er zijn vier basisbewerkingen, waarbij de betekenissen uit allerlei alledaagse situaties kunnen worden
afgeleid:

,  Optellen: samen nemen, aanvullen of toevoegen;
 Aftrekken: eraf halen, weghalen of wegnemen, verminderen, wegdenken en verschil bepalen
tussen getallen;
 Vermenigvuldigen: herhaald optellen, oppervlakte bepalen, combineren, gelijke sprongen
maken en op schaal vergroten;
 Delen: herhaald aftrekken, opdelen en verdelen.
1.4.2 Eigenschappen van bewerkingen
Bij het rekenen met getallen kan je gebruik maken van diverse eigenschappen van bewerkingen.
Er zijn twee eigenschappen die je alleen kan gebruiken bij optellen en vermenigvuldigen:
 De commutatieve eigenschap of wisseleigenschap: je mag de termen of factoren
verwisselen.
 5+8=8+5
 8 * 5 = 5 * 8.
 De associatieve eigenschap of schakeleigenschap: je kiest welke getallen je eerst optelt of
vermenigvuldigt.
 16 + (4 + 5) = (16 + 4) + 5
 (16 * 4) * 5 = 16 * (4 * 5)
Daarnaast is er een eigenschap die bij alle vier de basisbewerkingen te gebruiken is:
 De distributieve eigenschap of verdeeleigenschap:
 3 * 14 = 3 * (10 + 4) = 3 * 10 + 3 * 4 = 30 + 12 = 42
 31936 : 8 = (32000 - 64) : 8 = 32000 : 8 - 64 : 8 = 4000 - 8 = 3992
Ook kun je gebruik maken van de inverse relatie tussen optellen en aftrekken en tussen
vermenigvuldigen en delen:
 56 : 8 = 7 want 7 * 8 = 56
 17 - 9 = 8 want 8 + 9 = 17
1.5 Wiskundetaal bij hele getallen
1.5.1 Uitspraak en notatie van hele getallen
Getallen kunnen worden aangeduid in cijfersymbolen en met woorden. Daarbij is het van belang om
je te realiseren dat in het Nederlands de volgorde van noteren in cijfersymbolen verschilt van de
volgorde van het uitspreken en schrijven in woorden. Je schrijft 52 (eerst een 5 en dan een 2), maar
je zegt tweeënvijftig.
Uitzondering hierop is de uitspraak van bijvoorbeeld jaartallen. Zo wordt het jaartal 1963 vaak
uitgesproken als negentiendrieënzestig. Maar het jaartal 2015 wordt (meestal) niet uitgesproken als
twintigvijftien.
Als je getallen in woorden uitspreekt, geldt de systematiek van het decimale positionele
getalsysteem. Die is echter niet consistent. Als je goed nadenkt over de telwoorden uit de telrij en de
systematiek van het decimale positionele getalsysteem vallen je vast uitzonderingen op.
1.5.2 Relaties tussen getallen en hoeveelheden
Om de relatie tussen getallen en hoeveelheden aan te duiden, kun je de volgende begrippen
gebruiken: meer, minder, evenveel, bijna, ruim, afgerond, ongeveer en gemiddeld. Hierbij dient
opgemerkt te worden dat de betekenis van die begrippen allemaal verschillend is.
1.5.3 De taal van bewerkingen
Een bewerking bestaat uit verschillende termen en functies. De termen zijn vaak getallen, maar
kunnen ook letters zijn (x, y) en de functies geven aan wat er met die termen gebeurt, zoals + voor
optellen en - voor aftrekken. Om de hoofbewerkingen te beschrijven in woorden of met symbolen
heb je verschillende mogelijkheden.