Hoofdstuk 9 Natuurkunde vwo 5
§9.1 Trillingen
Periodieke beweging
Een beweging die zich herhaalt, noem je een periodieke beweging. Na een bepaalde tijd
begint de beweging weer ‘van voren af aan’. De herhaaltijd noem je de periode (T). Het
aantal herhalingen in 1 seconde heet de frequentie (f).
1
f= 𝑇
f is de frequentie in s–1 (s–1 heet ook wel hertz (Hz)).
T is de periode in s.
Trilling
Hang je een blokje aan een veer, dan rekt de veer een stukje uit. Het blokje komt in zijn
evenwichtsstand te hangen. Als je het blokje nog iets verder omlaag trekt en daarna
loslaat, beweegt het op en neer om de evenwichtsstand. Een periodieke beweging om
een evenwichtsstand noem je een trilling.
Als het blokje beweegt, verandert de afstand van het blokje ten opzichte van de
evenwichtsstand. Deze afstand noem je de uitwijking (u). De uitwijking kan positief en
negatief zijn. Een uitwijking boven de evenwichtsstand noem je positief. Beweegt een
voorwerp horizontaal heen en weer, dan noem je de uitwijking positief.
De maximale afstand tot de evenwichtsstand heet de amplitude. Er geldt: A = |umax.|
Fase en faseverschil
De fase van een periodieke beweging is het aantal perioden dat is verstreken vanaf een
afgesproken beginsituatie. Dit is het moment waarop de evenwichtsstand wordt
gepasseerd in de richting van de positieve uitwijking. Het aantal verstreken perioden
noem je de fase (φ). De fase is evenredig met de verstreken tijd.
𝑡
φ= 𝑇
φ is de fase.
t is de tijd in s vanaf het moment dat φ = 0.
T is de periode in s.
Omdat de eenheden van t en T hetzelfde zijn, heeft fase geen eenheid.
,De fase is meestal geen geheel getal. Een fase van bijvoorbeeld 2,25 geeft aan dat de
beweging zich al 2x heeft herhaald en dat van de derde periode ¼ deel voorbij is. Het
systeem gedraagt zich hetzelfde als toen de fase 0,25 en 1,25 was. De waarde 0,25 is
voldoende om vast te leggen wat het systeem aan het doen is. Zo’n getal noem je de
gereduceerde fase (φr).
Het faseverschil Δφ geeft aan in hoeverre een beweging voor of achter loopt. Hierbij
vergelijk je bijvoorbeeld 1 trilling op 2 verschillende tijdstippen van de beweging. Met
het faseverschil kun je ook de bewegingen vergelijken van 2 trillingen met dezelfde
trillingstijd.
∆𝑡
Δφ = 𝑇
Δφ is het faseverschil.
Δt is het tijdsverschil in s.
T is de periode in s.
Het (uitwijking, tijd)-diagram
Een (uitwijking, tijd)-diagram is een grafiek waarin de uitwijking staat uitgezet tegen de
tijd. In zo’n diagram kun je de volgende eigenschappen aflezen: de trillingstijd, de
amplitude etc.
Metingen aan periodieke bewegingen
De periodieke beweging van een schommel kun je onderzoeken met een stopwatch en
liniaal. De meeste trillingen echter kun je alleen zichtbaar maken met speciale
apparaten.
Neem bijvoorbeeld de periodieke beweging van het hart. Die beweging wordt gestuurd
door elektrische spanningen. Deze spanningen zijn klein, maar ze zijn toch te meten,
met behulp van elektroden op je huis. De elektroden zijn verbonden met een gevoelige
spanningsmeter die het signaal doorgeeft aan een computer. Het (spanning,
tijd)-diagram noem je een hartfilmpje, ofwel een cardiogram.
Een apparaat dat de elektrische spanning als functie van de tijd weergeeft, heet een
oscilloscoop. Het scherm van de oscilloscoop is verdeeld in hokjes. In de horizontale
richting lees je de tijd af, in de verticale richting de spanning.
Op het scherm van de oscillogram wordt de spanning op een bepaald tijdstip zichtbaar
gemaakt door middel van een oplichtende stip. Alle stippen samen vormen een
oscillogram. De oplichtende stip beweegt met een constante snelheid van links naar
, rechts. Als de stip de rechterkant van het scherm bereikt, wordt de stip verplaatst naar
de linkerkant van het scherm , en begint een nieuwe cyclus.
De tijdbasis geeft aan in hoeveel tijd de stip 1 schaaldeel doorloopt, dat wil zeggen de
afstand van 1 hokje. De tijdbasis wordt uitgedrukt in ms/div. De afkorting div staat voor
division, oftewel 1 schaaldeel. Bijvoorbeeld: als de tijdbasis is ingesteld op 2 ms/div,
wordt een horizontale afstand van 1 hokje doorlopen in 2 ms.
De gemeten spanning bepaalt hoever de stip wordt verplaatst in de verticale richting.
De gevoeligheid is spanning die hoort bij de hoogte van 1 hokje. Je drukt de gevoeligheid
uit in volt/div. Een gevoeligheid van 2 volt/div wil dus zeggen dat de hoogte van 1 hokje
gelijk staat aan een spanning van 2 V.
Om met een oscilloscoop trillingen te waarnemen, moet je de trilling eerst omzetten in
een elektrisch signaal. Met een microfoon zet je een geluidstrilling om in een spanning
die je met een oscilloscoop of een computer zichtbaar kunt maken.
§9.2 Harmonische trilling
Krachten bij trillingen
Tijdens de trilling van een voorwerp verandert de snelheid. Beweegt het voorwerp van
de evenwichtsstand af, dan neemt de snelheid af tot 0 m/s. Op het voorwerp werkt
namelijk een resulterende kracht die naar de evenwichtsstand is gericht. Is de
resulterende kracht recht evenredig met de uitwijking, dan geldt:
Fres = –C ・u
Fres is de resulterende kracht in N.
C is de krachtconstante in N/m.
u is de uitwijking in m.
Het minteken geeft aan dat de resulterende kracht en de uitwijking tegengesteld gericht
zijn. Bij een trillend blokje aan een veer is de krachtconstante gelijk aan de
veerconstante van de veer.
De harmonische trilling
Een grafisch model van een trilling staat in figuur 9.13. Dit model geldt ook voor een
blokje dat trilt aan een veer: een massaveersysteem. Voor het massaveersysteem van
figuur 9.2 op pagina 51 wordt de resulterende kracht gevormd door de zwaartekracht
en de veerkracht. In opgave 8 komt dit aan de orde.
§9.1 Trillingen
Periodieke beweging
Een beweging die zich herhaalt, noem je een periodieke beweging. Na een bepaalde tijd
begint de beweging weer ‘van voren af aan’. De herhaaltijd noem je de periode (T). Het
aantal herhalingen in 1 seconde heet de frequentie (f).
1
f= 𝑇
f is de frequentie in s–1 (s–1 heet ook wel hertz (Hz)).
T is de periode in s.
Trilling
Hang je een blokje aan een veer, dan rekt de veer een stukje uit. Het blokje komt in zijn
evenwichtsstand te hangen. Als je het blokje nog iets verder omlaag trekt en daarna
loslaat, beweegt het op en neer om de evenwichtsstand. Een periodieke beweging om
een evenwichtsstand noem je een trilling.
Als het blokje beweegt, verandert de afstand van het blokje ten opzichte van de
evenwichtsstand. Deze afstand noem je de uitwijking (u). De uitwijking kan positief en
negatief zijn. Een uitwijking boven de evenwichtsstand noem je positief. Beweegt een
voorwerp horizontaal heen en weer, dan noem je de uitwijking positief.
De maximale afstand tot de evenwichtsstand heet de amplitude. Er geldt: A = |umax.|
Fase en faseverschil
De fase van een periodieke beweging is het aantal perioden dat is verstreken vanaf een
afgesproken beginsituatie. Dit is het moment waarop de evenwichtsstand wordt
gepasseerd in de richting van de positieve uitwijking. Het aantal verstreken perioden
noem je de fase (φ). De fase is evenredig met de verstreken tijd.
𝑡
φ= 𝑇
φ is de fase.
t is de tijd in s vanaf het moment dat φ = 0.
T is de periode in s.
Omdat de eenheden van t en T hetzelfde zijn, heeft fase geen eenheid.
,De fase is meestal geen geheel getal. Een fase van bijvoorbeeld 2,25 geeft aan dat de
beweging zich al 2x heeft herhaald en dat van de derde periode ¼ deel voorbij is. Het
systeem gedraagt zich hetzelfde als toen de fase 0,25 en 1,25 was. De waarde 0,25 is
voldoende om vast te leggen wat het systeem aan het doen is. Zo’n getal noem je de
gereduceerde fase (φr).
Het faseverschil Δφ geeft aan in hoeverre een beweging voor of achter loopt. Hierbij
vergelijk je bijvoorbeeld 1 trilling op 2 verschillende tijdstippen van de beweging. Met
het faseverschil kun je ook de bewegingen vergelijken van 2 trillingen met dezelfde
trillingstijd.
∆𝑡
Δφ = 𝑇
Δφ is het faseverschil.
Δt is het tijdsverschil in s.
T is de periode in s.
Het (uitwijking, tijd)-diagram
Een (uitwijking, tijd)-diagram is een grafiek waarin de uitwijking staat uitgezet tegen de
tijd. In zo’n diagram kun je de volgende eigenschappen aflezen: de trillingstijd, de
amplitude etc.
Metingen aan periodieke bewegingen
De periodieke beweging van een schommel kun je onderzoeken met een stopwatch en
liniaal. De meeste trillingen echter kun je alleen zichtbaar maken met speciale
apparaten.
Neem bijvoorbeeld de periodieke beweging van het hart. Die beweging wordt gestuurd
door elektrische spanningen. Deze spanningen zijn klein, maar ze zijn toch te meten,
met behulp van elektroden op je huis. De elektroden zijn verbonden met een gevoelige
spanningsmeter die het signaal doorgeeft aan een computer. Het (spanning,
tijd)-diagram noem je een hartfilmpje, ofwel een cardiogram.
Een apparaat dat de elektrische spanning als functie van de tijd weergeeft, heet een
oscilloscoop. Het scherm van de oscilloscoop is verdeeld in hokjes. In de horizontale
richting lees je de tijd af, in de verticale richting de spanning.
Op het scherm van de oscillogram wordt de spanning op een bepaald tijdstip zichtbaar
gemaakt door middel van een oplichtende stip. Alle stippen samen vormen een
oscillogram. De oplichtende stip beweegt met een constante snelheid van links naar
, rechts. Als de stip de rechterkant van het scherm bereikt, wordt de stip verplaatst naar
de linkerkant van het scherm , en begint een nieuwe cyclus.
De tijdbasis geeft aan in hoeveel tijd de stip 1 schaaldeel doorloopt, dat wil zeggen de
afstand van 1 hokje. De tijdbasis wordt uitgedrukt in ms/div. De afkorting div staat voor
division, oftewel 1 schaaldeel. Bijvoorbeeld: als de tijdbasis is ingesteld op 2 ms/div,
wordt een horizontale afstand van 1 hokje doorlopen in 2 ms.
De gemeten spanning bepaalt hoever de stip wordt verplaatst in de verticale richting.
De gevoeligheid is spanning die hoort bij de hoogte van 1 hokje. Je drukt de gevoeligheid
uit in volt/div. Een gevoeligheid van 2 volt/div wil dus zeggen dat de hoogte van 1 hokje
gelijk staat aan een spanning van 2 V.
Om met een oscilloscoop trillingen te waarnemen, moet je de trilling eerst omzetten in
een elektrisch signaal. Met een microfoon zet je een geluidstrilling om in een spanning
die je met een oscilloscoop of een computer zichtbaar kunt maken.
§9.2 Harmonische trilling
Krachten bij trillingen
Tijdens de trilling van een voorwerp verandert de snelheid. Beweegt het voorwerp van
de evenwichtsstand af, dan neemt de snelheid af tot 0 m/s. Op het voorwerp werkt
namelijk een resulterende kracht die naar de evenwichtsstand is gericht. Is de
resulterende kracht recht evenredig met de uitwijking, dan geldt:
Fres = –C ・u
Fres is de resulterende kracht in N.
C is de krachtconstante in N/m.
u is de uitwijking in m.
Het minteken geeft aan dat de resulterende kracht en de uitwijking tegengesteld gericht
zijn. Bij een trillend blokje aan een veer is de krachtconstante gelijk aan de
veerconstante van de veer.
De harmonische trilling
Een grafisch model van een trilling staat in figuur 9.13. Dit model geldt ook voor een
blokje dat trilt aan een veer: een massaveersysteem. Voor het massaveersysteem van
figuur 9.2 op pagina 51 wordt de resulterende kracht gevormd door de zwaartekracht
en de veerkracht. In opgave 8 komt dit aan de orde.
