Teoria de cálculo

Tema 1

Funciones reales de variable real

1. Definiciones básicas


Definición 1.1 (Función real de una variable real).
Una función real de una variable real, f : R → R, es una aplicación que hace corresponder a cada
elemento x de cierto subconjunto de R un único número real y = f (x). La variable x se llama
variable independiente y la variable y variable dependiente.



Definición 1.2 (Dominio de una función).
El subconjunto de R donde la función f está definida (los posibles valores de la variable indepen-
diente) se llama dominio de f y se denota Dom f :

Dom f = {x ∈ R, f (x) está bien definido} ⊆ R.


Si el dominio de una función f no viene dado explı́citamente entenderemos que consiste en todos
los posibles valores reales de x para los que f (x) tiene sentido.


Definición 1.3 (Recorrido de una función).
Llamamos recorrido de f al conjunto de valores de la variable dependiente, lo denotamos Rec f :

Rec f = {f (x), x ∈ Dom f } ⊆ R.



Definición 1.4 (Grafo de una función).
Llamamos grafo de f al subconjunto de puntos (x, y) ∈ R2 que satisfacen la relación y = f (x):

grafo de f = {(x, f (x)) ∈ R2 , x ∈ Dom f } ⊆ R2 .


Un subconjunto G ⊂ R2 es grafo de una función si y sólo si la intersección de G con cada recta
vertical es a lo sumo un punto. El dominio de la función consiste en el conjunto de valores x0 tales

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, Cálculo I. Curso 2019-20
Tema 1. Funciones reales de variable real



que la recta vertical x = x0 corta a G. Por ejemplo, un cı́rculo no es el grafo de ninguna función pero
cualquier parábola vertical sı́ lo es.

Ejemplo 1.1.
Veamos algunos ejemplo de dominios y recorridos de funciones:
√
(i) Si f (x) = x − 1, entonces Dom f = [1, ∞) y Rec f = [0, ∞).
1
(ii) Si g(x) = , entonces Dom g = R y Rec g = (0, 1].
x2 +1
(iii) Si h(x) = ln(x + 1), entonces Dom h = (−1, ∞) y Rec h = R.

(iv) Si
(
− 1 si −1 ≤ x ≤ 0
I(x) =
1 si 0 < x < 1,
entonces Dom l = [−1, 1) y Rec l = {−1, 1}.




Figura I. Grafos de f , g.




Figura I. Grafos de h, l.
r
3 3V
(v) El radio R de una esfera es, en función de su volumen V , R(V ) = , V ≥ 0.
4π
(vi) La distancia al suelo de una partı́cula que se deja caer desde una altura h es, en función del tiempo
t transcurrido, d(t) = h − 12 gt2 , donde g es la aceleración de la gravedad (aproximadamente 9,8
m/seg2 en la Tierra). En la Fı́sica o en la Ingenierı́a es muy frecuente utilizar magnitudes que
cambian con el tiempo. Por ejemplo, la posición de una partı́cula móvil, la temperatura de un
material expuesto a una fuente de calor, etc. En su tratamiento matemático, consideraremos
dichas magnitudes como funciones cuya variable independiente es el tiempo t. El dominio de
estas funciones se restringe al intervalo de tiempo en el que se realiza la observación.

(vii) La temperatura corporal de una persona (en grados Celsius) T (t) es una función dependiente del
tiempo t cuyo dominio es el intervalo [t0 , t1 ] de tiempo transcurrido entre el momento del naci-
miento t0 y el de la muerte t1 , y cuyo recorrido suele estar contenido en el intervalo [35◦ C, 42◦ C].

4 1. Definiciones básicas